高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 23 反证法与放缩法 5

1、第二讲,证明不等式的基本方法,2,3,反证法与放缩法,学习目标,1,理解反证法在证明不等式中的作用,掌握用反证法证明不等式的方法,重点,2,理解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明,不等式,难点、易错点,1,反证法,1,反证法的定义,先,假设要证的命题不成立,以此为出发点，结合已,知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的,推理，得到和命题的条件,或已证明的定理、性质、明显,成立的事实等,矛盾,的结论，以说明,假设,不正确，从而证,明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法,2,利用反证法证明不等式，一般有下面三个步骤,第一步，做出与所证不等式,相反,的假设,反设,第二步，从,条件和

2、假设,出发，应用正确的推理方法,推出,矛盾,结果,归谬,第三步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的,假设,不正确,于是原证不等式,成立,温馨提示,1,不要把,假设,写成,设,2,必须,从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推理,的条件，否则就不是反证法,2,放缩法,把要证的不等式一边适当地,放大,或,缩小,使之得出,明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法,常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利,用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进,行放缩等比如,舍去或加上一些项,a,1,2,2,3,4,a,1,2,2,将分子或分母放大,或缩小,1,

3、k,2,1,k,k,1,1,k,2,1,k,k,1,1,k,2,k,k,1,1,k,2,k,k,1,k,R,k,1,等,1,思考判断,正确的打“”，错误的打“,1,反证法可以把“假设”写成“设,2,当结论的反面有多种可能时，只需列出其中一种,情况证明,3,利用放缩法证明不等式的关键在于放大,或缩小,要适当,4,放缩法放大、缩小的限度是唯一的,解析,由反证法和放缩法易知,1,2,4,错误,答案,1,2,3,4,2,如果两个正整数之积为偶数，则这两个数,A,两个都是偶数,B,一个是奇数，一个是偶数,C,至少一个是偶数,D,恰有一个是偶数,解析,假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也,是奇数，这与已

4、知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶,数,答案,C,3,若,a,c,h,b,c,h,则下列不等式一定成立,的是,A,a,b,2,h,B,a,b,2,h,C,a,b,h,D,a,b,h,解析,a,b,a,c,b,c,a,c,b,c,2,h,答案,A,4,用反证法证明,2,3,5,不可能成等差数列,时，正确的假设是,_,答案,2,3,5,成等差数列,5,A,1,1,2,1,3,1,n,与,n,n,N,的大小关系,是,_,解析,A,1,1,1,2,1,3,1,n,n,项,n,n,n,答案,A,n,类型,1,反证法证明不等式,自主研析,典例,1,已知实数,a,b,c,d,满足,a,b,c,d,1,ac,

5、bd,1,求证,a,b,c,d,中至少有一个是负数,证明,假设,a,b,c,d,都是非负数,即,a,0,b,0,c,0,d,0,则,1,a,b,c,d,ac,bd,ad,bc,ac,bd,这与已知的,ac,bd,1,矛盾,所以假设不成立,所以,a,b,c,d,中至少有一个是负数,归纳升华,1,当待证不等式的结论为否定性命题或含有,至,多,至少,等字眼时，若正面难以找到解题的突破,口，可转换视角，用反证法证明,2,在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论,相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程,中必须使用这个增加的条件，否则就不是反证法,变式训练,已知三个正数,a,b,c,成等比数列，

6、但,不成等差数列求证,a,b,c,不成等差数列,证明,假设,a,b,c,成等差数列，则,a,c,2,b,即,a,c,2,ac,4,b,又三个正数,a,b,c,成等比数列，所以,b,2,ac,即,b,ac,所以,a,c,2,ac,4,ac,即,a,c,2,ac,0,所以,a,c,2,0,所以,a,c,即,a,c,从而,a,b,c,这与已知中,a,b,c,不成等差数列矛,盾,所以原假设错误，故,a,b,c,不成等差数列,类型,2,用放缩法证明不等式,典例,2,已知,a,n,2,n,2,n,N,求证：对一切正整,数,n,有,1,a,1,1,a,2,1,a,n,3,2,证明,因为当,n,2,时,a,n

7、,2,n,2,2,n,n,1,所,以,1,a,n,1,2,n,2,1,2,n,n,1,1,2,1,n,n,1,1,2,1,n,1,1,n,所以,1,a,1,1,a,2,1,a,n,1,1,2,1,1,2,1,2,3,1,n,n,1,1,1,2,1,1,2,1,2,1,3,1,n,1,1,n,1,1,2,1,1,n,3,2,1,2,n,3,2,故,1,a,1,1,a,2,1,a,n,3,2,归纳升华,放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个,中间量，如将,A,放大成,C,即,A,C,后证,C,B,常用的放缩技巧有,1,舍掉,加进,一些项,2,在分式中放大,缩小,分子,分母,3,应用基本不等式

8、进行放缩,变式训练,1,已知,x,0,y,0,z,0,求证,x,2,xy,y,2,y,2,yz,z,2,x,y,z,2,求证,1,2,1,n,1,1,n,2,1,2,n,1,n,1,n,N,证明,1,因为,x,0,y,0,z,0,所以,x,2,xy,y,2,x,y,2,2,3,4,y,2,x,y,2,同理,y,2,yz,z,2,z,y,2,因为由,得,x,2,xy,y,2,y,2,yz,z,2,x,y,z,所以原不等式成立,2,证明,因为,n,1,n,N,所以,1,n,1,1,n,2,1,2,n,1,n,1,n,1,n,1,1,n,1,1,n,2,1,2,n,1,2,n,1,2,n,1,2,n,1,2,所以原不等式成立,1,常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否,定假设,常见,词语,至少,有一,个,至多,有一,个,唯一一,个,不,是,不可,能,全,都,是,否定,假设,一个,也没,有,有两,个或,两个,以上,没有或,有两个,或两个,以上,是,有或,