关于高年级初中中学数学动点专题

1、动 点 问 题动点问题 ：是指图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、 射线或弧线上运动所形成的轨迹或变化的图形. 顾名思义，动点问题不同于我们一般的几何题目，它的图形是发生运动变化的。解决这类问题的关键 ：动中求静 , 找出运动的点（线）和不动的点（线）。要求在熟练掌握三角形、长方形（正方形）、梯形、扇形等图形的图形性质的基本上，通过“对称、平移、旋转” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。从数学思想的层面上要掌握： （1）运动观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等动点问题解题思路：归纳为 12

2、个字“看要素，表线段，列等式，查结果” 。分析动点变化的要素，包括：起点，终点，速度，方向，运动范围等观察哪些是运动的点（线），哪些是固定不动的点（线）明白了点的运动，再把图中的线段长度表示出来用距离（ S）=速度（ V） 时间（ T） ，以便于下一步的运算利用一些不动的量，长度不变的线段 ，列出等式。这里有很多变化，动点问题的核心考查也在这里，查结果。 这就涉及到动点问题的又一难点范围。最后一定要将结果返代回题目中进行考查看是否满足题意，不满足的要舍去。例题： 梯形 ABCD 中，ADBC，B=90 ，AD=16cm ，AB=6cm ，BC=24cm ，动点 P 从点 A 开始，沿AD 边，

3、以 1 厘米/秒的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 开始，沿 CB 边，以 4 厘米/秒的速度向 B 点运动。已知 P、Q 两点分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为 t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形 PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形 PQCD 是直角梯形？（4）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是等腰梯形吗？为什么？? ? ?我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。1，看要素。 其中点 P 和 Q 为动点，其余点问固定点。点 P 运动的起点为点

4、 A，终点为点 D，方向为 AD 方向，速度为 1 厘米/秒。点 Q 运动的起点为点 C，终点为点 B，方向为 CB 方向，速度为 4 厘米/秒。? ? ?我们可以看到两点是相向运动，点 Q 速度要快。另外大家这里要特别注意点的运动范围：点 P 从A 到点 D 需 16s，点 Q 从点 C 到点 B 只需 6s，而题目中说“当其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是 6s，也就是说大家解出的答案不能大于 6 了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。2，表线段。 运动时间为 t，则 AP=t，CQ=4t ，PD=16-t ，BQ=24-4t ，还可以得到

5、 AB=6 ，CD=103，列等式。 这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。? ?平行四边形：对边相等。 PD= CQ，16-t=4t ，t=3.2? ?菱形：四边都相等。 PD=CD=CQ=PQ ，即 t=3.2 且 PD=12.8 ，但 PD=CD=10 ，矛盾，不可能形成菱形。? ?直角梯形：借助四边形 APQB 是矩形，矩形对边也相等。 AP=BQ ，t=24-4t ，t=4.8? ?等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。过点 P，D 分别向 BC 作垂线，垂足为 E，F，则 QE=CF ，t-(24-4t)=24-16 ，t=6.44，查结果。 我们发

6、现第四问的结果超过 6 了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。动点问题常见题型：一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ,和动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 ,引起未知量与已知量间的一种变化关系 ,1、应用勾股定理建立函数解析式例 1：如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH OA, 垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段 ?如果有 ,请指出这样的线段,并求出相应的长度 .(2) 设 PH=x ，

7、GP=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写自变量 x 的取值范围（即自变量 x 的取值范围 ).(3) 如果 PGH 是等腰三角形 ,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 ,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2.图 1(3) 2、应用比例式建立函数解析式例 2：如图 2,在ABC 中,AB=AC=1, 点 D,E 在直线 BC 上运动 .设BD=x ,CE= y.(1)如果 BAC=30,DAE=105,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2)如果 BAC 的度数为,DAE 的度数为,

8、当 ,满足怎样的关系式时,(1) 中 y 与 x 之间的函数解析式还成立 ?试说明理由 .解:(1)在 ABC 中, AB=AC, BAC=30 , ABC= ACB=75 , ABD= ACE=105 . BAC=30 ,DAE=105 , DAB+ CAE=75 ,又 DAB+ ADB= ABC=75 , CAE= ADB, ADB EAC, AB BD ,CE AC1 xy 1, y1x.(2)由于 DAB+ CAE= ,又 DAB+ ADB= ABC=90 ,且函数关系式成立 ,290 = =, 整理得2290 .当290时,函数解析式 y1x成立 .例 3:如图3(1),在 ABC

9、中, ABC=90 ,AB=4,BC=3. 点 O 是边AC 上的一个动点 ,以点 O为圆心作半圆,与边AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EPED, 交射线AB 于点 P,交射线CB 于点 F.(1)求证: ADE AEP.(2)设OA=x ,AP=y , 求 y 关于 x 的函数解析式 ,并写出它的定义域 .图3(1) (3) 当 BF=1时,求线段 AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意 ,得 ODAB, ODA=90 , ODA= DEP.又由 OD=OE, 得 ODE= OED. ADE= AEP, ADE AEP. P(2) ABC=90,AB=4,BC=3, AC=

10、5. ABC= BFADO=90, OD BC, OD3x5,AD4x5, , ,D3 OD= x54,AD= x53. AE= x x58= x5.C3(2)E OA ADE AEP, AEAPADAE, 8x5y4585xx. y165x(250 x )8(3)当 BF=1 时，若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3，则 CF=4.ADE= AEP, PDE= PEC. FBP= DEP=90 , FPB= DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 85- x 5=4,得5x .可求 y=2 ,即 AP=2.8若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF

11、=2.类似 ,可得 CF=CE.85- x5=2,得15x .8可求得 y=6 ,即 AP=6.综上所述 , 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6.3、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4：如图 4,在ABC 中,BAC=90 ,AB=AC= ,A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动 (与点 B、C不重合 ),设 BO= x, AOC 的面积为 y.(1)求 y 关于 x 的函数解析式 ,并写出函数的定义域 .(2)以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆 O,求当 O 与A 相切时 ,AOC的面积 .解:(1) 过点 A 作 AH BC,垂足为 H.BAC=90 ,AB=

12、AC= , BC=4,AH= BC=2. OC=4- x.图 41 S OC AHAOC 2, y x 4 ( 0 x 4).(2) 当 O与 A外切时 ,在 RtAOH中,OA= x 1,OH= 2 x , 2 22 (2 ) 2( x 1) x . 解得7x .6此时, AOC的面积 y =当 O与A 内切时 ,7 174 .6 6在 RtAOH中,OA= x 1,OH= x 2 , 2 22 ( 2)2( x 1) x . 解得7x .2此时, AOC的面积 y =7 14 .2 217 1综上所述 , 当O与A 相切时 , AOC的面积为 .或6 2二：动态几何题动态几何特点 -问题背

13、景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。点动问题如图5， ABC 中， AB=AC=10 ，BC=12 ，点 D 在边BC 上，且 BD=4 ，以点 D为顶点作 EDF= B，分别交边AB 于点 E，交 AC 或延长线于点 F（1）当 AE=6时，求 AF 的长；（2）当以点 C为圆心 CF长为半径的 C 和以点 A为圆心 AE长为半径的 A 相切时，求 BE 的长；（3）当以边AC为直径的 O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长题型 背 景 和 区 分 度测量 点 图5解：（ 1）

14、证明 CDF EBD CF 8， AF=2CFBDCDBE，代入数据得（2）设BE= x,则d AC 10, AE 10 x, 利用（ 1）的方法CF32x，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，3210 10 x ， x 4 2 ；x内切，3210 10 x ， x 10 2 17 0 x 10x当 C 和 A相切时， BE 的长为4 2 或 10 2 17 （3）当以边AC为直径的 O 与线段 DE 相切时，20BE 3习题：1. 如图，已知点 F 的坐标为（ 3，0），点 A、B 分别是某函数图像与 x轴、 y轴的交点，点 P 是此图像y 上的一动点，设点 P的横坐标为x，PF的长为d

15、，且 d 与 x 之间满足关系： d=53 x(0 x 5) ，则结论： AF= 2 BF=4 OA=5 OB=3，正确 结5BPD论的序号 是x O F AA B C D 所用到的相关知识点：勾股定理解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。所谓的解析式就是曲线上的某一点的 y值与 x值之间的关系。解析式：1)当 P点的 x值小于 OF时，则P点解析式： y 2=d2-(3-x)2=d2-(3-x)28 2y2 =(8- 5 x)(2- 5 x) B 点坐标是（ 0，4）， OB=4, BF=5( 勾股数 3,4,5)因此 A、C 排除。2)当 P点的 x 值大于 OF时，则 P点解析

16、式： y 2=d2-(x-3)2=d2-(x-3)22 85y2 =(2+ x)(8- 5 x) A 点坐标是（ 5,0 ） OA=5 ，AF=5-3=2因此 D 排除因此答案是 B.2. 一电工沿着如图所示的梯子 NL往上爬，当他爬到中点 M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点 M的坐标为（ x，y）（x0）, 则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是A B C D 所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。想办法找到 y 和 x 之间的关系式解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。设：梯子的长度是 L. 从M点做轴的垂线。因为 M点是中点，所以 ON=2x;

17、解析式：y2=( )2 -x2从解析式看，只有图形 A 是正确的。3 如 图 ， 矩 形 AB C D中 ， AB 1， AD 2 ， M 是 CD 的 中 点 ， 点 P 在 矩 形 的 边 上 沿A B C M 运动，则 APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的y yC D 1 1所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。想办法找到 APM 和 x 之间的关系式x x 0 1 2 3 3.5 0 1 2 3 3.5解题思路：分段获得 APM 与 x 的解析式，根据解析式判断图形的样子。A BADM=1/4 矩形 ABCD; 只要得到 APB

18、和 PCM 的面积，即可求出 APM 的面积。y y或者直接求出 APM 的面积。11分段：x x 0 1 2 3 3.5 0 1 2 3 3.5第一段： P 在 AB线段上移动，则 APM=y= *2*x=x 排除了 B、C第二段： P 在 BC 段移动，则 APM=y=2*1 *1*(x-1) * * （3-x ）= - x排除了 B第三段： ：P 在 BC 段移动，则 APM=y= *（1+2+0.5-x ）*2 =3.5-x 答案是 A4. 如图， P是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 A C上一AD 动点（ P与 A、C不重合），点 E在射线 B C上，且 PE=PB.设 AP=

19、x, PBE的面积为 y. 则能够正确反映 y 与 xP之间的函数关系的图象是所用到的相关知识点：勾股定理y想办法找到 PBE 和 x 之间的关系式1y1B CE（8 题图）解题思路： 从 P 点做 AB的垂线，交与 O点。则 PBE 的高=1- x；因为 PBE 是等腰三角形， 所以 BE=2* xO 1 2xO x1 2 2PBE= *2* x* （1- x） PBE= x- x A By y这是个抛物线方程，故选 A.1 115. 如图，在平面直角坐标系中，两个函数 y 6 的图象交于点 A. 动点 P 从x, y x2点 O开始沿 OA方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQx 轴交

20、直线 BC于点 Q，以 PQO x 1 2 1 2Ox为一边向下作正方形 PQM，N设它与 OAB重叠部分的面积为 S.C D （1）求点 A的坐标.（2）试求出点 P在线段 O A上运动时， S与运动时 间 t（秒）的关系式 .（3）在（2）的条件下， S是否有最大值？若有， 求出t 为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有， 请说明理由.所用到的相关知识点：勾股定理、二元一次方程关键要明白正方形 PQMN和OAB重叠部分的面积为 S. 什么时候为正方形，什么时候为长方形。1）A 点处，两条直线的 x、y 值相等； x= - x +6 x=42) 线段 PQ与直线的交点， y 值相等。 P

21、Q= - x +6 x=6-1 x PQ 相邻边的长度为 xS 与 t 的关系，亦即 x 与 t 的关系 : x2 +x 2=(1*t) 2 x= t 带入上式：当 PQ长度大于 x 时，则 S =（6-1 x）*x ; S=（6-1 * t）* t;2 当 PQ长度小于 x 时，则 S =（6-1 x）* （6-1 x） S= （6-1 * t）当 PQ长度等于 x 时，则 （6-1 x）=x x= S= *3)S 有最大值。即当 PQ=x时，亦即 t= 时，Smax= 144/256. 如图，直角梯形 OABC中，AB OC , O 为坐标原点， 点 A在 y 轴正半轴上， 点C 在x轴正

22、半轴上，点 B 坐标为（2，2 3 ）， BCO = 60 ，OH BC 于点 H . 动点 P从点H 出发，沿线段 HO 向点O 运动，动点 Q 从点O 出发，沿线段 OA向点 A运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度 . 设点 P运动的时间为 t 秒.（1）求OH 的长；（2）若 OPQ 的面积为 S （平方单位） . 求S 与t 之间的函数关系式 . 并求t 为何值时， OPQ 的面积最大，最大值是多少？所用到的相关知识点：勾股定理、等边、等腰三角形的特征、 2个动点。关键点： 点 B 坐标为（ 2，2 3 ）， BCO = 60 ； S的面积的求法。1）通过 B 点的坐标知道

23、， ABO=60 OBC=60 三角形 OBC为等边三角形；OH=OA=22) 从 P点做 x 轴的垂线交于 N点，则 OPQ 的面积为 S =SOQP-NSOPNOP=OH-1*t=2-t; 因为 POC=30 PN= (2-t) ; ON= (2-t) ;SOQPN=(OQ+PN)*ON= 1*t+ (2-t)* (2-t);SOPNO= N*PN= * (2-t)* (2-t) S= * (2-t)*t = * （2t-t2）= * 1-(t-1)2当 t=1时， S 面积最大。 S= *1.如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD 3，DC 5，AB 4 2， B 45 动点 M

24、 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 NA D同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为t秒N（1）求 BC 的长B MC从 A 和 D 做 BC 的垂线A 和 D。则BA =4；DC=3BC=4+3+3=10（2）当 MN AB时，求 t 的值经过D 点做 AB 的平行线，叫 BC 于 Q 点。则CM CQ=CN CD （10-2t) (10-3)=1*t 5 t=5017?（3）试探究： t为何值时， MNC为等腰三角形若三角形 MNC为等腰三角形，就有两种情况需要讨论： ?第一种：当 CM=CN时：

25、 ?10-2t=t t=10 3(秒 )?第二种：当 MN=CN时： ?RTCNPRT CDF?NP DF=CN CD NP=4t 5?在等腰 NMC 中：有（ MC 2)2+NP2=CN2?(5-t)2+(4t 5)2=t2?整理得： 16t2-250t+525=0?解得： t1=258,t2=25 2(当 t=25 2 秒时， CN 5，舍去 )?综上，使得 MNC为等腰的运动时间t 有两个值： ?t=10 3时， CM=CN?t=25 8时， MN=CN?3、如图，已知 ABC中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D为AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；全等的概念是角度和边长都相同。A两个三角形中 DBP=PCQ;BD=PC(8-3*1);BP=CQ所以，两个三角形全等。D若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为Q多少时，能够使 BPD 与 CQP 全等？B C设Q 的速度为v,要使两个三角形全等，则需要满足下列条件：PBP=CP;BD=QC BD=5=vt; BP=4=3*t t=4/3 v=15/4