四川省成都市状元廊学校中考数学思维方法讲义 第4讲 反比例函数 应用问题

1、t?a?0? 反比例函数讲第4恰有三个整数解，则关于的不等式组x的一次函数t2、（2013成都23，4分）若关于?2t?1?4? 【今日目标】13a?2?x?ay?y的图象的公共点的个数为 。的图象与反比例函数 kx4?ykk的几何意义解决有关面积问题1、正确理解反比例函数的几何意义，利用中 x 、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决直线与双、以正、2方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将 联立组成方程组求得方 曲线的计算问题。程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用 来确定。 【精彩知识】 专题一：直线与双曲线的交点问题专题二：用函数的图像

2、解不等式 3m6?x?y4?y?）若一次2，当（】【例1（1）若反比例函数时，求这个函数的解析式；y?m?xyx?1BA已知当【例2】已知一次函数的图象交于两点，的图象与反比例函数、.4x21xmk?y2kxy? 的图象有交点，求的取值范围。的图象与（1函数）中的反比例函数y?yy?y1?0?x. 时，时，；当x2211 求一次函数的解析式； yABCC的面积，求到. 轴的距离为已知一次函数在第一象限上有一点3 变式训练：k ?y4)?x?ybk(1,A? 1的图象在第一象限相交于点、如图，已知反比例函数与一次函数x （1）试确定这两个函数的表达式； B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大

3、于一次2（）求出这两个函数图象的另一个交点x变式训练： 的取值范围函数的值的 k ?y(?1,2)y?x?b经过第一、三、四象限。1、已知反比例函数 的图象过点，直线 x （1）求反比例函数的解析式； k b?yb?yx?的值。 ）若直线（2与反比例函数的图象只有一个公共点，求 x - 1 - m变式训练： ?y2y?kx?PP 2、如图，一次函数，点在第一象的图象与反比例函数的图象交于点x1k?xy?y(k?0)AA点点，如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于过xySDAPAxPByBC，且轴、轴于点，限一次函数的图象分别交、轴于点轴于点x2PBD 1OCxM，已知的面积为作

4、1. 轴的垂线，垂足为OAM? 4，?2OA（1）求反比例函数的解析式； D 的坐标；）求点（1BBAB点的横坐标为1，2）如果不重合）为反比例函数在第一象限图象上的点（点，且与点（ 2）求一次函数与反比例函数的解析式；（xPPA?PB最小在，使轴上求一点. yx0?x. 时，一次函数的值大于反比例函数的值的（3）根据图象写出当的取值范围 A x OM k的几何意义解决有关面积问题 专题四：利用 方法归纳：4 AB?x0)y?(xA的图象上，】如图，已知动点在函数【例4 x AC?yCCADADABBABE，=至点，延长，至点轴于点，使延长轴于点 专题三：反比例函数中最值问题k?y 1的图象，

5、且当4x时，4y。1如图是反比例函数3【例】QE：DP?4：9xQPDEAEAC时，图中阴轴于点使。当=，。直线分别交x 1（）求该反比例函数的解析式；影部分的面积等于_ MNMN，并求(2)最短（不需证明）、分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段若 MN 长度的取值范围。出线段 变式训练： xOyABxyAB，与反比例中，直线轴分别交于点与，)(2012成都如图，在平面直角坐标系轴、 k ?ykkEFE作在第一象限的图象交于点函数0)过点 (，为常数，且x BE1 ?CEMFNFNyEMMFxN 交于点与轴于，过点若作轴于，直线mBF lCEFSOEFSm，则，为大于的常数)记的

6、面积为的面积为(21 S 1m的代数式表示) (= 用含S 2 - 2 - 【思维拓展】k ?yby?ax?NxyM的图像相轴交于点的图像分别与【例5】一次函数、轴、，与反比例函数x BxAEyCEAACBA分别轴，,，过点交于；过点分别作、轴，垂足分别为 CD。，BDyF、D，ACBDKxBF连接交与点作轴，垂足分别为轴，与 k?yBA试证，的图像的同一分支上，在反比例函数如图（ （1）若点1、） x S?SBMAN ; 明：；= CFBK四边形四边形AEDK k?yBA的图象的不同分支上，如图、分别在反比例函数（2）若点 x BMAN 与还相等吗？试证明你的结论；（2），则 MNEFEF

7、,试判断的位置关系，并说明理由。与（3）连结 【课后测控】 yOABCACxOy轴的边长为、分别在2cm【例6】如图所示，在平面直角坐标系，点中，正方形62上，且OA=4，过A作ACx轴于C，OA的垂直平分线交OC于B（1）则y=A1、已知点在双曲线)?(4,2DcbxABaxyx. +经过点的负半轴和轴的正半轴上，抛物线=、和x3. ）求抛物线的解析式1（AOC的面积为 ，（2）ABC的周长为 BCABAPBBQ1cm/s如果点2（）由点出发沿边以2cm/s边以由点出发沿的速度向点运动，同时点 。 22 PQS) (cm. C的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设= t

8、St 试求出与运动时间之间的函数关系式，并写出的取值范围；5 RPBSRQ如使得以，时，在抛物线上是否存在点当取、? 为顶点的四边形是平行四边形、4 R. 果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由 AMMD. 到，使得）在抛物线的对称轴上求点3（M的距离之差最大，求出点、的坐标 - 3 - 第 2小题图 第3小题图 第1小题图k xABBAyCx轴正半轴上，在双曲线垂直于的第一象限的那一支上，轴与点在2、如图，点，点x kDOBADEOCABEACAEEC的值且为23，点，点在线段的中点，若上，且，则3的面积为 _为 yAAAAAA?OA?xAAAA轴的在、轴上，且、3、如图所示，点,、分

9、别过点、作33312122112 8yOA，3OBOB?4OA?AOBCx轴，建立如所在直线为，6、已知：在矩形分别以中，轴和BB)?0(xy?BBBB作的图像分别交于点，分别过点、平行线，与分比例函数332121xFFC，BCB点的反比例函数上的一个动点（不与，过图所示的平面直角坐标系重合）是边yOBCxOBOBCC那么图中阴影部分的、，连接轴交于点 ,、轴的平行线，分别与、k332121EAC0)?(ky边交于点的图象与 x 面积之和为AOEBOF的面积相等； 与）求证：（1k?yBOABC 的图象经过点4、如图，四边形4是面积为的正方形，函数0)(xS?S?SSk有最大值，最大值为多少？

10、，求当 2）记为何值时，（xECFOEFk 求的值；(1)FEFCOBCEF上？若存，使得将对折后，沿点恰好落在（3）请探索：是否存在这样的点NAMAMABCBCMCBCOABCAB 、设线段分别沿直线、翻折，得到正方形、(2)将正方形F的坐标；若不存在，请说明理由 在，求出点k ?yEFEF ，求线段所在直线的解析式0)(x的图象交于点分别与函数、 x 部分答案： 1xC轴平行，纸，y）处两直角边分别与15、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在（，2A的坐标为（1，根据题意，由图像可知点6），2【例】(1) m9yykxBA ）的交点0 m与双曲线板的另两个顶点恰好是直线=+=（y?x?

11、mm=5, 一次函数的解析式为：代人中，得，x21; k和m1（）求的值y?x?5mBBDxAC的延长平行于交）（2过点轴，作直线1yLLPBA ，让一把三角尺的直角顶点之间的部分为在上滑动，）在 m（0=2（）设双曲线xD. 线于1ABABNMNMP 交于两直角边始终与坐标轴平行且与线段，使得两点，请探究是否存在点= ，2CyCC在双3. 3点到轴的距离为，点的横坐标为又 . 写出你的探究过程和结论 - 4 - 6 2?Cy ，（2,3即曲线上，）=36BxyA. 和双曲线直线, +5交于点=则 解得 x11 -4: 分 抛物线的解析式为22xx?y?5?xy?631xx?6?2222 22

12、1 , =PB2t)+BQ+ t (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ=(2B （1）6，得 解方程组，?6?61y?y?y2?8t+4 (0t1) -6分 即 S=5t?21x?假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形. 55b6?k?22232t+11=0, 得8t+4=S=5t 20t8t+4 (0t1), 当S=,时, 5t11x?by?kCAAC44解得，），点（3，2）代人得，设，的解析式为，把点6（1?11b?3k2?11111 （不合题意，舍去）-7分 ，t =解得 t = 1028b?2,k?xyyDxx ,1=2+8. 当即点=）时1（

13、1=24.5+8,，=4.5,113）， ，）Q点的坐标为（2此时点 P的坐标为（1，-22112112SS?S3?7-?=21. =BCDABCABD若R点存在，分情况讨论: 22223 例变式4 3, R的纵坐标为PB, 则，R的横坐标为】假设R在BQ的右边, 这时QR【A2 3311, 左右两边相等，这时存在R(3, )，代入)满足题意. 即R (3, 22xxy?223633 即(1, ) 则：R的横坐标为1, 纵坐标为代入R【B】假设在BQ的左边, 这时PRQB, 2211, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 22x?y?x?36511 代入R(1，, )PR】假设R在PB的下方,

14、 这时QB, 则：C【22xx?y?236 左右不相等, R不在抛物线上. 3)满足题意. -11R(3, 分 综上所述, 存点一点2CAMAMBAANMxN.xCBN ，则轴于点，轴于点解析：过点、分别作（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的2?BCBCBN8?y?BhBNmhAMA的图象上，在反比例函数由点，则.设=.、） 坐标为（1，xmACAB?BCAM3?OM?ONS SS S S S =.， OBNOABNOABOABNOAM形形边四梯边四形mhhSS)y，)F(x，E(xyFOBAOE，小题：课后测控6（1）证明：设，的面积分别

15、为与，21?-2?2m212112）（gg）=mh+(h=BN+AMBN)-. =AMNBmh?mhkk?yy? ，由题意得221xx, : (1)解】6【例据题意知4（，）D，2) 2), B(2, : A(0, 2131111xy?kS?xy?k?S， 2211122222 - 5 - 222S?SFOBAOE 与的面积相等，即2119k?21222?kMFMBQ?BF?k3? ，解得?8444?kk?，34，FEF，E21k 两点坐标分别为，（2）由题意知：，?BF?43 ?324211111?gF，4?4?kECkCF?3?S? 存在符合条件的点，它的坐标为 ?ECF324322?11 SSS?S?S?12?k?k?12?Sk?S ECFECFAOEECFEOFBOFAOBC矩形22 111? k?4?k32S?S?S?12?k?2?S?12k? ?ECFOEFECF423 ? 12k?k?S