概率论与数理统计：第3章连续型随机变量及其分布4

1、3.6 随机变量的函数及其分布 在实际问题中，往往会遇到这样的问题：已知一个随机变量的分布，要求其函数的分布(假定此函数也是一个随机变量)。对这类问题的解决方法,我们希望通过已知的 的分布来求出随机变量函数 的分布。 一、一维随机变量的函数及其分布 下面我们给出求 的分布函数和密度函数的一般步骤：,（1）由 的值域 确定 的值域 。 （2）对任意一个 ，求出 ，即 其中 是实数轴上的某个集合。 （3）按分布函数的性质写出 ； （4） 对 求导数得到 ，即,例1 设 服从 ，求 的分布函数和密度函数。 解 的取值范围为 ，且 （1）当 时，,（2）当 时， （3）当 时，,所以， 分布函数为 所

2、以， 密度函数为,例2 设 ，求 的密度函数。 解 随机变量 的密度函数为 随机变量 的取值范围为 ， （1）当 时， （2）当 时，,因此， 的分布函数为 所以， 的密度函数为,例3 已知 的密度函数为 求 的密度函数。,解 的值域为 ，因此对任意一个 ，有 所以， 的密度函数为,如果 是一个单调且有一阶连续导数的函数，则随机变量的函数 的密度函数有如下性质： 设连续型随机变量 的密度函数为 ， 是一个单调函数且具有一阶连续导数， 是 的反函数，则随机变量的函数 的密度函数为,利用这条性质，我们可以得到一条关于正态分布的线性性质，结果如下： 设 则 特别地，当 时，,例4 设 服从 ，求 的

3、密度函数 。 解 已知 且 为一个单调且有一阶连续导数的函数，其反函数 ，则随机变量函数 的密度函数为,例5 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 （单位：mm)服从正态分布 ，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，已知销售利润 （单位：元）与销售零件的内径 有如下关系： 求 的分布律。,解 显然 不是一个连续函数。事实上， 是一个离散型随机变量，它可能的取值为 ，且 同理,所以， 的分布律为,二、二维随机变量函数的密度函数 已知 的密度函数为 ，如何求得随机变量 的密度函数？下面着重讨论 的分布。 例6 设X与Y相互独立，且都服从指数分布

4、 ，试求 的密度函数。,解 指数分布 的密度函数为 因为X与Y相互独立，X与Y的联合密度函数为 的值域 ，当 时，,其中 ，从而，当 时， 通过求导数得 的密度函数为,例7 设X与Y相互独立，且 ，试求 的密度函数。 解 因为X与Y相互独立，X与Y的联合密度函数为 的值域 ，当 时，,其中 。由于 和 时的积分区域形状不同，因此，需要分别讨论。 当 时， 当 时，,所以， 的分布函数为 求导数得到 的密度函数为,一般地，当X与Y的联合密度函数为 时， 的分布函数为 对花括号内的积分作变换 ，得到 于是,从而，Z的密度函数为 当X与Y相互独立时，上式成为 这个公式称为卷积公式。,把X与Y的地位对

5、调，同样可得卷积公式的另一种形式 注意：由于许多问题中 是分段函数，因此具体问题中使用卷积公式并不带来方便。当密度函数 是连续函数时，应用卷积公式可以直接求得密度函数，因而比较方便。,定理3.9（正态分布的可加性） 设X与Y相互独立，当 时，有 证明 的边缘密度函数分别为,按卷积公式，对任意一个 ，随机变量函数 的密度函数 由习题3.12提供的积分公式得到 这恰是 的密度函数。,用数学归纳法不难把定理3.9推广到n个相互独立的正态随机变量和上去。 在有些情形下，对略微复杂一点的函数 (例如 等)用本节所讲的一般方法也很容易解决。计算过程的关键是确定区域 并求出重积分。,三、串并联系统问题 设两个元件的寿命分别为 ，假定它们相互独立。 （1）当这两个元件并联时，系统的寿命为 （2）当这两个元件串联时，系统的寿命为,如果 的分布函数分别为 ，那么U的分布函数为 V的分布函数为,对于n个元件的串联系统与并联系统，很容易得到类似的结果。 例8 设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从区间 上的均匀分布，其中 ，试求 与 的密度函数。,解 均匀分布 的分布函数 U的值域 ，当 时， 于是，U的密度函数,V的值域 ，当 时： 于是，V的密度函数