量子力学习题汇集

1、第一章习题证明下列算符等式设粒子波函数为，求在 范围内找到粒子的几率在球坐标中，粒子波函数为，试求：）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率；）在方向的立体角中找到粒子的几率已知力学量F的本征方程为求在状态波函数下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数已归一或不归一的情况）第二章习题一粒子在二维势场 中运动，求粒子的能级和波函数能级是否简并？由哈密顿算符所描述的体系，称各向异性谐振子求其本征态和本征值利用递推关系证明并由此证明在态下第 四 章 习 题 证明 为和的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时，没有确定值。 对于一转动惯量为的平面转子，其能量算符为，求体系的

2、能量本征态。如，求。量子化对称陀螺的哈密顿量可写成试求该对称陀螺的能量本征值。一质量为的粒子被限制在半径为 和的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化本征函数。第 五 章 习 题 为一角动量算符。试计算、在 的共同本征函数构成的表象中， 的子空间的矩阵表示。 已知体系的哈密顿量与另一力学量在能量表象中的表示为 ， 时体系的态矢量为（1） 求在 及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。（2） 时刻的态矢。（3） 求该体系力学量的可能值及几率和的平均值。（4） 时体系在表象中的态矢。第 六 章 习 题 设氢原子状态是(1) 求和的平均值；(2) 求总磁矩

3、的分量的平均值（用玻尔磁子表示） 在表象下求解的本征值方程在的本征矢测量有哪些可能值？这些可能值出现的几率及平均值并求此状态在表象中的表示和为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明，如果定义总角动量，证明设、是与对易的任意矢量算符，证明第 七 章 习 题 某物理体系由两个自旋的非全同粒子组成已知粒子1处于的本征态，粒子2处于的本征态，求体系总自旋的可能测量值及相应的概率（取） 一个处于中心势的粒子具有轨道角动量和自旋求和形如的自旋轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里是个常数 两个自旋的粒子组成的系统由等效Hamilton量描述，其中、是两个粒子的自旋，、是它们的分量，和为常数求该Hamilton

4、量的所有能级 两个无相互作用的粒子，质量相同为，处于一维无限深势阱中，势阱宽为，在阱中势为零，阱外势无穷大 (1) 求系统四个最低能级的值是多少？ (2) 求这些能级的简并度，如果这两个粒子 () 是全同粒子，自旋为； () 不是全同粒子，自旋都为； () 全同粒子，自旋为1 固定在轴上的两个电子间存在一个磁偶极偶极相互作用能，为Pauli矩阵，为常数（令）(1) 用总自旋算子表示 (2) 求的本征值和简并度6某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：， ，其中两个没有相互作用的粒子置于该势阱中对下列(1)，(2)，(3)各种情形写下：两粒子体系可能达到的两个最低能级；上述两个能级各

5、自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用表示空间部分，表示自旋部分，是总自旋） (1) 两个自旋为的可区分粒子(2) 两个自旋为的全同粒子(3) 两个自旋为0的全同粒子第 八 章 习 题 设一粒子作简谐振动，其哈密顿量，受微扰作用（）。试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较。 一个二维各向同性谐振子，质量为，频率为。在加入微扰（为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。 设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为其中、为实数。求（1） 用微扰公式求能量至二级修正值。（2） 直接求能量，并与（1）所得结果比较。总 复 习 题1. 试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质.2. 某

6、一角动量算符满足 如果定义： J+ = Jx + iJy , J- = Jx - iJy 试证明：(1) ; (2) 3. 已知一厄密算符在正交归一基矢张成的三维空间 中取如下矩阵形式求其本征值和本征矢.4. 实际氦原子的基态当然是非简并的。但是，考虑一假想的氦原子，其中两个带负电的，自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子。对这种假想的氦原子，问其基态的简并度是多少？给出你的理由（忽略与自旋有关的作用）。5试写出一被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。6对于坐标x构成算符(1) 证明它是厄密算符；(2) 求出它在坐标、动量表象中的表示。7 有一在势作用下的一维谐振子，它在

7、某一瞬时的波函数为式中为其归一化的本征函数，相应的本征值为(1) 求这一时刻的能量平均值；(2) 求这一时刻的位置平均值；(3) 过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化？为什么？8有一三电子系统，电子有三种可能的轨道态，和两种自旋态，。则系统的反对称波函数的数目是多少？并举出两个具体例子。9已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为(1) 求体系能量本征值及归一化本征矢；(2) 求将对角化的幺正变换矩阵。 10在表象中，求在的相应于本征值为的本征态中，的可能值及相应的几率。如果在表象中求解上述问题，会得到什么结果？11试证明守恒量的平均测量值不随时间变化。 12在轨道角动量算符和的共同本征态下，计算下列期望值： (1) 和； (2) 和； (3) 和。13自旋的三个全同粒子处在某有心力场中，忽略粒子之间的相互作用。三个粒子所处单粒子定态的量子数和均相同，且。求体系的可能的状态数，并且用简练的形式（如Dirac符号）表示之。14设哈密顿量在能量()表象中的矩阵为 其中、为小量。 (1) 用微扰法求能级至二级修正值； (2) 求准确的能级值，与(1)的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。15考虑一个具有三维态空间的物理体系。