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文档简介

1、第二节 数列的极限,一、 数列极限的定义 二、 数列极限的性质 三、 收敛准则,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1、割圆术,播放,刘徽,概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题,一尺之棰，日截其半，万世不竭,一、数列极限的定义,例如,注意,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,数列的极限,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定,问题,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,通过上面演示实验的观察,定义,如果对于任意给定的正数,不论它多么,小,总存

2、在正数,N,使得对于,时的一切,不等式,都成立,那末就称常数a,是数列,的极限,或者称数列,收敛于,a,记为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的,注意,几何解释,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法,例1,证,所以,注意,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数,小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N,例3. 已知,证明,证,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一,不一定取最小的 N,说明,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证,二、数列极限的性质,证: 用反证法,及,且,取,因,故存在 N1

3、,从而,同理, 因,故存在 N2,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,则当 n N 时,故假设不真,满足的不等式,2、有界性,例如,有界,无界,定理2 收敛的数列必定有界,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件,推论 无界数列必定发散,例5,证,由定义,区间长度为1,不可能同时位于长度为1的区间内,3. 收敛数列的保号性,若,且,时, 有,证,对 a 0,取,推论,若数列从某项起,用反证法证明,4、子数列的收敛性,注意,例如,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,定义5 数列xn的项若满足x

4、1x2xnxn+1,则称数列xn为单调增加数列; 若满足x1x2xnxn+1,则称数列xn为单调减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时,则分别称xn 是严格单调增加和严格单调减少数列,收敛准则1 单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限,三、收敛准则,2. 夹逼准则 (准则2,证,由条件 (2),当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1,即,故,例5. 证明,证: 利用夹逼准则,且,由,五、小结,数列:研究其变化规律,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性,数列收敛的准则: 单调有界准则、夹逼准则,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,等价,证明中所采用的,实际上就是不等式

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