湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题

1、 分分，共40一、选择题：本大题共8小题，每小题5a?ia?（ 的实部与虚部相等，则实数1若复数） A 2i?2?121 ） ）（A （D（B） （C2f(x)，猜想的表达式为（2.已知 ）. 1(1)f(x?1)?,f）(xf（x?N*） f(x)?24212 D. B.A. C.f(x)?x)?f(x)?f(x)?f( x12x?x?11x2?2aa?0a?aa?a”的”是“中，则“ B3等比数列 6n3113（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （DC）充分必要条件 ）既不充分也不必要条件 （5CDBA4四项不同的工作，每人名，分别从事，4从甲、乙等，名志愿者中选出A工作，则不

2、同的工作分配方案共有 B承担一项若甲、乙二人均不能从事 60728496种 D）种 （ （B）种 （C（A）种x3?x?x?3?23(x)?f)xf(R.时，且当已知定义在5.若上的函数的对称轴为k?Zk)xf()k?1,(k的值为 A函数 ）上有零点，则（在区间?7?8?7?81221 D或或）或 （B） 或（ （C（A）c?0)?clogx?2log(xf(x)?x?(0,?)，都有6已知函数若对于任意的，其中22c1?x)f(的取值范围是 D，则 1111）（B） D（),?)(0,(0,? （）C（A） 848432xx)a?0?bx2?()f(x?ax，则已知函数7. B， 有且仅有

3、两个不同的零点21a?0a?0x?x?0?0xx0xx?0xx? ，时，时，当当A B. 22112121a?0a?0x?x?0xx?xx0?xx00 ，当 D. ，当C. 时，时，21212121 PABCDDCABCD?AB 8如图，正方体为底面中，1111PE?ACEPA?PEP的，则点，且上的动点，于 1轨迹是 A （A）线段 （B）圆弧 （D）抛物线的一部分（C）椭圆的一部分 第卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 n0S?SS?0Sa，则，项和是的公差不为若，其前9设等差数列k23nnk?_5 2623)(x?x 10.160的展开式中 的系

4、数是 x 1设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_. 1OP(x,y)1,0)A(?xOyB在抛物线与点关于原点在直角坐标系12对称点中，点00 21?2x?y4?xBPAP2 _的斜率之积等于上，且直线，则与013. 数列的通项公式，前项和为，则 _。3018 x,x,L,xmaxx,x,L,xminx,x,L,x.记实数中的最大数为，最小数为14n12212nn1ABC 设a?b?cABCcb,a,的倾斜度为，定义的三边边长分别为，且abcat?max,?min, bacbbc, caABCt?_；1（）若 为等腰三角形，则 1?5 1a?t)1,（）设的取值范围是_，则 2 三、解

5、答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题共14分） f(x)?mlnx?(m?1)x(m?R) 已知函数m?2y?f(x)(1,f(1)处的切线方程；在点时，求曲线（）当 f(x)的单调性；（）讨论 m0?M)xf(M的取值范围存在最大值 （III）若，且，求（18）（共14分） m?2f(x)?2lnx?x解：（）当 时，2x?2?1f?(x)? xx?(1)?f3 所以f(1)?1，又 y?f(x)(1,f(1)y?1?3(x?1) ，处的切线方程是在点所以曲线3x?y?2?0即 f(x)(0,?)，（）函数的定义域为 m(m?1)x?m?

6、mf?(x)?1? xxm?0x?m0?m?1x)?f0(恒成立，当时，由 知 xf(x)(0,?)上单调递减 在区间此时m?0x?m1?m?1)?f0(x恒成立， 时，由当知 xf(x)(0,?)上单调递增此时在区间 mm?1?m0xx?0?0?(xff)(x)，由时，由，得 当，得 1?m1?mmm)(,?)(0,)xf(内单调递减此时 在区间内单调递增，在区间 m1?m1f(x)(0,?)，）由（）知函数的定义域为 （IIIm0m1f(x)(0,?)f(x)无最大值上单调，此时函数 在区间当时， 或mm1m?0?)(0,?)fx(内单调递时，内单调递增，在区间在区间当 m1?m1 减，1

7、?0?m)(fx 所以当有最大值时函数 mm)f(?mln?mM?最大值 1?m1?mme0M?m?0m?mln，解之得 ，所以有因为 m1?e1em,1)( 所以的取值范围是 1?e 16（本小题满分13分）xacosxx()?sin?f 已知函数的一个零点是 4a 的值；（）求实数 g(x)?f(x)?f(?x)?23sinxcosxg(x)的单调递增区间 ，求（）设（）解：依题意，得f()?0， 1分 4 即 22a， 0?sinacos 44223分 解得 a?1 分5 （）解：由（）得xcosx?x)?sinf(6分 xxx)?23sincos?g(x)f(x)?f( xsin2)?

8、3xcos?(sinx?x)(?sinx?cos 7分 22x(cosx?sinsinx)?32? 分8 xsin2?cos2x3 9分 )x?2sin(2? 6 10分?x2?k22k 由， 262 ?k?kx?，得 63Zk? 12分 ?,kk)(gx， 的单调递增区间为所以63Zk? 13分 1 =145.+b是等差数列，b=1,b+b17. （本小题满分13分）已知数列b1011n2 ;b的通项公式b(1)求数列nn1a1)记S是数列a的前)(其中a0且n(2)设数列a的通项a=log(1+项和，试nnannbn1 .b的大小，并证明你的结论比较S与logn+1an3bdbn 2=3的

9、公差为,由题意得,(1)解：设数列nnbn 知=32(2)证明：由nS (1+)(1+)+log=log(1+1)+loganaa (1+1)(1+)(1+ )=logabSb .log=log,于是，比较的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小而log与nannaa+1+1n (1+1)=，有=1取n (1+1)(1+，有=2取* )推测：(1+1)(1+)(1+) (*n .)=1时，已验证(当式成立*nkk 式成立，即(1+1)(1+)(1+)(假设)=1)时nk 时，则当=+1 *nk 式成立)+1,即当时，=(*n .式对任意正整数都成立由知，()aSbaSb log1时，log

10、,当 0于是，当时，1naannn+1+118（本小题满分13分） axa?Rx)?e?3xg(x?xf()ax?ln，其中已知函数 f(x) 的极值；（）求a)xg(f(x)MM的取和在区间（）若存在区间上具有相同的单调性，求，使值范围 18.（本小题满分13分） f(x)的定义域为（）解：(0,?)， 1分 且 1ax?1?fa(x)2 xx 分?0a?(x)?0f(fx)(0,?)上单调递减时，在 ，故 当f(x)没有极大值，也没有极小 从而值 3分 1?0a?x0)f?(x 时，令 ，得当 a?(x)f)f(x的情况如下：和 11(,?)1 )(0, aaxa ?(xf)0 ? )f(

11、x 11)?(,?(0,)xf( 的单调减区间为故；单调增区间为 aa1aln?1?f()(xf；没有极大的极小值为从而 a 5分值 )(xgR ，且的定义域为（）解：ax?e3x)?ga( 6分 ?0?a(x)?0g(xg)R上单调递增 时，显然 在，从而当 1)?,(?)(xf上单调递增，符合题在 由（）得，此时 a 分8 意a?0g(x)f(x)(0,?)R上单调递减，不合题上单调递增，时， 当在在意9分 13?0?aln(?x?)0g(x)?，得 时，令 当 0aa?)(xg(x)g的情况如下表：和 (x,?)x(?,x)000 x ?(x)g0 ? )xg( ?3?a?0x?0(x,

12、?)f()x)g(x在在时，此时上单调递增，由于当00(0,?)上单调递减，不合题意 11分 a?3x?0(?,x)f(x(x)(0,?)g在当时，在上单调递减，由于，此时00上单调递减，符合题意 a的取值范围是综上，(?,?3)U(0,?) 13分 19（本小题满分14分） 22yx?1(a?b?0)FFAB，如图，椭圆，过点的左焦点为的直线交椭圆于 22ab?60AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 两点当直线（）求该椭圆的离心率； xGD,EABABy两点记轴分别交于（）设线段的中垂线与的中点为，轴和SOOEDGFDSS1的取值范围（为原点）的面积为 ，求，的面积为 21S2 分）14

13、（本小题满分19(0,b)AB时，其倾斜角为（）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点?60 1分 F(?c,0)， 设则 b ?603?tan 2 c分 222cb?3c?ba， 将 代入 解得 a?2c 3分 所以椭圆的离心率为 c1?e 4分 a2（）解：由（），椭圆的方程可设为22yx?1 5分 22c4c3A(x,y)B(x,y)， 设1122y?k(x?c)ABABy,x，将不能与依题意，直线的方程为轴垂直，故设直线其代入 222c?4y3x12，整理得 222222?0?4k12k(4c?3)xck?8cx 7分 2ck8?6ckx?x?y?y?k(x?x?2c)?， 则， 21211

14、2223?4k4k?323ckck?4G(,) 224k?34k?3 分8GD?AB， 因为3ck 23?4k1?k? 所以， 2?4ck?x D2?34k2ck?x? 9分 D24k?3GFDOED， 因为 所以 223ck?4ckck22(?)?()2S|GD| 2224k?34k?34k?31? 分 11 22?ckS|OD|2()2 24k?322224229k)?9c9(3ckk)c?(3ck?9?9 22242(ck)ckk13分 S1的取值范围是所以 S2(9,?) 14分 （20）（本小题共13分） a)aL,L,a,A?(a,a,An 设.是由其中个有序实数构成的一个数组，记

15、作：in21iSaiA中的每个“元”都. 称为称为数组如果数组的“元”，的下标)nL,(i?1,2,iSAA的子数组. 为定义两个数组是来自 数组中不同下标的“元”，则称A?(a,a,L,a)B?(b,b,L,b)的关系数为. ，bL?a?)?abab?AC(,Bn1n122n2112n11),A?(?1,1,2,3)?(?BBS的含有两个“元”的子数组，设 是（）若， 22)(CAS, 的最大值；求 333222),?(,A)c(0,a,b,B?BS的含有三，且（）若为1?ac?b? 333)S(A,C 个“元”的子数组，求.的最大值 分）（共13（20)SA,3)C(S?(?1 2时，解：（）依据题意，当取得最大值为S0c,baAB三个中的“元”时，由于中（）当的三个“元”都相等，及是 3)ba)?(C(A,S的最大值，其中“元”的对称性，可以只计算 32221b?ac? 222222222)?2(aca?ba?2ab?2(b?