法向量求法及应用方法

1、平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果:丄Q,那么向量:叫做平面Q的法向量。平面a的法向量共有两大类(从方向上分)，无数条。2、平面法向董的求法方法一(积法)：在给定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n = (x,y,l)或 n = (x丄z)，或w = (l,y,z),在平面a任找两个不共线的向量方上。由川丄得n a = O 且w-5 = 0,由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到并。方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是兀,的一次方程。Ax+By + Cz + D = O (A,B,C不同时为0),称为平面的一般方程。其法向 量n

2、 = (A,B,C):若平面与3个坐标轴的交点为片(a,0,0), P2 (0, bfi), Pz (0,0, c),如图所示, 则平面方程为：-+ + - = 1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它 a b c的法向量。方法三(外积法)：设8为空间中两个不平行的非零向量，其外积axb为一长度 等于|a|b|sin&,( 9为a,b两者交角，且Ov&v”)，而与Q,b皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由丘的方向转为E的方向时,T TT T T T大拇指所指的方向规定为axb的方向，axb = -bxa 。Key： (1) axb = (1,-2,5) ； (2

3、)Z?xa = (-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD-AC中,求平面AEF的一个法向量亦。key:法向量n = AFx AE = （1,2,2）二、平面法向量的应用1、求空间角仃）、求线面角：如图21,设是平面a的法向量，图 2-1-1图 2-1-2图 2-1-1： 0 =arc cos二一T T|川艸|J sin 0= cos|AB是平面a的一条斜线，Aea,则AB与平面 所成的角为:（2）、求面面角：设向量加，n分别是平面a、0的法向量，则二面角a-l-0的平面角为:图2-2图2-30=arccos- （图 2一2）；T TT T7并6=龙一 aicco （图 2-

4、3）|加|.|川两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2TTT中，加的方向对平面Q而言向外，的方向对平面0而言向；在图2-3中，加的方向对平 面Q而言向，的方向对平面0而言向。我们只要用两个向量的向量积（简称外积”，满 足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向一个向外，则这两个半平面的法向量的夹 角即为二面角a-l-0的平面角。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离：方法指导：如图2-4,作直线次0的方向向量7、7 ,niat:图2-8zT7/ k /图 2-11为平面a任一点，平面的法向量为川，则点P到平面a的距离公式为df1(3) 、直线与平面

5、间的距离：方法指导：如图2-6,直线a与平面a之间的距离：d =其中兀是平面a的法向量(4) 、平面与平面间的距离：方法指导：如图2-7,两平行平面a,0之间的距离： d=ABn其中亓是平面a、0的法向量。3、证明TT(1) 、证明线面垂直：在图2-8中，加向是平面a的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(总=几：)。(2) 、证明线面平行：在图2-9中，;向是平面a的法向量，:是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直(w?a = 0)。(3) 、证明面面垂直：在图2-10中，加是平面a的法向量，是平面0T T的法向量，证明两平面的法向量垂直(/ n

6、= 0) 页脚.(4) 、证明面面平行：在图2-11中，加向是平面a的法向量，n是平面0的法向量，证明 两平面的法向量共线(：=几；)。三、高考真题新解1、(2005全国I, 18)(本大题满分12分)已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC,ZDAB =90PA 丄底面 ABCD,且 PA=AD=DC=-AB=1, M 是2PB的中点.(I )证明：面PAD丄面PCD；(II) 求AC与PB所成的角；(III) 求面AMC与面BMC所成二面角的大小.,建立空间直角坐标系A-xyz解：以A点为原点，以分别以AD, AB, AP为x轴，y轴，z轴 如图所示.(/)./AP=

7、(0,0,1)，心 = (1,0,0),设平面 PAD 的法向量为 m = APxAD = (Q-lfi)TTT T TXv DC = (0,1,0) , DP = (-1,0,1).设平面 PCD 的法向量为 77 = DCxPP = (1A1).m*n = 0, :.mLn ,即平面 PAD丄平面 PCD。TTT T4C PBJ10(). AC =(1,1,0), PB = (0,2-l), /.=aiccos= arccosAC-PB5T1T(/). CM = (1,0迈)，CA = (-1-1,0),设平在 AMC 的法向量为T T TIm = CM xCA =1).TT T T1又C

8、B = (-1,1,0)，设平面 PCD 的法向量为 n = CMxCB = (,-1).2 2T TT Tm9 n2、/. = arccos= arccos(-).川3A图B2面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos(-).2、(2006年省第一次统测19題)(本题满分12分)如图3-2,在长方体ABCD-AbC2中，已知 AB=AA = a, BC=/2at Jf 是 S的中点。(I )求证：平面ABC;（II）求证：平面4%丄平面ABR；（III）求点A到平面加您的距离。解：以D点为原点,分别以DA,DC,DDi为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示. （/）.

9、: BC=（-42afi,0） ,=（O-a,a），设 平面 AiBC 的法 向量为n = BCx = （0, 2a,y2a）又t 4= （一JJq,0,0） , /. /? AD=0 , /. AZ）丄 n ,即 AD/平面 ABC.t J?t（）. tMC = （二-a,0,a） , MA =（一- a,a,0），设平面 A】MC 的法向量为：又BDy =(-y/2a-a,a) ,= (Q-a,a)，设 平面 AjBD,的法 向量为n = BD x BA = (0, -2ci ,T irrn = Q, :. m n，即平面 AiMC丄平面 AiBDi.(III).设点A到平面A,MC的距离为d,四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）、建立空间克角坐标系（利用现有三条两两垂克的克线，注意已有的正、直条件相关几