8 6空间向量及其运算

1、第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,间向量及其运算,1,空间向量的有关概念,名称,概念,表示,零向量,模为,_,的向量,0,单位向量,长度,模,为,_,的向量,相等向量,方向,_,且模,_,的向量,a,b,0,1,相同,相等,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,相反向量,方向,_,且模,_,的向量,a,的相反,向量为,a,共线向量,表示空间向量的有向线段所在,的直线互相,_,的向量,a,b,共面向量,平行于同一个,_,的向量,相反,相等,平行或重合,平面,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,2,空间向量中的有关定理,1,共线向量定理,

2、空间两个向量,a,与,b,b,0,共线的充要条件是存在实数,使得,a,2,共面向量定理,共面向量定理的向量表达式,p,_,其中,x,y,R,a,b,xa,yb,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,3,空间向量基本定理,如果三个向量,a,b,c,不共面，那么对空间任一向量,p,存在有,3,空间向量的数量积及运算律,1,数量积及相关概念,两向量的夹角,xa,yb,zc,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,两向量的数量积,已知空间两个非零向量,a,b,则,_,叫做向量,a,2,空间向量数量积的运算律,结合

3、律,a,b,_,交换律,a,b,_,分配律,a,b,c,_,a,b,cos,a,b,a,b,a,b,b,a,a,b,a,c,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,4,空间向量的坐标表示及其应用,设,a,a,1,a,2,a,3,b,b,1,b,2,b,3,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,知识拓展,1,向量三点共线定理：在平面中,A,B,C,三点共线的充要,条件是,OA,xOB,yOC,其中,x,y,1,O,为平面内任意一点,2,向量四点共面定理：在空间中,P,A,B,C,四点共面的充,要条件是,OP,xOA,yOB,zOC,其中,x,y,z,1,O,为空

4、间中,任意一点,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,思考辨析,判,断,下,列,结,论,是,否,正,确,请,在,括,号,中,打,或,1,空间中任意两非零向量,a,b,共面,2,在向量的数量积运算中,a,b,c,a,b,c,3,对于非零向量,b,由,a,b,b,c,则,a,c,4,两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同,答案,1,2,3,4,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,1,已知正四面体,ABCD,的棱长为,a,点,E,F,分别是,BC,AD,的中点，则,AE,AF,的值为,A,a,2,B,1,2,a,2,C,1,4,a,2,D,3,4,a,2,

5、第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,如图，设,AB,a,AC,b,AD,c,则,a,b,c,a,且,a,b,c,三向量两两夹角为,60,AE,1,2,a,b,AF,1,2,c,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,AE,AF,1,2,a,b,1,2,c,1,4,a,c,b,c,1,4,a,2,cos,60,a,2,cos,60,1,4,a,2,答案,C,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,2,2018,大连模拟,向量,a,2,3,1,b,2,0,4,c,4,6,2,下列结论正确的是,A,a,b,a,c,B,a,b,a,c,C,a,

6、c,a,b,D,以上都不对,解析,因为,c,4,6,2,2,2,3,1,2,a,所以,a,c,又,a,b,2,2,3,0,1,4,0,所以,a,b,故选,C,答案,C,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,3,与向量,3,4,5,共线的单位向量是,_,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,因为与向量,a,共线的单位向量是,a,a,又因为向量,3,4,5,的模为,3,2,4,2,5,2,5,2,所以与向,量,3,4,5,共线的单位向量是,1,5,2,3,4,5,2,10,3,4,5,答案,3,2,10,2,2,5,2,2,和,3,2,10,2,2,5,2

7、,2,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,4,如图，在四面体,O,ABC,中,OA,a,OB,b,OC,c,D,为,BC,的中点,E,为,AD,的中点，则,OE,_,用,a,b,c,表示,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,OE,1,2,OA,1,2,OD,1,2,OA,1,4,OB,1,4,OC,1,2,a,1,4,b,1,4,c,答案,1,2,a,1,4,b,1,4,c,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,题型一,空间向量的线性运算,例,1,1,如图所示，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,为,AC,

8、的中点用,AB,AD,AA,1,表示,OC,1,则,OC,1,_,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,OC,1,2,AC,1,2,AB,AD,OC,1,OC,CC,1,1,2,AB,AD,AA,1,1,2,AB,1,2,AD,AA,1,答案,1,2,AB,1,2,AD,AA,1,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,2,三棱锥,O,ABC,中,M,N,分别是,OA,BC,的中点,G,是,ABC,的重心，用基向量,OA,OB,OC,表示,MG,OG,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,MG,MA,AG,1,2,OA,2,3,A

9、N,1,2,OA,2,3,ON,OA,1,2,OA,2,3,1,2,OB,OC,OA,1,6,OA,1,3,OB,1,3,OC,OG,OM,MG,1,2,OA,1,6,OA,1,3,OB,1,3,OC,1,3,OA,1,3,OB,1,3,OC,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,思维升华,用已知向量表示某一向量的方法,用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,跟踪训练,1 (2018,青岛模拟,如图所示,在空间几何体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,各面为平行四边形,设,AA,1,a,AB,

10、b,AD,c,M,N,P,分别是,AA,1,BC,C,1,D,1,的中点，试用,a,b,c,表示以下各,向量,1,AP,2,MP,NC,1,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,1,因为,P,是,C,1,D,1,的中点,所以,AP,AA,1,A,1,D,1,D,1,P,a,AD,1,2,D,1,C,1,a,c,1,2,AB,a,c,1,2,b,2,因为,M,是,AA,1,的中点,所以,MP,MA,AP,1,2,A,1,A,AP,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,1,2,a,a,c,1,2,b,1,2,a,1,2,b,c,又,NC,1,NC,CC,1

11、,1,2,BC,AA,1,1,2,AD,AA,1,1,2,c,a,所以,MP,NC,1,1,2,a,1,2,b,c,a,1,2,c,3,2,a,1,2,b,3,2,c,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,题型二,共线定理、共面定理的应用,例,2,2018,天津模拟,如图，已知,E,F,G,H,分别,是空间四边形,ABCD,的边,AB,BC,CD,DA,的中点,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,1,求证,E,F,G,H,四点共面,2,求证,BD,平面,EFGH,3,设,M,是,EG,和,FH,的交点,求证,对空间任一点,O,有,OM,1,4,OA,OB,

12、OC,OD,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,证明,1,连接,BG,则,EG,EB,BG,EB,1,2,BC,BD,EB,BF,EH,EF,EH,由共面向量定理的推论知,E,F,G,H,四点共面,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,2,因为,EH,AH,AE,1,2,AD,1,2,AB,1,2,AD,AB,1,2,BD,所以,EH,BD,又,EH,平面,EFGH,BD,平面,EFGH,所以,BD,平面,EFGH,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,3,找一点,O,并连接,OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由,2,知,EH,1

13、,2,BD,同理,FG,1,2,BD,所以,EH,FG,即,EH,綊,FG,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,所以四边形,EFGH,是平行四边形,所以,EG,FH,交于一点,M,且被,M,平分,故,OM,1,2,OE,OG,1,2,OE,1,2,OG,1,2,1,2,OA,OB,1,2,1,2,OC,OD,1,4,OA,OB,OC,OD,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,思维升华,1,证明空间三点,P,A,B,共线的方法,P,A,PB,R,对空间任一点,O,OP,OA,tAB,t,R,对空间任一点,O,OP,xOA,yOB,x,y,1,第八章,立体几

14、何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,2,证明空间四点,P,M,A,B,共面的方法,MP,xMA,yMB,对空间任一点,O,OP,OM,xMA,yMB,对空间任一点,O,OP,xOM,yOA,zOB,x,y,z,1,PM,AB,或,P,A,MB,或,PB,AM,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,跟踪训练,2,已知,A,B,C,三点不共线，对平面,ABC,外的任,一点,O,若点,M,满足,OM,1,3,OA,OB,OC,1,判断,MA,MB,MC,三个向量是否共面,2,判断点,M,是否在平面,ABC,内,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,1,

15、由题意知,OA,OB,OC,3,OM,OA,OM,OM,OB,OM,OC,即,MA,BM,CM,MB,MC,MA,MB,MC,共面,2,由,1,知,MA,MB,MC,共面且基线过同一点,M,M,A,B,C,四点共面,从而点,M,在平面,ABC,内,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,题型三,空间向量数量积的应用,例,3,2018,云南师大附中月考,如图，已知平行六面,体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，底面,ABCD,是边长为,1,的正方形,AA,1,2,A,1,AB,A,1,AD,120,1,求线段,AC,1,的长,2,求异面直线,AC,1,与,A,1,D,

16、所成角的余弦值,3,求证,AA,1,BD,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,1,设,AB,a,AD,b,AA,1,c,则,a,b,1,c,2,a,b,0,c,a,c,b,2,1,cos,120,1,AC,1,AC,CC,1,AB,AD,AA,1,a,b,c,AC,1,a,b,c,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,a,b,c,2,a,2,b,2,c,2,2,a,b,b,c,c,a,1,2,1,2,2,2,2,0,1,1,2,线段,AC,1,的长为,2,2,设异面直线,AC,1,与,A,1,D,所成的角为,则,cos,cos,AC,1,A,1,D,

17、AC,1,A,1,D,AC,1,A,1,D,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,AC,1,a,b,c,A,1,D,b,c,AC,1,A,1,D,a,b,c,b,c,a,b,a,c,b,2,c,2,0,1,1,2,2,2,2,A,1,D,b,c,2,b,2,2,b,c,c,2,1,2,2,1,2,2,7,cos,AC,1,A,1,D,AC,1,A,1,D,2,2,7,14,7,故异面直线,AC,1,与,A,1,D,所成角的余弦值为,14,7,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,3,证明,AA,1,c,BD,b,a,AA,1,BD,c,b,a,c,b,c,a

18、,1,1,0,AA,1,BD,AA,1,BD,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,思维升华,1,利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置,2,利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面,角,3,可以通过,a,a,2,将向量的长度问题转化为向量数量积,的问题求解,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,跟踪训练,3,如图，在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，以顶点,A,为,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,1,求,AC,1,的长,2,求,BD,1,与,AC,夹角的余弦值,第八章,立体几何与空间向量,高考总复习,数学理科,RJ,解析,1,记,AB,a,AD,b,AA,1,c,则,a,b,c,1,a,b,b