数学实验报告样本

1、精品文档数学实验报告实验序号：3日期： 2013年12月14日班级应数一班姓名陈菲学号1101114209实验 名称求代数方程的近似根问题背景描述：求代数方程f(x) 0的根是最常见的数学问题之一，当f(x)是一次多项式时，称f(x) 0 为线性方程，否则称之为非线性方程.当f(x) 0是非线性方程时，由于f(x)的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果 对任意的精度要求，能求出方程的近似根，贝U可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满 足实际要求.本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间 a，b，或给出某根的近似值X。.实验目的：1. 了解代数方程求根

2、求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法2. 掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。实验原理与数学模型:1 .对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精 度为止.对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根.设 f(x)在a,b上连续，f(a) f(b) 0，即 f(a) 0 , f(b) 或 f(a) 0 , f(b) o.则根据 连续函数的介值定理，在(a, b)内至少存在一点，使f( ) 0 .下面的方法可以求出该根：a b 令*2 ，计算f(x0)；若f(X0) 0，则X。是f(x) 0的根，停止计算，输出结果X X。.a

3、3 若 f(a) f(Xo)0，则令aia，biXo，若 f (a) f(Xo)0，则令印Xo，d b ；X, .bXk，有ak、bk以及相应的2.x ak 4 (3)若f(Xk)(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2；反之，返回(1)，重复(1)，.以上方法可得到每次缩小一半的区间序列 ak,bk，在(ak,bk)中含有方程的根.x ak bk 当区间长bk ak很小时，取其中点k 2 为根的近似值，显然有1 11 1|xkI (bkak)；-(bk1 ak 1)L 7(ba)2 22 2以上公式可用于估计对分次数k .2.迭代法迭代法的基本思想：由方程f(x)0构造一个等价方程x

4、(x)从某个近似根xo出发，令xk 1(Xk)k 0,1,2,可得序列xk，这种方法称为迭代法. 若xk收敛，即*lim xkxk kxkmHkxkmHkn* *X (X )可知，Xk的极限X是X (X)的根，也就是f(X)0的根.当然，若Xk发散，迭代法就失败.迭代过程Xk 1(Xk )收敛的常用判别标准：当根区间a，b较小，且对某一 Xo a，b，(x)明显小于1时，则迭代收敛2)迭代法的加速：a)松弛法：若(X)与Xk同是X*的近似值，则Xk1 (1为权重，现通过确定k)Xkk (Xk)是两个近似值的加权平均，其中k称k看能否得到加速.迭代方程是：X (X) 其中(X)(1)x当(X)

5、1时，有(X)，令1(x)，即当(X)1(X)0，试确定：(Xk)1(Xk)时,可望获得较好的加速效果,于是有松弛法:Xk 1(1k)Xkk (Xk)k11(Xk)X(:X )X是它的根，X。是其近似根.设X1(Xo)X2(XJ，因为*XX2*XX2*X2 (X )(X1)X2( )(XX2X1(xj(Xo)用差商X1:XoX1 Xo近似代替()，有*XX2X2X1 ( (X*XjXXo解出*X，得b) Altken 方法:Xi)(X2 X1)2XX2由此彳得出公式(Xk)；X2)(xk1):(xk2)xk1)2Xk 1XkXk2xk1Xkk o,1,2X?2为Xq这就是Altken公式。3.

6、牛顿(Newt on)法(牛顿切线法)1)牛顿法的基本思想：f(x)0是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法.f ( )2f (x) f(Xo) f(x)(x xo) Xo)记：P(x) f (xo) f(Xo)(X Xo)o的近似方程.P(x)是一次多项式，用P(x)o作为f(x)P(x) f(Xo) f (Xo)(X Xo) o 的解为XXof (Xo)f (Xo)(f(xo) o)记为X1，一般地，记Xk 1Xkf(Xk)f(Xk)o,1,2,即为牛顿法公式。实验所用软件及版本:Matlab R2oi2b主要内容(要点)：分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛

7、顿切法线等5种方法，求方程t x sin( x)的正的近似根，0 t 1 .(建议取t 0.5 .)实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等)1对分法syms x fx; a=0.001;b=3; fx=0.5*x-si n(x); x=(a+b)/2;k=0; ffx=subs(fx,x,x);if ffx=0;disp(the root is: ,nu m2str(x)else disp(k ak bk f(xk)while abs(ffx)0.0001 &ab;disp(num2str(k), ,num2str(a), ,num2str(b), ,num2str(ffx)

8、fa=subs(fx,x,a);ffx=subs(fx,x,x);if fa*ffx0.0001;disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(ffx); x=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);k=k+1;enddisp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(ffx) fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步数是：%d/n,x,k)【调试结果】0 1.1-0.341211 1.7824 -0.0864852 1.9554 0.0507393 1.8539 -0.0332384 1.9204 0.0206

9、775 1.879 -0.0133576 1.9057 0.00844337 1.8889 -0.0054168 1.8997 0.00344319 1.8928 -0.002201710 1.8972 0.001402811 1.8944 -0.0008958412 1.8962 0.0005712513 1.895 -0.0003646214 1.8958 0.0002325915 1.8953 -0.0001484216 1.8956 9.4692e-005所求的解是：x=1.895610迭代步数是：163. 松弛迭代法syms fx gx x dgx;gx=si n( x)*2;fx=

10、0.5*x-si n( x);dgx=diff(gx,x); x=1.8;k=0;ggx=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);dgxx=subs(dgx,x,x); disp(k x w)while abs(ffx)0.0001;w=1/(1-dgxx);disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(w) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1;ggx=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);dgxx=subs(dgx,x,x); enddisp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(

11、w) fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步数是：dn,x,k)【调试结果】k x w0 1.8 0.687571 1.9016 0.606242 1.8955 0.60624所求的解是：x=1.895515迭代步数是：24. altke n 法syms fx gx x ;gx=s in( x)*2;fx=0.5*x-s in( x);disp(k x x1 x2)x=1.5;k=0;ffx=subs(fx,x,x);while abs(ffx)0.0001;u=subs(gx,x,x);v=subs(gx,x,u);disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2

12、str(u), ,num2str(v)x=v-(v-u)A2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx,x,x);enddisp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(u), ,num2str(v) fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步数是：dn,x,k)【调试结果】k x x1 x20 1.5 1.995 1.82271 1.8672 1.9128 1.88422 1.8952 1.8957 1.89543 1.8955 1.8957 1.8954所求的解是：x=1.895494迭代步数是：35. 牛顿法syms x fx gx;fx=0.

13、5*x-si n(x);gx=diff(fx,x);x1=0.8;x2=1.5;x3=4;k=0;disp(k x1 x2 x3)fx仁 subs(fx,x,x1);fx2=subs(fx,x,x2);fx3=subs(fx,x,x3); gx1=subs(gx,x,x1);gx2=subs(gx,x,x2);gx3=subs(gx,x,x3);while abs(fx1)0.0001|abs(fx2)0.0001|abs(fx3)0.0001;disp( nu m2str(k), ,nu m2str(x1), ,nu m2str(x2), ,n um2str(x3) x仁 x1-fx1/gx

14、1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx仁 subs(fx,x,x1);fx2=subs(fx,x,x2);fx3=subs(fx,x,x3); gx1=subs(gx,x,x1);gx2=subs(gx,x,x2);gx3=subs(gx,x,x3);enddisp(num2str(k), ,num2str(x1), ,num2str(x2), ,num2str(x3)fprintf(所求的解是:x1= %f,x2=%f,x3=%f,迭代步数:%dn,x1,x2,x3,k)【调试结果】k x1 x2 x30 0.8 1.5 41 -0.81335 2.07

15、66 1.61042 0.89679 1.9105 1.973 -1.7856 1.8956 1.89844 -1.9037 1.8955 1.89555 -1.8955 1.8955 1.8955所求的解是：x仁-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494迭代步数:5【情况记录】1. 对分法简单，然而，若丿在工是有几个零点时，只能算出其中一个零点，它不能求重根, 也不能求虚根.另一方面，即使，：1在上有零点，也未必有。这就限制了对分法的使用范围。对分法只能计算方程.的实根。对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值.寻找满足定理条件的等价形式是难于

16、做到的。事实上，如果厂为-儿的零点，若能构造等价形式而1，由：的连续性，一定存在的邻域，其上有于-& 1，这时若初值；| - -八；丄迭代也就收敛了。由此构造收敛迭代式有两个要素，其一，等价形式，应满足门丨；其二，初值必须取自匚的充分小邻域，这个 邻域大小决定于函数，及做出的等价形式沁，。松弛法的加速效果明显，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛.松弛法要先计算（Xk），在使用中有时不方便，而 Altken公式，它的加速效果是十分明显的， 它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛。5.牛顿法的收敛速度明显快于对分法。牛顿法也有局限性。牛顿法至少是二阶收敛的，而在重 根附近，牛顿法是线性收敛的，且

17、重根收敛很慢。另外，在牛顿法中，选取适当迭代初始值 是求解的前题，当迭代的初始值门在某根的附近时迭代才能收敛到这个根，有时会发生从一个 根附近跳向另一个根附近的情况，尤其在导数数值很小时。实验结果报告及实验总结：调试结果：1. 对分法所求的解是：x=1.895327迭代步数是：132. 普通迭代法所求的解是：x=1.895610迭代步数是：163. 松弛迭代法所求的解是：x=1.895515迭代步数是：24. altke n 法所求的解是：x=1.895494迭代步数是：35. 牛顿法所求的解是：x仁-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494迭代步数:5总结：在调试和运行的过程中，选取不同的等价方程和不同的初值， 得到的结果不同，精确度也有相 差异。但五种方法所得的数值相近，基本在误差允许范围内。且从运行结果知，相对而言，二分法和 普通迭代法的收敛速度过慢，不是最佳方法。松弛迭代法