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文档简介

1、3.6 随机变量的函数及其分布 在实际问题中,往往会遇到这样的问题:已知一个随机变量的分布,要求其函数的分布(假定此函数也是一个随机变量)。对这类问题的解决方法,我们希望通过已知的 的分布来求出随机变量函数 的分布。 一、一维随机变量的函数及其分布 下面我们给出求 的分布函数和密度函数的一般步骤:,(1)由 的值域 确定 的值域 。 (2)对任意一个 ,求出 ,即 其中 是实数轴上的某个集合。 (3)按分布函数的性质写出 ; (4) 对 求导数得到 ,即,例1 设 服从 ,求 的分布函数和密度函数。 解 的取值范围为 ,且 (1)当 时,,(2)当 时, (3)当 时,,所以, 分布函数为 所

2、以, 密度函数为,例2 设 ,求 的密度函数。 解 随机变量 的密度函数为 随机变量 的取值范围为 , (1)当 时, (2)当 时,,因此, 的分布函数为 所以, 的密度函数为,例3 已知 的密度函数为 求 的密度函数。,解 的值域为 ,因此对任意一个 ,有 所以, 的密度函数为,如果 是一个单调且有一阶连续导数的函数,则随机变量的函数 的密度函数有如下性质: 设连续型随机变量 的密度函数为 , 是一个单调函数且具有一阶连续导数, 是 的反函数,则随机变量的函数 的密度函数为,利用这条性质,我们可以得到一条关于正态分布的线性性质,结果如下: 设 则 特别地,当 时,,例4 设 服从 ,求 的

3、密度函数 。 解 已知 且 为一个单调且有一阶连续导数的函数,其反函数 ,则随机变量函数 的密度函数为,例5 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 (单位:mm)服从正态分布 ,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品则亏损,已知销售利润 (单位:元)与销售零件的内径 有如下关系: 求 的分布律。,解 显然 不是一个连续函数。事实上, 是一个离散型随机变量,它可能的取值为 ,且 同理,所以, 的分布律为,二、二维随机变量函数的密度函数 已知 的密度函数为 ,如何求得随机变量 的密度函数?下面着重讨论 的分布。 例6 设X与Y相互独立,且都服从指数分布

4、 ,试求 的密度函数。,解 指数分布 的密度函数为 因为X与Y相互独立,X与Y的联合密度函数为 的值域 ,当 时,,其中 ,从而,当 时, 通过求导数得 的密度函数为,例7 设X与Y相互独立,且 ,试求 的密度函数。 解 因为X与Y相互独立,X与Y的联合密度函数为 的值域 ,当 时,,其中 。由于 和 时的积分区域形状不同,因此,需要分别讨论。 当 时, 当 时,,所以, 的分布函数为 求导数得到 的密度函数为,一般地,当X与Y的联合密度函数为 时, 的分布函数为 对花括号内的积分作变换 ,得到 于是,从而,Z的密度函数为 当X与Y相互独立时,上式成为 这个公式称为卷积公式。,把X与Y的地位对

5、调,同样可得卷积公式的另一种形式 注意:由于许多问题中 是分段函数,因此具体问题中使用卷积公式并不带来方便。当密度函数 是连续函数时,应用卷积公式可以直接求得密度函数,因而比较方便。,定理3.9(正态分布的可加性) 设X与Y相互独立,当 时,有 证明 的边缘密度函数分别为,按卷积公式,对任意一个 ,随机变量函数 的密度函数 由习题3.12提供的积分公式得到 这恰是 的密度函数。,用数学归纳法不难把定理3.9推广到n个相互独立的正态随机变量和上去。 在有些情形下,对略微复杂一点的函数 (例如 等)用本节所讲的一般方法也很容易解决。计算过程的关键是确定区域 并求出重积分。,三、串并联系统问题 设两个元件的寿命分别为 ,假定它们相互独立。 (1)当这两个元件并联时,系统的寿命为 (2)当这两个元件串联时,系统的寿命为,如果 的分布函数分别为 ,那么U的分布函数为 V的分布函数为,对于n个元件的串联系统与并联系统,很容易得到类似的结果。 例8 设X与Y是独立同分布的随机变量,它们都服从区间 上的均匀分布,其中 ,试求 与 的密度函数。,解 均匀分布 的分布函数 U的值域 ,当 时, 于是,U的密度函数,V的值域 ,当 时: 于是,V的密度函数

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