201X_202x学年高中数学第2章函数2.4.2二次函数的性质北师大版必修1

1、4.2二次函数的性质,1,2,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像及性质,3,注:ymax,ymin分别表示函数y=f(x)的最大值、最小值,4,做一做】 已知函数f(x)=x2-2x-3,则 (1)函数f(x)的顶点是;它的图像的对称轴是. (2)函数的递增区间是;递减区间是. (3)当自变量x为时,函数的图像达到最低点,它的最小值是. (4)该函数在0,2上的最小值和最大值分别为. 解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4. (1)f(x)图像的顶点是(1,-4);对称轴x=1. (2)因为a=10,所以函数图像开口向上,递增区间为1,+),递减区间为(-,1. (3)在x=

2、1时达到最低点,最小值为-4. (4)结合图像可知函数在0,2上的最小值为-4,最大值为-3. 答案:(1)(1,-4)x=1(2)1,+)(-,1(3)1-4(4)-4,-3,5,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)所有的二次函数在定义域R上一定有最大值和最小值. () (2)若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)一定满足关系式f(a+x)=f(a-x). () (3)若二次函数f(x)满足关系式f(x)=f(2a-x),则说明该二次函数f(x)图像的对称轴为x=2a. () 答案:(1)(2)(3,6,探究一,探究二,探究三,探

3、究四,易错辨析,二次函数图像的对称性,7,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,8,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,3)若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x),则其图像的对称轴为x=a(a为常数). 2.利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小. (1)若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小; (2)若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大,9,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值. 解:由题意知,函数图像关于x

4、=2对称,故- =2,得b=-4, 所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3,10,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,二次函数的单调性 【例2】 若函数f(x)=-2x2+mx+1在区间1,4上是单调函数,则实数m的取值范围是,答案:(-,416,11,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围. 2.函数在区间(a,b)上单调与函数的单调区间是(a,b)的含

5、义不同,注意区分.前者只能说明(a,b)是相应单调区间的一个子集;而后者说明a,b就是增减区间的分界点,即函数在a,b两侧具有相反的单调性,12,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2已知函数f(x)=-x2+mx+1在区间1,+)上是减少的,求m的取值范围,13,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,二次函数的最值(值域) 【例3】 已知函数f(x)=x2+2ax+2. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间-5,5上的最大值和最小值; (2)用a表示出函数f(x)在区间-5,5上的最值. 分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论,14,探究一,探究二

6、,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为1-5,5,故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1; 当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37. (2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a. 当-a-5,即a5时,函数在区间-5,5上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a; 当-5-a0,即0a5时,函数图像如图所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f

7、(x)max=f(5)=27+10a; 当0-a5,即-5a0时,函数图像如图所示,由图像可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2,15,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,当-a5,即a-5时,函数在区间-5,5上是减少的, 所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a. 综上可得,当a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为27-10a; 当0a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为2-a2; 当-5a0时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27-10a,最

8、小值为2-a2; 当a-5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27-10a,最小值为27+10a,16,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值问题 首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式. (1)求二次函数在定义域R上的最值; (2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型: 顶点固定,区间也固定. 此种类型是较为简单的一种,只要找到对称轴,画出图像,将区间标出,最值一目了然. 顶点变动,区间固定. 这种类型是比较重要的,在高考题中多次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后根据不同情况写出最值

9、. 顶点固定,区间变动. 此种情况用得较少,在区间里含有参数,根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论,17,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3求函数f(x)=x2-4x-4在t,t+1(tR)上的最小值g(t). 解:由f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,xt,t+1,知其图像的对称轴为直线x=2. 当t2t+1,即1t2时,g(t)=f(2)=-8; 当t+12时,f(x)在t,t+1上是增加的, g(t)=f(t)=t2-4t-4,18,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,二次函数的实际应用 【例4】某人定制了一批地砖,每块地砖(如图

10、所示)是边长为1米的正方形ABCD.点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,CFE, ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成CFE,ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最省,19,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,分析:点E在BC上的位置由CE的长度确定,因此可设CE=x米,然后用x将每块地砖所需的材料费用表示出来,最后利用函数的知识求最小值. 解:设每块地砖所需的材料费用为W元,CE=x米,则BE=(1-x)米. 由于制成CFE,ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为30元、20元

11、、10元,20,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解实际应用问题的方法步骤,21,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润,22,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100 x,当x=300时,f(x)max=25 000, 当x400时,f(x)=60 000-100

12、 x是减函数, f(x)60000. 当x=300时,f(x)max=25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元,23,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因缩小了参数的范围而致误 【典例】 已知f(x)=x2+ax+3-a,若x-2,2,f(x)0恒成立,求a的取值范围. 错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图像可知,要使f(x)0在x-2,2上恒成立,则只需=a2-4(3-a)0对任意x-2,2恒成立,而上面错解中误认为f(x)0对任意xR恒成立,因此使所求范围缩小了,24,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨

13、析,25,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.解答时不能凭想当然,一定要充分利用题干中的信息,并且在化简或化归时要做到等价转化,例如错解中就不是等价转化. 2.本题错解误认为f(x)0对任意xR恒成立,而原题中的信息是f(x)0对任意x-2,2恒成立,从而使所求范围缩小了,26,1,2,3,4,5,6,1.已知函数y=-x2-4x+1,当x-3,3时的值域是 () A.(-,5B.5,+) C.-20,5D.4,5 解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5,所以f(x)图像的对称轴为x=-2,开口向下,所以ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20,故函数的值域为-20,5. 答案:C,27,1,2,3,4,5,6,2.函数y=x2-2x,x0,3的值域为() A.0,3B.-1,0 C.-1,+)D.-1,3 解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为-1,3,故选D. 答案:D,28,1,2,3,4,5,6,3.若f(x)=x2+(a+2)x+3,xa,b的图像关于x=1对称,则b=. 解析: