高三数学复习专题-函数与基本初等函数-专题整合2

1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 高考总复习,函数与基本初等函数,第二章,一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了,数形结合思想,(一)函数中的思想与方法,函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组 )来使问题获解有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的,函数与方程的思想方法,设不等式 2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数m的取值

2、都成立求x的取值范围,分类讨论思想在本板块中有突出的体现，指数函数、对数函数中对底数a的讨论尤其是重点，而在幂函数中对幂指数的正负的讨论也常有应用,分类讨论思想,是否存在实数a，使函数f(x)loga(ax2x)在区间 2,4上是增函数，若存在，说明a可取哪些值；若不存在，说明理由,转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必要的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题,转化与化归思想,当x1,1时，若22x10)恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析如果直接求解，则需要讨论a与2的大小关系，而这里x

3、又是区间1,1上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解,要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等,待定系数法在求解函数解析式中的应用,待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的

4、数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解,思路分析本题的突破在于设出二次函数的一般式，根据已知条件列出关于参数a，b，c的方程或其他关系式来求解,若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联对某些变量进行适当的赋值是一般向特殊转化的必要手段,抽象函数问题,函数

5、f(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)1，并且x0时，f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若不等式f(a2a5)2的解集为a|3a2，求f(2 015)的值 思路分析对于抽象函数问题，特殊值的代入是问题的突破口，利用题目中所给关系式是问题的着手点,规范解答(1)证明：设x10，f(x2x1)1. f(x2)f(x2x1)x1 f(x1)f(x2x1)1f(x1) 函数f(x)在R上是增函数,(2)f(a2a5)2，设f(m)2， f(a2a5)f(m)， f(x)在R上是增函数， a2a5m0，又其解集为3a2， 325m，m1，即f(1)2. 令xn(nN

6、)，y1. f(n1)f(n)f(1)1f(n)1. 数列f(n)是以f(1)2为首项，公差d1的等差数列 f(2 015)f(1)(2 0151)12 016.,(二)抽象函数周期性问题的研究 抽象函数已逐渐成为近年高考热点，确定函数的周期是一大难点，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本专题谈谈确定抽象函数周期的几种类型重点谈以下几类问题：对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意x，(1)函数值之和等于零型；(2)函数图像有xa，xb两条对称轴型；(3)函数值互为倒数或负倒数型；(4)分式递推型.,即函数f(x)满足f(xa)f(xb)0(ab) 对于定义域中任意x满足f(xa)f(xb

7、)0(ab)，即f(xa)f(xb)，则f(x2a)f(xa)a)f(xa)b)f(xb)a)f(xb)b)，即f(x2a)f(x2b)f(x2a)2b2a)，等价于f(x2b2a)f(x)，故函数f(x)的周期T2(ba),函数值之和等于零型,函数图像有xa，xb两条对称轴，即f(xa)f(ax)，f(xb)f(bx)，改写为f(xa)f(ax)f(b(xab)f(b(xab)f(x2ba)，即f(xa)f(xa)2b2a)，等价于f(x2b2a)f(x)，周期T2(ba),函数图像有xa，xb(ab)两条对称轴型,函数f(x)在(，)上满足关系式f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，

8、且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)判断函数yf(x)的奇偶性； (2)求方程f(x)0在闭区间2 015,2 015上根的个数，并证明你的结论,则f(x)的图像有x2，x7两条对称轴，f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0， 而f(0)0，f(7)0，故函数f(x)不是奇函数； 由对称性知由f(1)f(3)0得 f(11)f(13)0，且f(7)f(9)0， 由f(7)0而f(7)0可得函数f(x)不是偶函数； 因此函数yf(x)是非奇非偶函数,(2)由(*)式还可以表示为f(x)f(4x)， f(x)f(14x)， 由f(4x)f(14x)可知函数f(x)的周期T10(或直接利用上面的结论a2，b7，T2(ba)10)f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0， f(11)f(13)0，f(7)f(9)0，且周期T10， 故方程f(x)0在闭区间0,10和10,0上都有两个解(分别为1,3和7，9)， 从而方程f(x)0在闭区间0,2 01