小学奥数 几何五大模型相似模型演示教学

1、 小学奥数-几何五大模 )型模似相(型 任意四边形、梯形与相似模 型 相似三角形模型模型四 ) 沙漏模型 (一)金字塔模型二AFDEBCG FDEACGB AFAEDEAD ；?AGABACBC 。22AG:?：SSAFABCADE 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似

2、三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 ，那么，如图，已知在平行四边形中，10?ABCDADAB?16 1 【例】4BE?的长度是多少？ FCDCFAEB 中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为图 【解析】AB4 ，所以平行于，所以4?1:4:16BE:CDCD?BF:FC?8FC?10? 4?1 被分为厘米，如图，测量小玻璃管口径的量具的长为 【例 2】ACABC15AB，)等份处(平行等份。如果小玻璃管口正好对着量具上2060ABDEDE 是多大？那么小玻璃管口径DEBEDCA06

3、01040503020 ，所以，有一个金字塔模型，所以 【解析】40:60DE:15?DC:AC?DE:AB 厘米。10?DE 。，那么平行，若如图，?:SS _2:3AD:DBBC? 3】 【例DEECBADEAED BC根据金字塔模型， 【解析】2:53)?2:(2?:AC?DE:BC?AD:ABAE， 2225?24:5:S:SABCADE设份，则份，份，所以155432525?S?S?S?BECADEABC。 :15S:?4SECBADE 如图，中，互相平行， BCABCFG 4】 【例FBADDE?DF?。?:SSS则 ADEFGCB四边形DEGF四边形 AEDGFBC 份，根据面积

4、比等于相似比的平方，设 【解析】1?SADE，因此，所以22229?AD?:?AD:AFAB?1:41:S:S:SSABCADEADEAFG 份，份，9?SS?4ABCAFG份，所以进而有份，53?S?SFGCB四边形DEGF四边形 53:S?1:S:SADEFGCB四边形四边形DEGF 的长。，且，求【巩固】如图，平行ACAB?BC54DEAE2?AD?AEDBC ，所以由金字塔模型得 【解析】105?4?2:?AE:AC?DEBC?2:5?AC:ADAB 互相平行， 中，【巩固】如图，PQBCFGMNABCDE ，PBMP?AD?DF?FM? 。则?SSSSS:ADEPQCBMNQP四边形

5、四边形DEGF四边形FGNM四边形 ADEFGNMPQCB 份，进而有，因此4设22份， 【解析】4AF1:SS:?AD?:?1SS?AFGADEAFGADE份，份，同理有份，597?SS?SS?3PQCB四边形MNQP四边形FGNMDEGF四边形四边形 份所以有9:3:5:71: ?SSSSSADEPQCB四边形四边形FGNM四边形DEGF四边形MNQP 继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形【总结】 的面积成等差数列。 ，且，若已知中，平行大比 】【例 5S2:3BC?AD:DBABCDESADEDBCE梯形，求2 。cm8.5SABCAED BC，根据金字塔模型 【

6、解析】2:5?3)?DE:BC?2:(2ABAD:?份，份，则，设2542225:?:SS?24:5?SS?ABCADEABCADE份，恰好是大份，比17，所以2cm?S?254?218.5SSADEDBCEDBCE梯形梯形 2cmS?12.5ABC ，如图：平行的长度，求:9?4S:ScmAM?4 BCMN 6】 【例BMBCPMPNAMN PBC，所以，在金字塔模2:3BC?MN:沙漏模型中，因为在 【解析】:94:SS?BCPMPN型中有： ，因为，所以cmAM?46?3ABBCABAM:?MN:?2:3?4?2cm cm246?BM? 【巩固】如图，已知平行，那么 。_?AB:AD23

7、:?EO:BOBCDEADEOBC ，再由金字塔模型得沙漏模型得由 【解析】2:DE?3:BO:EO?BC 2:3?:BCAD:AB?DE 11的面积，如图，中，与平行， 】【例 7EOD?ABCBC?EDAC?AE?ADAB 44 的面积是 平方厘米。是1平方厘米。那么AED? ADEOBC 11 与因为平行， 【解析】BCEDACAE?AD?AB 44，根据相似模型可知，4?1:41:EO:OCED:BC?44平方?S?SEODCOD? 厘米，则541 平方厘米，?SCDE?51又因为1:3: 平方厘米)，所以(?S?ADDCS?5?S? CDE?AED?AED?33 的面积是在图中的正方

8、形中，分别是所在边的中点， 8】【例CDOVCBA 面积的几倍？ABOVCCFBBOOEDDAA ，根据相似三角形性质，可知，易知连接 【解析】OABCEF的面积等于，所以，且CDO2VBE:?DA:DE?ADODOB:?AE:1:OA11，所以的面积；由可得OAVCOCBO?3AC?OABE? 42 面积的3的面积是，即倍。ABOVCDOVS?3SS?ABOVCDOVCBOV 如图，线段与垂直，已知，那么图中阴 】【例 96?EC?4BEBCBDAD?AB影部分面积是多少？ AA DOCCBBEE A DOCBE 法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图解 【解析】 形的

9、对称轴看看，且对称，有作辅助线，则图形关于，BOBOS?SS?SEBOVVDBOVCEOVADO :3?2S:S?4:6DBOVADOV设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面ABEDBOVVADO积为8份 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面306102?S?ABEV积为 15?4?30?8解法二：连接、由于，所以DEDE6BE?4?BDAC?AD?EC，根据相似三角形性质，可知， 3:56:10?BD:BAAC?DE:AC根据梯形蝴蝶定理， ?2225:9:153?55?:S:SS:S3:153?5:?COAVDOACOEVDOEVV15?； 所以，即329151515:1

10、515:25?S?S?S?S 阴影ADEC梯形阴影ADEC梯形321115 ，所以又15S?10?S?10?6?6=32S? 阴影梯形ADECADEC梯形3222 (年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如 】 10【例2008图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是ABCDEFGHABCD，则四边形的面积 _?EFGH3:1?GC:BG16EADFGCB 为平行四边形为平行四边形，所以，所以因为 【解析】AGCEEC/AGFGHE11 ，所以，那么4:BC?:BGGC?3:11:GC4?S?16S? ABCDYYAGCE44 ，所以又，根据沙漏模型，1:3GC:BGAE?GC?

11、AE:BG?33 ，所以3:1?:AEFG:AF?BG3?4?SS? AGCEYFGHEY44 的中点，且，是已知三角形的面积为， 11】【例2:1ABCFC?AF:BDEa ，求阴影部分的面积，交于GBCCDEFA DFEGCB ，利用相似三角形性质可知已知，且 【解析】BC2:1AF:FC?EF2 ，且，所以2:3:AC?EF:BC?AF9:S?4SBC?EF ABCVVAEF3的中位线，那么的中点，所以是三角形又因为是BDEDBCEG211，可得，所以41:EF?GF?3:4EGBC:EGEF?: 322a ，所以，那么1:18:?S:SS?1:8S?S ABCVVCFGCFGVAFEV

12、CFGV18 、的延长线于点已知正方形，过的直线分别交 【例 12】CABCDEABAD 的边长，且，求正方形cm10AFcm?15AE?ABCDFBEADCF ，法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有方 【解析】EF:?BC:AFCE，所以有，设正方形的边长为cmxEF:CF?AE:DCxCFxBCDCCE，所以正方形的边长为，即，解得6?x1?1? 10EF15AFAEEF cm6x15?x方法二：或根据一个金字塔列方程即 ，解得6?x? 1510 毫米，高如图，三角形是一块锐角三角形余料，边 【例 13】120ABC?BC上，其毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BCAD

13、80? 上，这个正方形零件的边长是多少？余两个顶点分别在、ACABAPNBCGHD 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所观察图中有金字塔模型 【解析】5BPAPPHPN以有毫米，设正方形的边长为x? ABADBCABxxPNPHAPBP，即正方形的边长为，解得，即48x?1?1? 80BCADABAB120 毫米48 、分别在在上，、【巩固】如图，在中，有长方形，、BCDEFGABCGABFED厘，于，上，是 边的高，交12BCABC?1:BC2?DG:ACDEDEAHM 厘米，求长方形的长和宽米，8?AHAMEDFGBHC 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所 【

14、解析】5DEADDGBDDEDGADBD以，则，设，所以有，xDG?1? ABABBCAHBCABAHAB4824xx2，解得，因此长方形的长和宽，所以有，xDE?2?1?2x?x 771282448，分别是 厘米厘米 77 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连 【例 14】CABCD12cmGD成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三cm4EFAB角形 的面积是多少？GDCGGEFEFBABANCDCDM 与三与平行，从而三角形根据题中条件，可以直接判断出 【解析】GEFDCEF角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题 GDC做垂直于，交于 ABMNDCGM因为，所

15、以三角形与三角形相似，且相似比为EFGDCDCGEF， 1:3?4:12?EF:DC?，所以 ，又因为所以cmGM?1812:GM?1:3MN?GM?GN?GN?1的面积为所以三角形GDC 2cm?108?12?18 2 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中 】【例 15132的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ MBENOF 1EM3NF ，；据相似三角形的对应边成比例有：根 【解析】? 32?1?22?312?55则， ?EMNF? 931519? ?2?2?S? 阴30532? (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘 】【例 16米)，它们的面积之

16、和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 BAGE ，则大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()设22 【解析】52?nmnm?nm，则若所以5m8?m?只能，不合题意，所以22252?n?550?2mm满足题意，所以大、小正方形的边或67检验可知只有、为4?nm?6厘米根据相似三角形性质，长分别为6厘米和4，所以阴(厘米)，得，而3.6BGGF?6BG:GF?AB:FE?6:4?3:2?BG1影部分的面积为： 平方厘米)(10.8?6?3.6 2 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的 】【例 17O面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 34DADA 44EE3O

17、O3CCFFBB 1所以,，所以134的三角形占了矩形面积的面积为连接, 【解析】OB?S?4 OEB4,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为5:8?:CECAOE:EA?1:3525 2?8?() 88 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是 18】【例GABCD70FADE边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？ EHOBCEEAADD OOHHCCBBGFGF 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果 【解析】BCGFEAD把长方形的长分成份的话，那么份、份，2?GC?3BF?FG6?EDAD大家能在图形中找到沙漏和：有，所以4BG=3EODBOGED，相当于把分成()份，同理

18、也可以在图中在次找73BOOD?44?3BD到沙漏：和也是沙漏，由此可以推出：23EHDBFBHF?ED, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成53?22HDBH?3BDBD份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，67HO515ODBH351435连接则可知的面积为EBBED，在为底的三角形中占HOBD?70?4 2356份，则面积为：(平方厘米). 63? 235 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、 】【例 19ABCDABEF的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米 BC ADGA D OOEEHMMBBCCFF 法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性方

19、 【解析】 质 、分别为设、的中点，连接BDEFADHGHDCG1 可得，SS= AEDVABCD平行四边形4，所以平均分成四段，又对角线被、EFEFBDOMACGH32? ，3:ED?3ED?OD?:ED?1:3?2OE?ED2:3DO:BD:BD? 441111 所以，(平方厘米)6?72?S?S? AEOVABCD平行四边形4343 平方厘米)(12?S?S2AEOADOVV同理可得平方厘米，平方厘米 126?SS?CDMVVCFM所以 366624(平方厘米)， ?S?S?SCFMVABCVVAEO于是，阴影部分的面积为(平方厘米) 48?1224?12方法二：寻找图中的沙漏，21:A

20、OOC?AE:CD?，因此为的三等分点，MO,AC2AM?1:ADFC:?CM:11(平方厘米)，12?72?S?S ODMABCD平行四边形6611(平方厘米)，同理(平方厘米)，所6?S6S?212?S? FMCOCDAEO44以S?72?12?6?6?48(平方厘米) 阴影 的长是平方厘米，长方形如图，三角形的面积是68ABCD 20 【例】PDM的面积是的中点，则三角形厘米，宽是厘米，是4 BCAPDM平方厘米 NDDAAKPPCBCBMM 题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边本 【解析】 的中点，一般需要通过这一点做垂线 于的中点，连接，设交取KPDADMNN

21、MN被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边则三角形PDM1，所以平方厘米)，可知三角形的面积等于(PDMMK8?MK?BC 2488 )，那么(厘米(厘米)?NK?4MK=? 3338的中位线，所以是三角形因为APDNK，所以三)(厘米?AP?2?NK 381 的面积为角形APD 平方厘米)(8?6 32 分别交、的中点，与如图，长方形中，为ABCD 21 】【例BDAFADEBE，已知，垂直，于，交于于、cmAH?5cm3HF?OGOEAFEADH求 AGEDAGOHFCB ，于，利用相似三角形性质可以得到由 【解析】5:3HF?:DF?AH:ABDFAB ，为中点，那么有又因为AD

22、E21:OE:FD?3所以，利用相似三角形性质可以得到10:3OE?5:?AB: 2 ，10:3:AG:GO?ABOE?401011?而? ，所以cm4cm?AOAF?53?AG4? 132213 的中点，、分别为、右图中正方形的面积为，1 22 【例】BDFABE1求阴影部分的面积 FC?GC 3DADA FEEGGBCIBHC 中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通题 【解析】过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用 相似三角形的性质阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便 可求出面积 可以作垂直于，垂直于FHIBCGIHBC

23、，所以，又因为根据相似三角形性质，HB?1:3CH?CG:CF?CI:CH5115 ?，所以，即65:6BI:BC?6?161:CB?CI:?S? BGEV24622 的延长的中点，12，为梯形的面积为 【例 23】ACABABCD?2CDBEE 的面积是 线与交于，四边形CDFEFAD DDCCGFFEEAABB 延长、相交于 【解析】GCDBF由于为的中点，根据相似三角形性质，ECD2?ABAC?CG11，再根据相似三角形性质，2:1?:DGAF:FD?ABAB?GC?GD 22，而， :12AB:CD?S:S1:3?GF:GBBCD?ABD11所以， 82?S?S4?12?S?S BCD

24、GBC?ABCD?BCD33S1111又，所以GDF?S?S GBC?EBCS2362GBC?1811? ?S1S?S? GBC?GBCCDFE3326? 【例 24】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、分别为各边的中ABCFED点，那么阴影部分的面积是 平方厘米 AA NBCCF A EDMNCBF 影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为阴 【解析】与两个三角形的面积之差而从图中来看，既可以转化为BEF?EMN? 的面积之差的面积之差，又可以转化为与CFNBCM? 法1)如图，连接(DE为平行四边形，且面积分别为各边的中点，那么由于、BDEFDFE的面积为平行平方厘米

25、；那么为三角形面积的一半，即30BEF?ABC 平方厘米四边形面积的一半，为15BDEF的中位线，为三角形根据几何五大模型中的相似模型，由于DEABC1，所以长度为的一半，则21:BM?DE:BC?BCEM: ；EBEM? 31，所以 1:1FC?FN?DE:EN:ENEF? 2111面积的那么的面积占BEF?EMN?，所以阴影部分面积为? 6231? (平方厘米)12.515?1? 6?(法2)如图，连接 AM根据燕尾定理，:1:1， 1:1:DB?S:S?SS?AEEC?ADBCM?BCM?ACM?ABM11所以 平方厘米，20?60?SS ABC?BCO33111而平方厘平方厘米，所以7

26、.5?30?SS?60?SS BDC?ABCFCNBDC?422 米， )(平方厘米那么阴影部分面积为12.5?207.5 求三角形的面积，一般有三种方法：【总结】 ；利用面积公式：底高2? 利用整体减去部分； 利用比例和模型 的,是直角梯形，那么梯形如图 【例 25】3?4,AD?5,DEAB?ABCDABCD? 面积是多少ABFABOOCDECED 的面积，再交于点，分别计算延长 【解析】BOC,AOD,AOB,DOCEOFAB 求和 1DEBF?DOOB?3 13 ；1?SS?3SS?BOCDOCAOBAOD SS?BOCAOD1 又10?4?5?S? ABD23 ,22.57.532.

27、5,7.5,3?SS?S?S7.5?S?S BOCDOCAOBBOCABDAOD4 407.52.57.522.5?S?ABCD梯形 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影边长为厘米和 【例 26】812 三角形的面积是多少平方厘米？AB MN OHCED ，小正方形为图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为给 【解析】ABCD ，分别交于两点，HOAC,AD,MNDEEB ，5?AOOC?312?ABEC?20?35AHBCAOOC，5?3ACAO?38ADAH409 SS?AHOADC1 27212?S? ADC299 16.2?72SS? ADCAHO4040 如右图，长方形中，求的

28、长 AG9?FG16?EFABCD 27 】【例DAGFEBC AGDG ，为，根据相似三角形性质知因 【解析】BEDA? GEGBFGDG， 又因为ABDF ，? GAGBFGAG所以 ，所以，即2215225?FG?25?9?AG?GE15AG? GAGE 是)如图，已知正方形的边长为，(第届迎春杯试题 】 28【例ABCDF421相交于点是边上的点，且，与边的中点，1:3DC:DEEC?BCBEEAF ，求GSABGABABGGFFDMDCCEEABGFDCE ，构造出两个沙漏，两条线交于点方法一：连接，延长 【解析】DCAFAEM，再根据，因此，根据题意有所以有3CM?4CEAB:CM

29、?BF:FC?1:1?，所以另一个沙漏有4:7?AB:EM?GB:GE3244 ?4?2)?S?(4S ABEABG114?711方法二：连接，分别求，EF,AE4224?S?ABF，根据蝴蝶定理7?42?3?24S?4?4?1?2AEF4432，所以 7:?S:SBG:GE?4S?(4?4?2)?S? AEFABFABEABG4?71111 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、 29】【例ABCDADABEF的中点， 交于，求 的面积BMGEC?BFMFDAHE MGBCAIFD H EMGBC，而、的中点，得解法一：由题意可得，、是 【解析】BD/EF/ADFABE ，2:HC?1:

30、FD:BC?FH ，所以2:3?:1:2EFCH:CF?GH?EB:CD?BG:GD ，所以并得、是的三等分点，所以BDHGH?GBG ，2:3MF?BMBG:EF?:11211 ；所以，?BFSS?S?BM? ABCDY?BFDABD422251121112又因为 ，所以?S?BG?BD?S? BFD?BMG?30543353 于，如右图， 解法二：延长交CEDAI 可得， 1:1?:EBBCAI:?AE 的点的位置， 从而可以确定M ， 2:3IF?:BMMF?BC:12 ，(鸟头定理)BDBG?BM?BF 35111212 可得 ?S?S?S ABCDBDF?BMGY?3045533 是

31、120平方厘米，)(清华附中入学试题正方形的面积是 30【例】ABCDE 平方厘米的中点，四边形的面积是 是的中点，BGHFBCFAB ADEGHADFCBEGHF CBM 的面积求四边形的面积须求出和欲 【解析】CHFBGHF?EBG1，所以可得：由题意可得到：21:GC:?EB:CD?EG S?S BCEEBG?3 点，可得：将、延长交于DFABM ，1:1?BF:FCFDBM:DC?MF:?21而 ，得，CE2CH?(AB?AB):CD?3:?EH:HCEM:CD 521112而 ，所以S?CF?BCSS BCEBCE?CHF5225111 30?120S?AB?BC? BCE?4227

32、711 14?S?S?S?30S?S? EBC?EBCEBC?EBCBGHF四边形155153 ，)的位置(也就是 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定HDFH:EFH 同样也能解出 分别在上，且,如图，已知点 【例 31】CA,AB,E,FBCD14S?ABC，则是多少？ SS?FC5,AF?AD?2,BD?SABEABEDBEF四边形CCEEFFBABDAD 的几分之几就可以计的面积已知，若知道的面积占 【解析】ABCABEABC 的面积连接算出CDABE SS?ABEDBEF四边形 SS?ADEDEF 与平行，DEAC SS?CDEADE S?SCDBABE ，2?AD5BD? 52:?SSCDBVVACD5S5 ABC10