数理经济学课件

1、数理经济学,授课教材、大纲与内容,其它参考书,1,蒋中一数理经济学的基本方法,商务印书馆,2,蒋中一动态最优化基础商务印书馆,3,邵宜航,数理经济学精要科学出版社,导论,一、什么是数理经济学,数理经济学不是经济学的一个分支学科，它,是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符,号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推,理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可,以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政,城市经济学或其它经济学科,按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学,知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握,经济分析方法和数学方法,二、数理经济学的本质,探讨如何用数学语言准确、精练描述经,济学问题，

2、并推敲通过数理分析而导出的,数学关系式所表达的经济学含义，由此揭,示经济活动的规律性才是数理经济学的本,质所在,经济学问题的数学表述,举例,1,消费者选择问题,在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组,合以最大化消费效用。模型为,x,1,x,n,max,U,x,1,x,2,x,n,s,t,p,1,x,1,p,2,x,2,p,n,x,n,y,x,i,表示第,i,个商品的消费量,p,i,表示相对应的,商品价格,U,为消费效用函数,y,为收入,举例,2,最优经济增长问题（连续型,研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径,以最大化其从现在到将来的效用现值总和,模型描述为,t,0,max,U,c,t

3、,e,dt,消费效用现值总和,c,k,s,t,k,t,f,k,t,c,t,资源和技术的约束,k,0,k,0,初期的资本存量限制,c,t,表示,t,时点的人均消费,k,t,表示,t,时点的人均资,本存量,U,表示个人效用函数,表示主观贴现率,三、授课逻辑主线,经济学定义为研究有限资源的有效（最,优）配置的科学，因此许多经济学问题可,以表示为数学的最优化问题。本课程主要,学习在微观经济学和宏观经济学中经常使,用的最优化数学分析方法,数学的最优化问题,所谓最优化问题是“在关于变量的,约束条件下，寻找使目标值最大化或,最小化的变量”的问题,举例,1,非线性规划问题,min,f,x,1,x,2,x,n,

4、g,1,x,1,x,2,x,n,0,g,2,x,1,x,2,x,n,0,s,t,g,x,1,x,2,x,n,0,0,g,x,x,x,m,n,1,2,h,1,x,1,x,2,x,n,0,h,2,x,1,x,2,x,n,0,h,x,1,x,2,x,n,0,h,l,x,1,x,2,x,n,0,f,R,R,g,R,R,h,R,R,n,m,n,举例,2,最优控制问题,min,t,1,t,f,t,x,t,u,t,dt,0,s,t,x,t,t,x,t,u,t,x,t,0,x,0,u,t,U,f,R,R,n,R,m,R,R,R,n,R,m,R,U,R,m,四、授课主要内容,相关数学背景知识,集合与映射、微积分

5、、微分方程,静态最优化,最优化的古典方法,无约束、等式约束,最优化的非古典方法,数学规划（线性规划和,非线性规划），处理不等式约束。,动态最优化,变分法、最优控制理论和动态规划,第一部分,数学背景,内容见,杰里和瑞尼：高级微观经济理论,上海财经大学出版社,附录,A1,A2,主要内容,一、集合和映射,二、凸集,三、关系与函数,四、一点拓扑学,五、实值函数,六、分离超平面定理,第一章,集合和映射,一、集合,1,集合的定义,具有某种特定性质的事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素,举例,1. R,x,x,2. R,x,1,x,n,x,i,R,i,1,.,n,n,3. R,x,1,x,n,x,

6、i,0,i,1,.,n,n,4. R,x,1,x,n,x,i,0,i,1,.,n,n,子集的定义,如果集合,S,的每个元素也是集合,T,的一个,元素，那么集合,S,是另外一个集合,T,的子集,记为,S,T,2,集合的运算,并,A,B,x,x,A,或,x,B,交,A,B,x,x,A,且,x,B,差,A,B,x,x,A,但,x,B,余,A,x,x,A,c,3,集合的运算规律,交换律,结合律：,分配律：,吸收律； 若,A,U,B,B,U,A,A,I,B,B,I,A,A,U,B,U,C,A,U,B,U,C,A,I,B,I,C,A,I,B,I,C,A,U,B,I,C,A,I,C,U,B,I,C,A,I,

7、B,U,C,A,U,C,I,B,U,C,A,B,则,A,U,B,B,A,I,B,A,A,I,A,B,A,U,A,转换律,A,B,A,I,B,C,对偶原理；,De,Morgen,原理,1),U,A,I,A,C,C,2),I,A,U,A,C,C,4,集合的乘积,S,T,s,t,s,S,t,T,X,1,X,2,X,n,x,1,x,2,x,n,x,i,X,i,记,X,i,X,1,X,2,X,i,1,X,i,1,X,n,二、凸集,1,R,上的凸集,定义,称,S,R,是凸集,x,x,S,t,0,1,tx,1,t)x,S,1,2,1,2,n,n,称,z,是,x,与,x,凸组合,如果,z,tx,1,t)x,0

8、,t,1,1,2,1,2,凸组合,例,1,当,n=1,R,中的凸组合,凸组合,例,2,当,n=2,R,中的一些凸组合,2,凸集,例,1,R,中的凸集,2,非凸集,例,2,R,中的非凸集,2,因此当且仅当把集合内的任意两点用一条,直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集,合为凸集,凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻,烦的凸凹,2,凸集的性质,定理,1,凸集的交集是凸集,设,S,与,T,是,R,上的凸集，那么,S,T,是凸集,n,证明：设,S,与,T,为凸集,x,x,S,T,那么,x,S,且,x,T,x,S,且,x,T,对于,t,0,1,令,z,tx,1,t,x,则,z,S,且,z,T,因此,

9、z,S,T,即,S,T,是凸集,1,2,1,1,2,2,1,2,三、关系与函数,1,二元关系,定义,任何有序对,s,t,把一个元素,s,S,与另一个元,素,t,T,联系起来，则这些有序对的集合,R,被,认为构成,S,和,T,之间的一个二元关系,若(s,t,R,则写成sRt,显然,R,S,T,定义,当一个二元关系是一集合,S,与自身的乘积的子集,称这是集合,S,上的一个关系,定义,A,1.2,如果对于,S,中的所有元素,x,与,y,有,xRy,或,yRx,那么称,S,上,的关系,R,是具有完备性,定义,A,1.3,如果对于,S,中的任何三个元素,x,y,z,有,xRy,和,yRz,则蕴含着,xR

10、z,那么称,S,上的关系,R,是具有传递性,举例,设,B,是,n,维欧氏空间,R,中的凸集，在,B,中引入一个二元,关系记为,f,如果它具有,2),完备性,若,x,y,B,则,x,f,y,或者,y,f,x,3),传递性,若,x,y,z,B,如果,x,f,y,y,f,z,则,x,f,z,我们称,f,是一个偏好关系,n,（反身性）若,1,x,B,则,x,f,x,2,函数,函数是一类特殊的关系，它是将一个集合,内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的,元素联系起来的关系,称函数,f,是从集合,D,到另一个集合,R,的,映射,f,D,R,记成,函数与非函数,四、一点拓扑学,拓扑学研究集合与映射的基本性

11、质,n,本书仅考虑,R,上的集合,1,度量空间,定义,空间中两点,x,y,R,将,d,x,y,x,1,y,1,x,2,y,2,x,n,y,n,向量,x,y,第,i,分量,2,2,2,n,称为两点,x,y,间的“距离”，这里,x,i,y,i,分别是,定理,n,对于任意的,x,y,z,R,以下的,1,3,式成立,1,d,x,y,0,当且仅当,x,y,时,d,x,y,0,2,d,x,y,d,y,x,3,d,x,y,d,y,z,d,x,z,三角不等式,在距离,d,被定义的情况下，向量空间,R,被称,为“欧几里得空间,用具有上述定理所示性质的距离来定义的空,间被称为“度量空间,n,2,开球与闭球,定义,

12、A,1.4,0,n,1,以,x,为中心，以,0,为半径的开球是,R,上的点的子集,B,x,x,R,d,x,x,0,n,0,n,0,2,以,x,为中心，以,0,为半径的闭球是,R,上的点的子集,B,x,x,R,d,x,x,0,n,0,定义,A,1.5,R,上的开集,如果对于,x,S,0,使得,B,x,S,那么,S,R,是一个开集,n,n,显然任何开球是开集,定理,A,1.2,R,上的开集,1,空集,是一个开集。（定义,2,整个空间,R,是一个开集,3,开集的并集是一个开集,n,n,4,任何有限开集的交集是一个开集,反例,A,n,I,n,1,1,A,n,1,n,1,n,1,定理,A,1.3,每个开

13、集是开球的并集,S,是一个开集。对于,x,S,x,使得,B,x,x,S,那么,S,U,x,S,B,x,x,证明,1,x,S,x,U,x,S,B,x,x,2,若,x,U,x,S,B,x,x,x,S,0,即：设,若,A,1.6,R,n,上的闭集,c,是个开集，那么,S,是一个闭集,定义,如果S的补集S,定义： 边界点,如果以,x,为中心，以,为半径的每个球，包含了,S,内,集合,S,的所有边界点表示成,S,的点，以及不在,S,内的点，那么,x,点被称为,S,的一个边界点,定义： 内点,如果以,x,为中心,0,使得,B,x,S,那么,点,x,S,被称为,S,的内点,集合,S,的所有内点的集合记为,i

14、nt,S,定义：闭集,如果集合包含所有边界点，此集合为闭集,定义：开集,如果一个集合所有点都是内点，那么此,集合为开集,闭集的特征,n,上的集合,S,是闭的,S,的点列,x,k,的极限,x,也属于,S,定理,A,1.4,R,上的闭集,1,空集,是一个闭集。（定义,2,整个空间,R,是一个闭集,3,闭集的任何有限集合的并是一个闭集,4,闭集的交集是一个闭集,n,n,证明,3,设,S,n,i,是,R,上的闭集,i,I,S,i,c,c,i,I,S,i,所以,i,I,S,i,是闭的,4,设,S,1,S,2,是闭集,S,c,1,S,2,S,c,c,1,S,2,所以,S,1,S,2,是闭集,I,I,是有限

15、的指标集,i,举例,S,R,是一个由单点组成的集合,S,S,是一个闭集,s,设,证明,3,有界集,定义,A,1.7,有界集,如果,S,R,S,完全被包含在一个半径为,的,球内（开球或闭球），则称,S,是有界的,n,举例,1,x,y,1,x,2,y,2,2,x,y,x,y,0,y,o,x,4,定义：下确界、上确界,设,S,R,是任何非空的实数集,任何实数,l,对于,x,S,总有,l,x,那么,l,是数集,S,的下界,任何实数,u,对于,x,S,总有,u,x,那么,u,是数集,S,的上界,S,的下界中最大数被称为,S,的最大的下界或下确界，记为infS,S,的上界中最小数被称为,S,的最小的上界或

16、上确界，记为supS,定理,对于,R,的任何有界子集总会存在一个,上确界和下确界,定理,A1.5,实数子集的上界与下界,1,设,S,是,R,内的一个有界开集，并设,a,与,b,分别是,S,的,下确界和上确界，那么,a,S,并且,b,S,2,设,S,是,R,内的一个有界闭集，并设,a,与,b,分别是,S,的,下确界和上确界，那么,a,S,并且,b,S,证明：反证法,定义,A1.8 (heine-Borel,紧集,如果集合,S,是闭的且有界的,S,在,R,n,上被称为紧的,4,Cauchy,连续性,定义：一元连续函数,如果对于,0,总会,0,使得,d,x,x,蕴含,0,0,0,着,d,f,x,f,

17、x,那么函数,f,R,R,是在点,x,处连续,如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数,被称为连续函数,定义,A1.9,Cauchy,连续性,设,D,R,并且设,f,D,R,如果,0,0,0,0,0,m,n,使得,f,B,x,D,B,f,x,那么,f,在,x,点连续,如果,f,在每个点,x,D,上连续，那么称,f,是连续函数,问题,一个连续函数能否将定义域内的开集映,射进值域内的开集，或将闭集映射进闭集,反例,f,x,a,定义,A1.10,D,中的开集,设,D,R,S,D,因此如果对于,x,S,0,使得,B,x,D,S,那么称,S,在,D,内,是开的,定义,A1.11,D,中的闭集,设,D

18、,R,S,D,若,S,x,D,x,S,在,D,内,是开的，那么称,S,在,D,内是闭的,m,c,m,定理,A1.6,连续性与其逆象,设,D,是,R,的一个子集，如下的条件是等价的,1,f,D,R,是连续的,2,对于,R,内的每个开球,B,f,B,在,D,内也是开的,3,对于,R,内的每个开集,S,f,S,在,D,内也是开的,n,1,n,1,n,m,证明,1,2,3,1,x,f,B,得,f,x,B,n,1,1,1,2,由,B,在,R,中是开的,0,B,f,x,B,依,f,x,的连续性,0,使得,f,B,x,D,B,f,x,B,因此,B,x,D,f,B,所以,f,B,在,D,内是开的,其余证明略,

19、1,1,问题,连续函数能否将定义内的紧集映射,进值域内的紧集,定理,A1.7,紧集的连续象是一个紧集,设,D,是一个,R,的一个子集，并且设,f,D,R,是一个连续函数。如果,S,D,是,D,内的一个紧集,即,S,在,D,内是闭的，且有界的），那么其象,f,S,R,在,R,内的紧的,n,n,m,n,5,数列,A1.12,n,中的数列,n,的一个数列是一个函数，它将正整数的一些,I,映射进,n,x,k,k,n,k,I,x,k,I,定义,无限子集,数列表示为,2,4,8,L,2,n,L,1,2,1,4,1,8,L,1,2,n,L,1,1,1,L,1,n,1,L,2,n,1,2,n,1,n,1,注意

20、,数列对应着数轴上的一个点列，可看作一个动点,在数轴上依次取,x,1,x,2,x,n,x,3,x,1,x,2,x,4,x,n,定义,A1.13,收敛的数列,0,K,0,k,K,k,称数列,x,k,k,I,收敛于,x,n,1,n,n,I,x,k,B,x,例,定义,A1.14,有界的数列,M,0,k,I,x,k,k,I,有界,x,k,M,称,n,中,数列,有界性是数列收敛的必要条件,收敛的数列必定有界,无界数列必定发散,定义,A1.15,子数列,如果,J,是,I,的一个无限子集，称,n,的序列,x,k,k,I,的子序列,x,k,k,J,是,定理,A1.8,有界数列,中的每个有界数列有一个收敛的子数

21、列,n,定理,A1.9,数列、集合和连续函数,设,D,R,f,D,R,那么,1,D,是开的,x,D,若,x,收敛于,x,则,k,当,k,k,x,D,2,D,是闭的,若,D,中数列,x,收敛于,x,R,则,x,D,3,f,是连续的,当,D,数列,x,收敛于,x,D,则,f,x,收敛于,f,x,k,k,1,k,k,1,k,k,1,n,k,k,1,k,n,m,6,一些存在性定理,定理,A1.10,Weierstrass,极值的存在性,设,S,R,S,S,是紧的,f,S,R,x,S,x,S,使得,f,x,f,x,f,x,x,S,n,证明,那么,f,S,中上确界,a,和下确界,b,必属于,f,S,所以,

22、x,S,x,S,使得,f,x,a,f,x,b,即,f,x,f,x,f,x,x,S,由,f,的连续性且,S,是紧的,f,S,R,是紧的,举例,a) s=1,2 (b) s=(1,2,问题：考虑如下联立方程组,y,1,f,1,x,1,x,n,y,2,f,2,x,1,x,n,A1.1,y,n,f,n,x,1,x,n,将点,x,1,x,n,映射进,y,1,y,n,R,n,考虑特殊情况，假设,y,i,x,i,记方程,A,1.1,的,x,x,1,n,即,x,1,f,1,x,1,x,n,x,x,2,f,2,x,1,n,x,n,f,n,x,1,x,n,解为,A1.2,即考虑,f,x,x,解的存在性问题,称方程

23、,A,1.2,的解向量,x,为,映射,f,R,R,的一个不动点,问题：方程,A1.2,的解是否存在,n,n,定理,A1.11 brouwer,不动点定理,设,S,R,n,S,S,即紧且凸,x,S,x,f,x,f,S,S,是,连续映射,不动点定理保证,f,的图像将在,a,bXa,b,45,度线一次,内,至少穿过,五、实值函数,1,实值函数,定义,A1.6,实值函数,如果,D,是任何集合，并且,T,称,f,D,T,是实值函数,定义,A,1.17,递增、严格递增和强递增函数,D,若,f,D,0,n,1,0,1,0,1,0,1,称,f,是递增的,当,x,x,f,x,f,x,称,f,是严格递增的,当,x

24、,x,f,x,f,x,称,f,是强递增的,当,x,x,x,x,f,x,f,x,注释,称,x,y,x,i,y,i,i,1,2,n,称,x,y,x,i,y,i,i,1,2,n,0,1,0,1,0,1,每当向量,X,的一个或多个分量的增加不,会引致函数值的下降，称函数为增函数,每当向量的所有分量的增加总会引致函,数值的严格递增时，称函数为严格递增,每当,X,的一个或几个分量增加总会引致,函数严格递增时，称函数为强递增,定义,A1.18,递减、严格递减和强递减函数,若,f,D,D,0,n,1,0,1,0,1,0,1,称,f,是递减的,当,x,x,f,x,f,x,称,f,是严格递减的,当,x,x,f,x

25、,f,x,称,f,是强递减的,当,x,x,x,x,f,x,f,x,0,1,0,1,0,1,2,相关集合,定义,A1.19,水平集,称,L,y,是,f,D,T,的水平集,L,y,x,x,D,f,x,y,y,T,R,0,0,0,0,注意,一个函数的两个不同水平集不会相,交，否则意味着两个不同的数对应着,定义域内的同一个元素，破坏函数的,定义,定义,A,1.20,相对于某一点的水平集,称,L,x,是相对于,x,的水平集,L,x,x,x,D,f,x,f,x,0,0,0,0,定义,A1.21,上优集和下劣集,1,上优集,S,y,x,x,D,f,x,y,是相对于水平,y,的上优集,2,下劣集,I,y,x,

26、x,D,f,x,y,是相对于水平,y,的下劣集,3,严格上优集,0,0,0,0,0,0,0,0,0,S,y,x,x,D,f,x,y,是相对于水平,y,的严格上优集,4,严格下劣集,0,0,0,I,y,x,x,D,f,x,y,是相对于水平,y,的严格下劣集,定理,A,1.12,上优集、下劣集和水平集,对应于任何,f,D,T,y,T,1,L,y,S,y,2,L,y,I,y,3,L,y,S,y,I,y,4,S,y,S,y,5,I,y,I,y,6,S,y,L,y,7,I,y,L,y,8,S,y,I,y,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,凹函数,假设：凸集上的实

27、值函数,f,D,T,假定,D,R,n,是一个凸集，即,x,1,x,2,D,t,0,1,x,t,tx,1,1,t,x,2,D,A1.22,凹函数,称,f,D,T,是凹函数,f,x,t,tf,x,1,1,t,f,x,2,0,1,定义,t,说明,对于函数图像上的每一对点，当,且仅当连结这些点的弦处在图像上或,其下边，那么该函数为凹的,定理,A1.13,凹函数的图像及其下方的点,总会形成一个凸集,设,A,x,y,x,D,f,x,y,是,f,D,T,的图像及其下方的点的集合，其中,D,R,是一个凸集,并且,T,R,则,f,是一个凹函数,A,是一个凸集,n,1,f,是凹的,A,凸的,x,y,A,x,y,A

28、,f,x,y,f,x,y,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,2,tf,x,1,t,f,x,ty,1,t,y,又因为,f,是凹的,f,x,tf,x,1,t,f,x,f,x,ty,1,t,y,y,因此,x,y,tx,1,t,x,ty,1,t,y,A,所以,A,是凹的,1,2,1,2,t,t,t,1,2,t,t,1,2,2,A,凸的,f,是凹的,x,D,x,D,令,y,f,x,y,f,x,显然,x,y,A,x,y,A,又因为,A,是一个凸集,则,x,y,tx,1,t,x,ty,1,t,y,A,这里,t,0,1,因此,f,x,y,tf,x,1,t,f,x,即,f,是一个凹函数,t,t,1,2

29、,1,2,1,2,t,t,1,1,2,2,1,1,2,2,1,2,A,1.23,严格凹函数,称,f,D,T,是严格凹函数,f,x,t,tf,x,1,1,t,f,x,2,这里,t,0,1,x,1,x,2,定义,4,拟凹函数,称,f,D,T,是拟凹的,f,x,t,min,f,x,1,f,x,2,t,0,1,定义A1.24 拟凹函数,说明,拟凹函数意味着若能在定义域内任取,两点，并形成两点的凸组合，那么函,数值必定不会小于这两点所取的最低,函数值,也可依据水平集描述拟凹函数,课堂练习,证明：单调函数为拟凹函数,下图的上优集,y,X1,X2,x,定理,A,1.14,拟凹性与上优集,称,f,D,T,是拟

30、凹函数,S,y,是一个凸集,y,T,证明,1,f,拟凹,S,y,是一个凸集,x,1,S,y,x,2,S,y,那么,f,x,1,y,f,x,2,y,又因为,f,拟凹,f,x,t,min,f,x,1,f,x,2,x,t,S,y,所以,S,y,是一个凸集,y,即,2,S,y,是一个凸集,f,拟凹,x,D,x,D,不妨设,f,x,f,x,1,2,1,2,y,T,S,y,是凸集,S,f,x,2,也是凸集,x,2,S,f,x,2,x,1,S,f,x,2,x,t,S,f,x,2,f,x,t,f,x,2,min,f,x,1,f,x,2,f,拟凹,因为,则,由,因此,即,所以,称,f,D,T,是严格拟凹的,f,

31、x,t,min,f,x,1,f,x,2,t,0,1,x,1,x,2,定义A1.25 严格拟凹函数,严格拟凹函数的上优集边界不包含平坦的部分,问题,凹函数是拟凹函数吗,拟凹函数是凹函数吗,说明：拟凹函数不一定是凹的,y,X1,X2,x,定理,A1.15,凹性蕴含着拟凹性,一个凹函数总是拟凹的，一个严格,凹函数总是严格拟凹的,证明,1,假设,f,D,R,是凹的,x,D,x,D,不妨设,f,x,f,x,由,f,是凹的,f,x,tf,x,1,t,f,x,f,x,t,f,x,f,x,f,x,min,f,x,f,x,所以,f,是拟凹函数,2,1,2,2,1,2,t,1,2,1,2,1,2,5,凸与拟凸函数

32、,A1.26,凸函数和严格凸函数,称,f,D,T,是凸函数,f,x,t,tf,x,1,1,t,f,x,2,t,0,1,称,f,D,T,是严格凸函数,f,x,t,tf,x,1,1,t,f,x,2,t,0,1,x,1,x,2,定义,1,2,定理,A,1.16,凹与凸函数,f,x,是,严格,凹,f,x,是,严格,凸,证明,1,f,x,是凹的,f,x,是凸的,若,f,x,是凹的,x,D,x,D,f,x,tf,x,1,t,f,x,t,0,1,f,x,t,f,x,1,t,f,x,所以,f,x,是凸的,t,1,2,t,1,2,1,2,定理,A1.17,凸函数的图像及其上方的点,总会形成一个凸集,设,A,x,

33、y,x,D,f,x,y,是,f,D,T,的图像及其上方的点的集合，其中,D,R,是一个凸集,并且,T,R,则,f,是一个凸函数,A,是一个凸集,n,A1.27,拟凸函数和严格拟凸函数,称,f,D,T,是拟凸函数,f,x,t,max,f,x,1,f,x,2,t,0,1,称,f,D,T,是严格拟凸函数,f,x,t,max,f,x,1,f,x,2,t,0,1,x,1,x,2,定义,1,2,是拟凸函数吗,y,X1,X2,x,问题,z,x,2,x,0,是拟凹函数吗？是拟凸函数吗,定理,A,1.18,拟凸性与下劣集,称,f,D,T,是拟凸函数,I,y,是一个凸集,y,T,定理,凸性蕴含着拟凸性,一个凸函数总是拟凸的，一个严格,凸函数总是严格拟凸的,证明,1,假设,f,D,R,是凸的,x,D,x,D,不妨设,f,x,f,x,由,f,是凸的,f,x,tf,x,1,t,f,x,f,x,max,f,x,f,x,所以,f,是拟凸函数,1,1,2,t,1,2,1,