18.2.3正方形[共78页]

1、18.2.3 正方形,永善县墨翰中学 陈 峰,2002年世界数学大会会标,图片欣赏,剪一剪,1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗,正方形,矩形,剪一剪,2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,创设情景,问题,从这个图形中你想到了什么,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,

2、D,情景二,新知探究,A,B,C,D,A,B,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形,矩形,正方形,新知探究,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形,新知探究,有一个角是直角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,给正方形下个定义,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形,回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列,对边平行且相等,四条边相等,对边平行且四条边相等,对角相等,四个角都是直角,四个角都是直角

3、,对角线互相平分,对角线相等,对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,图形,性质,分类,正方形,类 比 归 纳,角 ：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形,正方形的性质,你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法,正方形的判定方法,可从平行四边形、矩形、菱形为基础,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础,既是菱形又是矩形的四边形是正方形,请发表

4、你的见解，谈谈你的收获,小结,5种识 别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,挑战自我,1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（ ） (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（,快速反应,判断题,6）正方形一定是

5、矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 （,12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(,13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 (,正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等,B,D,选择题,3、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正

6、方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD,C,A,6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm,7.5,试一试,4.已知：正方形ABCD对角线AC、B

7、D相交于点O，且AB2cm，则AC= , 正方形的面积S=_,练一练,2,2,4,6,36,5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC6 cm， 面积S=_.则边长AB_,5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O,若AB=BC，则四边形ABCD是（ ） 若AC=BD，则四边形ABCD是（ ） 若BCD=900，则四边形ABCD是（ ） 若OA=OB，则四边形ABCD是（ ） 若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是 （,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么,解：BE=DE

8、. 因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点， 所以 BE=DE,已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O,求证： ABO BCO CDO ADO,例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形,3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O,分析：要证明BMCN，大家观察 图形可以考虑证哪两个三角形全等 ,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N,求证：BMCN,你能完成证明吗,ABBC，1245 条件够吗,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件,由正方形可以

9、得到的条件有,例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN,证明,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形,四边形ABCD是正方形（,DE=DF(,DEAC， DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(,而ACB=90,DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是 直角的四边形是矩形,

10、角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,4已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,分析： 欲证MFD45，由于 MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等,试一试 看能不能完成证明,CMDADF,例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明,DM=DF,RtCDMRtADF(AAS,又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正方形,MFD4

11、5,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,练一练,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS) CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF

12、的关系,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明,1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种,课外拓展,如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的

13、宽度），你有几种方法？（至少说出三种,请你当设计师,1 已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，如图(2,求：AC的长及正方形的面积S,E,F,G,矩形EFCG的周长,6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数,7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值,8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值,A,B,C,D,M,N,8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上

14、，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值,A,B,C,D,M,N,9、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E,求证：四边形ADCE是矩形,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由,10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由,2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立,11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N,1

15、）求证：MD=MN,2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立,F,P,思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由,探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少,探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与

16、 BN之间的关系是否还成立,构建与证明,O,B,A,如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形,八年级 数学,第十九章 四边形,数一数图中正方形的个数，你发现了什么,多,多,多,个（）个（）个 （）个,第n个图中正方形有 个,3n-1,长见识,八年级 数学,第十九章 四边形,四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数,8,解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450,2)若AC=4，则正方形边长 ; 正方形的面积是,4,3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离,AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EFAC交BC于F. 请说明：EC=EF=FB,解： 四边形ABCD是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=900 A