直线和平面垂直

1、直线和平面垂直教学目标:1直线和平面垂直的定义及相关概念；2直线和平面垂直的判定定理； 3线线平行的性质定理（即例题1） 教学重点、难点: 1教学重点:（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直；（2）掌握直线和平面垂直的判定定理；（3）掌握线线平行的性质定理：若ab，a则b 2教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题 教学过程： （一）引入课题 1空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线）

2、 2经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行） 4怎样判定直线和平面平行？ （二）猜想推测，激发兴趣 1教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 2指出：过一点

3、有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足 3说明直线和平面垂直的画法及表示 （三）层层推进，证明定理 指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：求证：l 过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、AC、AD、AD，则有：ACAC、ADAD，由此能证明EAEA吗？ 直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解 （1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就

4、和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直 （2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直 （四）初步运用，提高能力 例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面 分析：首先写出已知条件和结论，并画图形 已知：ab，a （如图1-68） 求证：b， 要证明：b，根据判定定理，只要证明在平面内有两条相交直线m、n与b垂直即可 练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 已知：OAOB，OBOC，OCOA 求证：OA

5、平面BOC，OB平面AOC，OC平面AOB （五）归纳小结，强化思想 今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路 六、作业：作为一般要求，完成习题1、2、3、4 直线与平面垂直的判定和性质精彩练笔一、选择题1用表示一个平面，l表示一条直线，则平面内至少有一条直线与l（ ）A平行B相交C异面D垂直2如图RtABC中，ACB=90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB

6、的大小（ ）A变大B变小C不变D有时变大有时变小3设a,b是平面外的任意两条线段，则“a，b的长相等”是a,b在平面内的射影长相等”的（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件4设PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都等于60，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（ ）ABCD二、填空题5平面外的一侧有一个三角形，三个顶点到的距离分别是7，9，13。则这个三角形的重心到的距离为 .6已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA平面ABCD。若在BC上有且仅有一个点Q，满足PQQD，则a的值为 .三、解答题7如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过

7、A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。8在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD94直线与平面垂直的判定和性质1直线和平面垂直的定义日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子如图925，尽管随着时间的变化，影子BC的位置会移动，但是旗杆AB始终与BC垂直这就是说，直线AB与地面内任意一条过点B的直线垂直根据异面直线垂直的定义，进而可知直线AB与地面内任意一条不过点B的直线BC也垂直如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直，记作l，直线l叫

8、做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面如果l或l，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直由此可知，当l时，直线l和平面一定相交直线和平面垂直时，它们唯一的公共点即交点叫做垂足画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直如图926，l，点P是垂足设是任一平面，点P是空间任一点，则过点P有且只有一条直线l是的垂线(图927)；设l是任一直线，点P是空间任一20点，则过点P有且只有一个平面是l的垂面(图928) 2直线和平面垂直的判定根据直线和平面垂直的定义，对于直线l和平面，ll垂直于内的任意一条直线利用这个定义，我们可以判定直线和平面垂直先看一个例子例1 求证：如果两条

9、平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：ab，a(图929)求证：b证明：设m是内的任意一条直线上面的例1给出了判定直线和平面垂直的一个命题，以后我们可以直接利用它来判定直线和平面垂直判定直线和平面垂直，除根据定义外，还有下面的判定定理 直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：m，n，mn=B，lm，ln求证：l分析：要证l，根据直线和平面垂直的定义，只要先设g是内任一直线，再证明lg就可以了由于已知条件中有mn=B，所以可先从l、g都通过点B的情况证起，然后再推广到其他情况证明：设g是平面内的任一直线(1)

10、当l、g都通过点B时(图930)，在l上点B的两侧分别取点A、A，使AB=AB，则由已知条件可推出m、n都是线段AA的垂直平分线如果g与m(或n)重合，那么根据已知lm(或ln)，可推出lg如果g与m、n都不重合，那么在平面内作一直线CD，与直线m、n、g分别交于点C、D、E，并连结AC、AC、AD、AD、AE、AEAC=AC，AD=AD， CD=CD，ACDACD，得ACE=ACE进而有ACEACE，得AE=AEg是AA的垂直平分线于是lg(2)当l、g不都通过点B时，过点B作l、g，使ll，gg同理可证lg，因而lg综上所述，无论l、g是否通过点B，总有lg由于g是平面内的任一直线，因而得

11、l竖立旗杆时，只需让旗杆与地面内的两条相交直线都垂直，就能保证旗杆垂直于地面3直线和平面垂直的性质我们考虑上面例1的逆命题设a，b，我们来研究直线a和b是否平行(图931)假定b不平行于a设b=O，b是经过点O与直线a平行的直线ab，a，b，即经过同一点O的两条直线b、b都垂直于平面，而这是不可能的因此，ba 由此，我们得到：直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离例2 已知一条直线l和一个平面平行，求证直线l上各点到平面的距离相等(图932)证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面的垂

12、线AA、BB，垂足分别为A、BAA，BB，AABB设经过直线AA和BB的平面为，=ABl，lABAA=BB由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离练习1判断题：(1)ll与相交；( )(2)m，n，lm，lnl；( )(3)lm，mn，ln；( )(4)lm，m，nln( )2已知三条共点直线两两垂直，求证其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面23练习3求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短4已知A、B两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证直线AB

13、，并由此说明安装日光灯时，怎样才能使灯管与天花板、地板平行4斜线在平面内的射影过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段如图933，直线PQ，Q，点Q是点P在内的射影，线段PQ是点P到的垂线段一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段如图933，直线PR=R，PR不垂直于，直线PR是的一条斜线，点R是斜足，线段PR是点P到的斜线段平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条(图934)从