单层板的偏轴刚度【高教知识】

1、单层板的宏观力学分析,2.2 单层板的偏轴刚度,上节课内容回顾,1,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,单层板的偏轴刚度为单层非材料主方向上的刚度。在实际应用中，有时需要求的单层的偏轴应力-应变关系。 这是因为复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。例如： 当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态（或应变状态）往往是偏轴下给出的，因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（应变）的转换。 本节重点： （1）平面应力状态下的应力转换和应变转换公式；（2）偏轴应力-应变关系的物理方程,2,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变

2、转换-转换的术语,设单层板单元体受面内偏轴正应力x、y和偏轴切应力xy作用，x和y分别表示两个任意的坐标轴方向，x轴和y轴称为偏轴，所用坐标系x-y称为偏轴坐标系。 单元体外法线方向x与材料主方向1之间的夹角为，称为单层方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角逆时针为正，顺时针为负,3,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变转换应力转换公式,应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系,设单层板中单元体的应力状态如图所示，可分别用垂直于1轴或垂直于2轴的斜截面切出三角形分离体。垂直于1轴的横向斜截面上有1与12，垂直于2轴的纵向斜截面上有2与12。如图b，由静力平

3、衡条件可导出应力转换公式,设斜截面面积为dA，该面法线与x轴的夹角为，令m=cos ，n=sin,4,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,由1=0得,简化可得,由2=0得到,简化可得,2.2.1 应力转换和应变转换应力转换公式,5,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,自行证明如下关系,如果将换为任意角度，则应力转换公式适用于从任意坐标系向另一坐标系转换，把三个转换方程可以写成矩阵形式，如下,应力转换矩阵,应力负转换矩阵,2.2.1 应力转换和应变转换应力转换公式,6,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变转换应变转换公式,平面应力状态下一点的应变状态，也用一定坐标系下的

4、应变分量来表示的。研究应变的转换就是要研究不同坐标系下应变分量的转换。应变是一种几何量，所以应变转换夜视利用几何关系得到的，不涉及材料的性质及力的平衡,推导应力转换公式，就是由一定坐标系(x-y)下某一点的应变分量x、y、xy推导在新坐标系（1-2）下的应变分量1、2、12，这里将材料主方向轴1-2暂时标为x-y轴,7,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变转换应变转换公式,在x-y坐标系下，设平面应力状态下一点D在该平面的应变分量，按应变的定义为,式中，u、v分别是D点 在x和Y方向的位移分量,在x-y坐标系下,8,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力

5、转换和应变转换应变转换公式,如图所示，D点有一微小位移矢量，其在x-y坐标系中的位移分量分别为u、v，而在x-y坐标系中的位移分量为u、v。 可建立如下几何关系,在x-y和x-y坐标系的坐标转换也有类似关系,显然，u和u都是x和y的函数，又根据上式（红色框中），x和y是x和y的函数。求导得,9,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变转换应变转换公式,10,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.1 应力转换和应变转换应变转换公式,两式自行推导,写成矩阵形式如下,应变转换矩阵,应变负转换矩阵,11,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.2 单层板的偏轴模量,建立

6、单层板的偏轴应变-应力关系式，不需要像正轴一样。 第一，偏轴下的简单试验比较困难，由于加载不是在材料的正轴方向，所以，一种外力要引起多种基本变形，从而不便由试验得到。 第二，只要通过适当的应力和应变的转换完全可以导出偏轴下的应力-应变或应变-应力关系式,12,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.2 单层板的偏轴模量,推求从（a）到（d）的偏轴下的应力-应变关系，可将其分解为三个步骤： （1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换T （2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵Q） （3）从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换,13,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度

7、,2.2.2 单层板的偏轴模量,1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换T,2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵Q,14,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.2 单层板的偏轴模量,3）利用应力负转换从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换,偏轴下应力-应变关系的物理方程,其中,15,全面分析,本次课内容,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.2 单层板的偏轴模量,偏轴模量矩阵的具体表达形式,应力负转换矩阵,正轴模量矩阵,应变正转换矩阵,将三个矩阵的乘积进行乘法运算得到偏轴模量与正轴模量之间的转换关系,从这个公式中可以看出,m=cos，n=sin,为复合材料单层板的

8、纤维方向角， 的正负号如前所述,16,全面分析,将下面的转换关系式写成矩阵形式,根据前面单层板正轴模量对称关系,Qij=Qji,又根据得到的偏轴模量与正轴模量之间的转换关系,偏轴模量之间也有类似对称关系,所以只需要列出六个偏轴模量的分量,从六个关系式中可以看出，前四个偏轴模量转换关系是方向角的偶函数，而后两个关系式是角的奇函数,17,全面分析,还有一点需要说明,六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的转换,也就是只能由已知的正轴模量求单层板的方向角为的偏轴模量,这个过程不能颠倒,这六个关系式不能用于从某一偏轴到另一个偏轴的模量转换,偏轴模量转换公式的步骤，是从正轴开始的，而且是在特定条件下

9、推导出来的,原因,并且正轴模量的分量只有四个Q11、Q22、Q12和Q66,而任意坐标轴上的偏轴模量分量一般有六个分量,比正轴方向下多出下标为“16”和“26”两个分量,18,全面分析,偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下,下标为“16”和“26”的模量分量,联系偏轴方向上的剪应变和正应力的耦合分量,下标为“61”和“62”的模量分量,联系偏轴方向上的正应变和剪应力的耦合分量,这些分量在正交各向异性材料的正轴向是不存在的，均为零,19,全面分析,继续来看模量转换公式中的各个系数,也就是系数m和n,各个系数均为三角函数的四次方幂,应力转换和应变转换公式中的各个系数均为三角函数的二次方幂,从表面上

10、看，偏轴模量具有六个分量，但由模量的转换公式可知，这六个分量只与四个独立常数Q11、Q22、Q12和Q66有关，所以偏轴模量实际上仍然只有四个独立的材料常数,20,全面分析,矩阵表达形式,为了提高模量转换公式的计算方便性，我们也可以将其进行降幂处理，通过三角函数的变形关系，将四次幂的系数转换成倍角三角函数的表达形式,将四次幂系数的倍角三角函数表达形式代入到模量转换公式中,经过整理归并，可以得到如下关系,21,全面分析,这6个关系式是用倍角关系表示的偏轴模量的表达式,式中的参量UiQ，是与单层方向角无关的正轴模量的线性组合，他们也是材料常数,表达式可以写成图中的关系形式,这样我们就建立了偏轴模量

11、的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，同时又建立正轴模量的各个分量与UiQ之间的关系,22,全面分析,先由正轴模量计算出参数UiQ,再由UiQ通过方向角的倍角三角函数关系，计算偏轴模量的各个分量,这样就多了一个计算复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ的步骤，但是利用这种方式主要的优势就是不需要计算方向角的高次幂，所以整个的计算过程还是比较简易的,同时根据偏轴模量的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，可以来讨论偏轴模量的一系列特性,根据两个关系式计算偏轴模量各个分量时,需要先由正轴模量计算出参数UiQ,再由UiQ通过方向角倍

12、角三角函数，计算偏轴模量各分量,23,全面分析,写出偏轴模量倍角三角函数的转换关系式如下，讨论偏轴模量分量的特性,第一，对于前四个公式中存在常数项，均由U1Q和U4Q组合而成的常数项,这几个常数项表示刚度的潜在能力，因为他们是不随铺层方向角变化的项，只与材料固有刚度特性有关，而与铺层方向无关,偏轴模量 的倍角三角函数的表达式如下,从式中看出，偏轴模量是由U1Q常数项加上角度的倍频变量和角度的4倍频变量决定的,常数项具有固有刚度特性的意义，表示平均模量，只有在增加常数项的取值的情况下才能有效的增加偏轴模量的数值,U2Q和U3Q均为两个倍角函数项的周期性幅值，当改变了方向角的时候，会使偏轴模量在某

13、些方向上的数值增加，而在某些方向上会有所降低,特征一,24,全面分析,特征二,第二，我们来看方框中的四个偏轴模量表达式,包含倍角三角函数的项均为余弦值,这两项中的倍角三角函数项均为正弦值,所以前两项为偶函数，后两项为奇函数,并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系,偏轴模量之间存在周期性镜像关系,25,全面分析,和 中没有常数项，这两项不是独立的，存在微分关系,特征三,第三，我们看一下红色方框表示的这两个偏轴模量分量的表达式,幅值均为U3Q，变化频率均为4，并且还可以看出,这是偏轴模量分量之间经过加减运算关系所存在的特点,特征四,26,全面分析,注意到几种复合材料单层板的正轴模量分量如

14、课本表2.1.2所示,特征五,可见Q11比Q22、Q12和Q66大得多,计算偏轴模量时，正轴模量分量Q11起主要作用，复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ均可以写成近似形式,以上学习的是复合材料单层板由正轴模量计算偏轴模量的转换关系式的推导过程。同时分析了不同偏轴模量分量的特征。下面来看一下复合材料单层板的偏轴柔量的定义及其特性,27,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.3 单层板的偏轴柔量,偏轴柔量是由偏轴应力给出偏轴应变的应变-应力关系式确定的,确定偏轴柔量可以按照下图所示的步骤进行,通过应力的正转换T+与应变的负转换T,并且利用已知的柔量表示的正轴应变-应力关系式,即得到偏轴坐标

15、系下应变-应力关系式,28,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.3 单层板的偏轴柔量,总体也分为三个步骤进行,1）从图（a）到图（b）是从偏轴应力到正轴应力的正转换,问题：写出偏轴应力到正轴应力的正转换公式,29,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.3 单层板的偏轴柔量,总体也分为三个步骤进行,2）从图（b）到图（c）是从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程,问题：写出从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程,30,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.3 单层板的偏轴柔量,总体也分为三个步骤进行,3）从图（c）到图（d）是由正轴应变到偏轴应变的负转

16、换的过程,问题：写出由正轴应变到偏轴应变的负转换的过程,31,全面分析,采用以上三个步骤，完成了偏轴坐标系下的应变-应力的关系推导,将三个矩阵的乘积 写成如下形式,利用这个方阵,将偏轴坐标系下的应变-应力关系式写成如下形式,也可以缩写为,方阵,可以用,来表示,称之为偏轴柔量矩阵或者叫做偏轴柔度矩阵。这个矩阵中的元素称为偏轴柔量,32,全面分析,将偏轴柔量矩阵展开,得到各个偏轴柔量分量的转换关系式,建立正轴柔量、纤维铺层方向角与偏轴柔量之间的关系,从这个关系式中注意到，其中的前四个式子均为方向角的偶函数，而最后两个关系式是方向角的奇函数,的偶函数,的奇函数,同时还可以看出，这六个关系式中，除了方

17、向角的余弦和正弦函数值之外，与偏轴柔量有关的正轴柔量参数值只有四个，也就是S11、S12、S22和S66这四个量，所以偏轴柔量表达式实际上仍只有四个独立的分量,33,全面分析,在幂函数形式表示的偏轴柔量公式中,存在方向角的正弦或余弦函数的四次幂，这个计算过程比较繁琐,可以继续采用偏轴模量的三角函数的倍角计算方法对其进行变形,将以上的偏轴柔量表达式写成倍角函数的表达形式,通过倍角函数表示的偏轴柔量表达式，方向角倍角的正弦或余弦仅仅只有一次幂，那么进行计算的过程比较方便,34,全面分析,还需要注意的是表达式中的参数Uis代表的是各个正轴柔量的线性组合形式,称为柔量 不变量,通过对比可以看出,偏轴柔

18、量三角函数高次幂关系式,偏轴模量三角函数高次幂关系式,35,全面分析,偏轴柔量倍角三角函数关系式,偏轴模量倍角三角函数关系式,偏轴柔量倍角三角函数中的参数Uis表达式,偏轴模量倍角三角函数中的参数UiQ表达式,相应公式非常相似，仅仅是某些项的系数不同，这也是由于采用工程剪应变的缘故,36,全面分析,对于计算偏轴柔量的两个关系式中,对于正轴柔量的线性组合参数（柔量不变量）来讲,如果材料特性和材质一定，正轴柔量的各个参数S11、S12、S22和S66均就确定了，那么相应的线性组合Uis就可以通过关系式计算出来，那么我们可以将几种典型复合材料的单层板的正轴柔量的线性组合列到一个表中,对于偏轴柔量来讲

19、，也存在偏轴模量中的各项特性,问题：讲出偏轴柔量倍角计算公式中的偏轴柔量的几个参数特性,37,全面分析,1)对于前四个公式中，存在常数项，也就是偏轴柔量分量 、 、 、 中的第一项， 均为 和 组合而成的常数项。这几个常数项的意义表示柔度的潜在能力，因为他们是不随着铺层方向角来变化的项，只与材料的固有柔度特性有关，而与铺层方向无关,2）我们来看 、 、 和 这四个偏轴柔量的表达式，其中 和 中的包含倍角三角函数的项均为余弦值，而 和 这两项中的倍角三角函数项均为正弦值，所以前两项为偶函数，后两项为奇函数。并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系,38,全面分析,3） 和 这两个偏轴柔量

20、分量的表达式，这两项中的倍角三角函数的项，其幅值均为 ，变化频率均为4，并且还可以看出,这是偏轴柔量分量之间经过加减运算关系所存在的特点,4） 和 中没有常数项，并且这两项不是独立的，他们与 和 之间存在微分关系,5）对比正轴模量的各个分量的数据，其中Q11相对于其它值较大，可以有近似的关系，而正轴柔量的数据不存在这种近似关系，可以参考一下参考书中第32页的表2.1.2的数据特性，所以不可进行如同偏轴模量的近似计算。 还可以看出，偏轴模量和偏轴柔量之间存在互逆关系，两个矩阵之间互为逆矩阵，由于模量矩阵是对称的，所以柔量矩阵也是对称矩阵,39,全面分析,明确了偏轴模量和偏轴柔量的转换表达式的特征

21、及其具体计算方法后,首先,学习复合材料单层板的偏轴工程弹性常数的概念及其相互关系,之后,对偏轴工程弹性常数的方向性进行系统讨论,正轴工程弹性常数的基本特性,当构件处于正轴向单轴应力或纯剪切应力作用时，研究其拉伸、压缩、弯曲、扭转等基本变形条件下的刚度或强度时，实际测量的工程弹性常数可以直接引用,40,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.4 单层板的偏轴工程弹性常数,如果复合材料单层板处于偏轴向坐标系下时，在上述受力或者变形情况下，往往需要引用偏轴工程弹性常数。而进行偏轴工程弹性常数的测量是非常困难的，其原因有两点,偏轴的角度可以任意的，测定无穷多个不同单层方向角的偏轴工程弹性常数很困难,偏轴下单轴应力试验或纯剪切应力试验会产生多种变形的 耦合,基于以上两种情况的困难性，所以一般需要在偏轴应力-应变关系式已知的条件下，进行偏轴工程弹性常数的推求,41,全面分析,2.2 单层板的偏轴刚度,2.2.4 单层板的偏轴工程弹性常数-