河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第一联考理科数学试题

1、天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设复数，则（ ）A.B.C.D.3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A.B.C.D.4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，

2、其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A.该市共有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭有1800户C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户5.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）A.B.C.D.6.已知幂函数的图象过点，且，则，的大小关系为（ ）A.B.C.D.7.已知非零向量，满足，若，夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）A.B.C.或D.8.记单调递增的等比数列|的前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.9.函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.

3、10.设抛物线：（）的焦点为，抛物线与圆：交于，两点.若，则的面积为（ ）A.B.C.D.11.关于函数有下列三个结论：是的一个周期；在上单调递增；的值域为.则上述结论中，正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）A.9B.7C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值为_.14.函数的极大值为_.15.已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为_.16.记数列的前项

4、和为，已知，且.若，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角，的对边分别是，已知.（）求角；（）若，求的面积.18.如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，是线段的中点.（）求证：平面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.20.已知函数.（）若，求曲线在处的切线方程；（）

5、当时，要使恒成立，求实数的取值范围.21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出，四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为，家长猜测的序号依次为，其中，都是1，2，3，4四个数字的一种排列.定义，用来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.（）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.（i）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（）求的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）.（）若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果

6、都满足，请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解，说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；（）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知，是正数.（）若，证明：；（）若，求的最小值.天一大联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第一次考试理科数学.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】A【命题

7、意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想【解析】，故.2.【答案】D【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】，故.3.【答案】B【命题意图】本题考查数学文化、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】根据算筹横式与纵式的区别，56846可以表示为.4.【答案】D【命题意图】本题考查统计图表，考查创新意识以及必然与或然思想.【解析】依题意，得该市低收入家庭的总数为，则在该市从业人员中，低收入家庭有户，在该市失无业人员中，低收入家庭有户，在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭的总数为.5.【答案】

8、C【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此时要输出的值为99.6.【答案】A【命题意图】本题考查指对数的大小关系，考查推理论证能力.【解析】依题意，得，故，故，故.7.【答案】D【命题意图】本题考查向量数量积的应用，考查运算求解能力.【解析】依题意，得，即.将代入可得，解得（舍去）.8.【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式以及等比数列的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】.设等比数列的公比为，由，得，即，因为数列单调递增，所以.所以，解得.所以，.9.

9、【答案】A【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】依题意，且函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，排除C；，排除B；，排除D，故选A.10.【答案】B【命题意图】本题考查抛物线的方程、圆的方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出图形如下图所示，由题意知.因为点为圆圆周上一点，所以，则在中，由，得，所以.代入中，解得.故的面积为.11.【答案】B【命題意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】因为，所以函数的一个周期为，故正确；因为，所以函数在上并非单调递增，故错误；当时，此时，当时，此时，所以函数的值域为，

10、故错误.12.【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】设，则.因为平面，平面，所以.又，所以平面，则.易知，.在中，即，化简得.在中，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】7【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.14.【答案】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析

11、】依题意，得.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值.15.【答案】或【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想.【解析】联立解得.所以的面积，所以.而由双曲线的焦距为知，所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.16.【答案】【命题意图】本题考查数列的前项和与通项的关系、数列的递推公式，等差数列的前项和公式，数列的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】当时，解得.所以.因为，则，两式相减，可得，即，则.两式相减，可得.所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.令，则.当时，数列单调递减，而，故，即实数的取值范围为.三、解答题：共70分.解答应

12、写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（）由，得.所以由余弦定理，得.又因为，所以.（）由，得.由正弦定理，得.因为，所以.又因，所以.所以的面积.18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】（）取的中点，连接，.因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的

13、空间直角坐标系.不妨设，则，所以，.所以，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（1）设，则两式相减，可得.（*）因为线段的中点坐标为，所以，.代入（*）式，得.所以直线的斜率.所以直线的方程为，即.（）设直线：（），联立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因为，所以.20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（）当时，则.所以.又，故所求切线方程为，即.（）依题意，得，即恒成立.令，则.

14、当时，因为，不合题意.当时，令，得，显然.令，得或；令，得.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，所以，只需，所以，所以实数的取值范围为.21.【命题意图】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用.【解析】（I）（i）若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的.先考虑小孩的排序为1234的情况，家长的排序有种等可能的结果.其中满足“家长的排序与1234对应位置的数字完全不同”的有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共有9种结果.故相应的概率为.若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标，按照

15、小孩的排序1234的顺序调整即可.例如：假设小孩的排序为1423，四种食物按1234排列为，再研究的情况即可，可知这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的.所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为.（）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的值.的分布列如下表：02468101214161820（）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（）可知，在一轮游戏中，.三轮游戏结果都满足“”的概率为，这个结果发生的可能性很小，所以可认为这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及数形