空间几何体的表面积和体积

1、1.3 简单几何体的表面积和体积,1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积,1、表面积：几何体表面的面积,2、体积：几何体所占空间的大小,表面积、全面积和侧面积,表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ） 全面积全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面,棱柱、棱锥、棱台的侧面积,侧面积所指的对象分别如下： 棱柱-直棱柱。 棱锥-正棱锥。 棱台-正棱台,2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它

2、们的表面积等于,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,回忆复习有关概念,1、直棱柱,2、正棱柱,3、正棱锥,4、正棱台,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截， 截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高,斜高的概念,2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴,分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则 S直棱柱侧 .（类比矩形的面

3、积） 圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆柱侧 .（类比矩形的面积,ch,2rl,知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积,1)柱体的侧面积,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h，则 S正棱锥侧 .（类比三角形的面积）

4、圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆锥侧 .（类比三角形的面积,12ch,rl,2)锥体的侧面积,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，则S圆台侧,1

5、2(cc)h,l(rr,3)台体的侧面积,注：表面积侧面积底面积,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积,棱台的展开图,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么,圆台的侧面展开图是扇环,圆台,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系,扇环,圆台侧面积公式的推导,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它

6、们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和,例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键,小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比,答：1800,例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留

7、,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式,例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _,答：60,例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积,例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积,B,C,A,S,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AEDE. (1)求此正三棱柱的侧棱长； (

8、2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面积,思路点拨】(1)证明AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积,点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧=所有侧面面积之和,1高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决,几何体的表面积问题小结,2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱

9、、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 3几何体的表面积应注意重合部分的处理,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方,V正方体= a3,公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等,幂势既同，则积不容异,祖暅原理,定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积

10、等于它的底面积 s 和高 h 的积,V柱体= sh,二：柱体的体积,三:锥体体积,例2,如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h,答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD,问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥,3.1锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积S，高h,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积,定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是,推论：如果圆锥的底面半径是，高是， 那么它的体积是,圆锥,h,x,四.台体的体积,V台体,上下底面积分

11、别是s/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是，那么它的体积是,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,1)长方体的体积 V长方体abc . (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体Sh. 其中，V圆柱r2h(其中r为底面半径,Sh,知识点二柱、锥、台、球的体积,3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体 Sh. 其中V圆锥 ， r为底面半径,13r2h,4)台体的体积公式 V台h(SS) 注：h为台体的高，S和S分别为上下两个

12、底面的面积 其中V圆台 注：h为台体的高，r、r分别为上、下两底的半径 (5)球的体积 V球,13h(r2rrr2,13R3,例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几,1求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,几何体的体积小结,2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题,R,R,球的体积,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所

13、得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等,探究,R,R,第一步：分割,O,球面被分割成n个网格， 表面积分别为,则球的表面积,则球的体积为,设“小锥体”的体积为,知识点三、球的表面积和体积,O,第二步：求近似和,O,由第一步得,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则,由 得,设球的半径为R，则球的体积公式为 V球,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比4，则它们的半径之比_,1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。 (4)若两球体积之比是1

14、:2，则其表面积之比是,例2,例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等,略解,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S,关键,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r,例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正

15、方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比,作轴截面,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积,3如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧ch. 4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加

16、 6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小 7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离,题型分类 深度剖析,

17、解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形ABCD（如图所示）， 由题意知BC=3 cm， AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位 置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 故铁丝的最短长度为5 cm,求立体图形表面上两点的最短距离 问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发 现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面 展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展 开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形， 找出表示最短距离的线段，再计

18、算此线段的长,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解

19、 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高,连接AH并延长交BC于E， 则E为

20、BC的中点，且AHBC. ABC是边长为6的正三角形,求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可.常用方 法：割补法和等积变换法. （1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积. （2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用“等积性”可求“点到面的 距离,题型四 组合体的表面积及其体积 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求

21、形成的三棱锥的外接球的体积. 易知折叠成的几何体是棱长为1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折叠后得到一个正四面体. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足为F， F即为DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG， 过球心O作OH平面AEC. 则垂足H为AEC的中心. 4分 外接球半径可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根据三角形相似可知,6分,10分,12分,方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中.显然，正四面体的外接球就 是正方体的外接球. 3分 正四面体的棱长为1， 正方体的棱长为 ， 6分,9分,12