2021-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)

1、2021-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)专题最值问题 1（几何模型）一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。2.归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。3.利用轴对称知识（结合平移）。4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。二、基础知识模型（一）“将军饮马”问题1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？2.如图,一位将军骑马

2、从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?图1 图23. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册）1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直）练习:1. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.

3、1题图2题图2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_.3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。变式1:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0）.把点A 和点B 向左平移 m 个单位，得到点A 和点B ,使C B C A +最短，求m 的值. 变式2:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-

4、4，0）. 把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点A 和点B ,使四边形A B CD 的周长最短，求m 的值. 中考真题练习2.如图（1），抛物线3518532+-=xxy和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。1.3.4.（广州 2014 24题）已知平面直角坐标系中两定点A （1，0）、B （4，0），抛物线y=ax 2+bx 2（a 0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，

5、n ）（n 0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求m 的取值范围； （3）若m 23，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0t 25）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C 、P ，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P 、C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 （三）垂线段最短问题1.如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A.（0，0）B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，

6、22-） 变式1. 已知点A 的坐标为（-4，8）,点B 的坐标为（2，2）,在y 轴上找一点M ，使点M 到点C （-2，0）的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值。 2. 已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）已知点C 的坐标为（2，0），在y 轴上找一点N ，使点N 到点C 的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值. 中考真题训练1. 如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax 2上，点C 坐标为（-2，0）. (1) 求a 的值；(2) 在x 轴上找一点Q ，使得QAB 的周长最小，求出点Q 的坐标；(3) 已知点D 的坐标为（2，0

7、），在y 轴上找一点Q ，使点Q 到点D 的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值. 2.对于平面直角坐标系x0y 中的点平P （a ，b ），点P 的坐标为?+b ka k b a ,（其中k 为常数，且k 0），则称点P 为点P 的“k 属派生点”. 例如：P （1，4）的“2属派生点”P 为（1+24，21+4），即P （3，6） （1）点P （-1，-2）的“2属派生点” P 的坐标为 _；若点P 的“k 属派生点”P 的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标_； （2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P 点，且OP P 为等腰直角三角形，则k

8、 的值为_； （3）如图, 点Q 的坐标为（0，34），点A 在函数()034x xy -=的图象上，且点A 是点B 的“3-属派生点”，当线段B Q 最短时，求B 点坐标 （四）“三角形两边之差小于第三边” (线段差最大问题)1.已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,PA-最大，并求出此时P点的坐标。(1)如图（1）请在x轴上找到一点P，使PBPA -最大，并求出此时P点的坐标。（2）如图（2）请在y轴上找到一点P，使PB图1 图2中考真题练习1.(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，

9、连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD（1）求M的半径；（2）证明：BD为M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DPAP|最大（五）与圆有关的最值问题（1）利用“相切”解决最值问题（2）利用“直径是最长的弦”求最值（3）利用“对角互补存隐圆”、“定弦定角存隐圆”、“定点定长存隐圆”求最值1.（2013?枣庄）如图，已知线段OA交O于点B，且OB=AB，点P是O上的一个动点，那么OAP的最大值是（）A90B60C45D301题图 2题图 3题图2.（2021 广州天河一模）如图，AB为O的弦，AB=6，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M，N 分别是AB，BC的中点，则线段MN

10、长的最大值是 .3.（2014?武汉模拟）如图，P为O内的一个定点，A为O上的一个动点，射线AP、AO分别与O交于B、C两点若O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）A2B3 CD34. （2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C 为第一象限内一点，且AC=2，设tanBOC=m，则m的取值范围是（）Am0 BCD4题图 5题图 6题图5.（2021 花都一模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是6.（2013?内江）

11、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为7.（2021?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是GFB CA DE7题图 8题图 9题图8.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .9. 正方形ABCD中，BC=4，E，F分别为射线BC，CD上两个动点，且满足BE=CF，

12、设AE，BF交于G，则DG的最小值为 .10.如图, 边长为3的等边ABC, D、E分别为边BC、AC上的点, 且BDCE, AD、BE交于P点, 则CP的最小值为 . 10题图11.（2021?安徽）在O 中，直径AB=6，BC 是弦，ABC=30，点P 在BC 上，点Q 在O 上，且OP PQ （1）如图1，当PQ AB 时，求PQ 的长度；（2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值. 12. （2021 合肥模拟）如图，直角ABC 内接于O ，C=90，点P 在弧AB 上移动，P ，C 分别位于AB 的异侧（P 不与A ，B 重合），PCD 也为直角三角形，PCD=90，

13、且直角PCD 的斜边PD 也经过点B ，BA ，PC 相交于点E.(1）当BA 平分PBC 时，求CDBE的值； (2）已知：AC=1，BC=2，求PCD 面积的最大值。 13.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点. 若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE D F ，若直线AE 与直线BF 相交于点P. （1）求PAO 的最大值； （2）点P 运动的路径长.xyPFDDEGA oFE巩固练习1.如图1，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫

14、正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m(结果不取近似值)1题图 2题图 3题图2.如图2，有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm， AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm. （结果用带和根号的式子表示）3.（深圳福田模拟）如图，MON=20，A为射线OM上一点，OA=4，D为射线ON上一点，OD=8，C为射线AM 上任意一点，B是线段OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是 _4. （2010?苏州）如图，已知A、B两

15、点的坐标分别为（2，0）、（0，2），C的圆心坐标为（1，0），半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（）A2 B1 C D4题图5题图6题图5.（2014春?兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是6. （2013?武汉模拟）如图BAC=60，半径长1的O与BAC的两边相切，P为O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）A3 B6 CD7.（2021年武汉中

16、考）如图，ABC、EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 .8（2013?日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，则点C即为所求（1）实践运用：如图（b），已知，O的直径CD为4，点A在O上，ACD=30，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动MFEGD CA（2）知识拓展：如图（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB 上的动

17、点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程9. 如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由备用图10. 已知：如图，AB是O的直径，在AB的两侧有定点C和动

18、点P，AB=5，AC=3点P在上运动（点P不与A，B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q（1）求P的正切值；（2）当CPAB时，求CD和CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长11.先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等如图，点A、B、C、D均为O上的点，则有C=D小明还发现，若点E在O外，且与点D在直线AB同侧，则有DE 请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,7)，点B 的坐标为(0,3)， 点C 的坐标为(3,0)在图1中作出ABC 的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；若在x 轴的正半轴上有一点D ，且ACB =ADB ，则点D 的坐标为 ；(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,m )，点B 的