四边形知识点和题型归纳

1、四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之 间的内在关系.（1）演变关系图：一个内角为RtZ 组邻边相等A一个内角为也四边形且另对边平-一组J平行为（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正 方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆 代表一种图形）名 称平行四边形矩形菱形正方形定 义的四边形是平行 四边形的平行四边形是 矩形的平行四边形 是菱形的平行四边形 是正方形性质边二角对 角对 称 性判边角2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性 质和常用判别方法，并能

2、运用这些知识进行有关的证明和计算定对 角 线(面 积6.(周 长(3.（1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积图2E叫做三角形中位线（与中线的（正方形中可得：四大四小等腰直角三（图）对角线互相垂直的等腰可得：等腰直角三角形如图 1,ABCD =BC- AE=CD BFAF（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2, S 廉BCD = S 破CFE4. 三角形中位线定理 定义：_ 区分）；定理： 作用:可以证明两条直线平行；线段的相等或倍分.拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的禾廿一（4）直角三角形的性

3、质定理：直角三角形斜边上的中线 5. 正方形：（1）对角线：若正方形的边长为 a,则对角线的长为血a ； 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离 相等3）面积：正方形的面积等于边长的平方；等于两条对角线的乘积的 一半.周长相等的四边形中， 正方形的面积最大.梯形的中位线1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的 半.1（3）梯形的面积S=2 x（上底+下底）X高二中位线X高7. 几种特殊四边形的对角线 矩形对角线交角为60。（120。）时,可得：等边三角形和含 30角直角三角形图） 菱形有一个角为60。时，可得

4、：含30。角的四个全等直角三角形角形6厂.（图）对角线互相垂直的梯形，梯形平移腰可得：双垂图ABEC F8.(1)EB(2)已知在Q abcd , ZA比ZB小 20o :,则ZC的度数是(3)AB=在Q ABCD 中，周5长为100cm ,AB-BC=20cm,则BC=.AB=(4)在0 ABCD 中，cm.周长为30cm 且ADAB: BC=3 2,则3. （1）在平行四边形ABC中，若/ C二/ B+Z D,则/A=C（5） （2007河北省）如图，若口ABC EBC关于BC所在直线对称，BZAB& 90，则/ F =F4.6.(（图）（图）中点四边形：（顶点为各边的中点，需讨论对角线

5、&中位线）顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点，构成的四边形是 （3）顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是（4）顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是. 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是.二.典型题型归纳（一）概念题1. Q ABCD中，/A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段,则Q ABCD的周长为.2. 在Qabcd 中，/ C=60o,DE丄AB于 E,DF丄BC于 F.（1）则/ EDF=; D（2）如图，

6、若 AE=4 CF=7则Q ABCD周长=; 若AE=3 CF=7请作出对应图形，并求 Q abcd周长.（2007福建福州）下列命题中，错误的是（A. 矩形的对角线互相平分且相等B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 等腰梯形的两条对角线相等D. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等A. 组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是）A. 平行四边形B .菱形 C .矩形 D .正方形（2007四川眉山）下列命题中的假命题是（）A

7、.一组邻边相等的平行四边形是菱形7.B .一组邻边相等的矩形是正方形C . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D12.如图，在矩形 ABC中, E是CD边上一点,AE=AB AB=2AD 求/ EBC的度数D. 组对边相等且有一个角是直角的四边形是CB8. （2007四川成都）下列命题中，真命题是（A. 两条对角线相等的四边形是矩形BB. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形9. （2007浙江嘉兴）如图，在菱形 ABC呼，不一定成立的（A. QABCD B. ACIBD C.等边 ABD D.Z CAB

8、=Z CAD （二）图形的性质和判定方法10. 如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A C两点作/每，作 BML 2于M DNL 2于N,直线MB ND分别交1、 2于q p,试判断 四边形PQMN勺形状.（三）转化的思想一一将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角 形和平行四边形问题.如图所示：11.如图，在正方形ABC中, E、F、G H分别为正方形边上的点，而 且AE二BF二CG=DH求证：四边形 EFGH为正方形.DG13 .填空（1）等腰 梯形上底长 为3cm腰 长为4cm 其中锐角等 于 600 ,则下 底长 是(2) 等腰梯形一个底角是600，它的上、下底分别是8和18,

9、则这梯形的腰长是 是,咼是,面积(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰长 5cm上底长3cm另一腰与下 底的夹角为30o，则另一腰长为 为 .,下底长16 .平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC AD上，且AF=CE ,求(4) 等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6,则高为,面积为.(5) 已知在梯形ABCD中, AD/BC,若两底AD BC的长分别为2、8,两条对角线BD=6 AC=8则梯形的面积为 .(四)推理论证的进一步巩固14. (2007恩施自治州)如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC BD相交 于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边

10、形.B17.求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角 形.15.如图，在平行四边形AF、DE相交于点G 四边形.ABCDK E、F分别是直线 AB CD的中点， CE BF交于点H.求证：四边形GEHF是平行18 .已知点E、F在正方形ABCD勺边BG CD上,(1)若 BE=CF 如图 13(1).求证：AE=BF并且 AE1BF;DFA . 1个 B . 2个22. 平行四边形一边长为10, a的取值范围是（）A.4a16B.4 a2623. 平行四边形中一边长为（ ）A. 4cm和 6cmC. 8cm和 12cm（2）若E、F分别是BC EF的中点，如图13（2），求证：G

11、D=AD19. （2007浙江金华）国家级历史文化名城 木葱茏.某广场上一个形状是平 行四边形的花坛（如图），分别 种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6种颜色的花.如果有AB / EF 错误的是（ ）A.B.C.D.金华，风光秀丽，花/红花、绿花种植面积一定相等 紫花、橙花种植面积一定相等 红花、蓝花种植面积一定相等 蓝花、黄花种植面积一定相等20. （06盐城）已知Q ABCD的面积为4,对角线交于 Q贝 J SxAQB= .21. 若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（C . 3个 D . 4个 一条对角线长为6,则它的另一条对角线C. 12a20D.8 a3210cm,那么两条

12、对角线的长度可以是6cm和 8cm20cm和 30cm如图，已知 ABC.E （ BC的中点除外），连结AD, AE ,24. （ 07北京市23）（1）请你在BC边上分别取两点D,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面 积相等的三角形；25.如图已知 ABC,过顶点A作/ B、/C的平分线的CAMNDE图 27(2)，CB26.如图，已知 BD CE是/ ABC的两条高, M N分别是BC DE的中点.求证：(1) EM=DM(2) MNLDE(2)如图27(2)，已知正方形 ABCD勺边长为1 BC CD上各有一点E、F,如果/ CEF的周长为 求/ EAF的度数.E

13、F分别为FAB图 27(1)C中点DF图 27BC CD边上一点.C27. (1)如图 27(1)，正方形 ABCD E、 若/ EAF=45).求证：EF二BE+DF 若/ AEF绕A点旋转，保持/ EAF=45) 问/CEF的周长是否随/ AEF位置的变化而变化?(3)如图27(3)，已知正方形 ABCD F为E为CD边上一点，且满足/ BAF玄FAE . 求证：AE=BC+CE(五)知识的联系与综合28 .已知Q ABCD 的顶点 A B、C 的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4)则D点坐标为29.如图，已知Q ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的 原点，点A的

14、坐标为(-2,3)，则点C的坐标为()C 、(3,-2)、(-2,-3)A、(-3,2) BiyAiB34.如图，在 Q ABCD中 ADIBD / A=2 / ABC 如果 AD=2那么QABCD勺周长是，面积是 .35 .如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线 MN和PQ那么图中矩形 AMK啲面积S与矩形QCNK勺面积S的大小关 “二”或“ ”)OP第30题图题图30. 如图，两平面镜，两次反射后的光线OB平行于，则角日等于.31. 已知矩形的对角线长为13,周长为34,则这个矩形的面积为.32. (05,潍坊)如图，在直角坐标系中，将长方形OAB船OB对折，使点A落

15、在A处，已知OA3 ,AB=1,则点A的坐标是()73 3733 731 73，,3-,A. ( 2 2) B. ( 2) C. ( 2 2 ) D. ( 2 2 )(六)面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换33. 如图，的面积为(a、系是SS2 (填AP第32/P入射到MKDN，入射光线AO平行于BQ第35题图第36题图36 .如图，在Q ABCD中，点 ABP面积相等的三角形有 是：37 .如图，E是平行四边形ABCD勺边AB延长线上一点, DE交BC于F.求证：abf = S庄FCP在BC上, PQ/BD交CD与Q则图中和个，它们分别E为Q ABCD边CD上一点，Q ABCD的面积

16、为5,则 ABE )丄B 、2S、3S D 、 4sC第37题图C第33题图C38.如图，点E、F分别在Q ABCD的边DC CB上, 且 AE=AF DGLAF, BHLA E, G H是垂足.求证：DG=BHC第38题图四边形ADEF是平行四边形.41 . (1)如图41(1)(2)，已知/ ABD,/BCE,/ACF是等边三角形, 求证：D/.)C一7/ ! A/第39题图1 F(七)运动变换的思想在本章中的应用.39.(希望杯第9届初二第二试)已知 QABCD的周长为52,自顶点D作 DEI AB DFl BC E、F 为垂足，若 DE=5 DF=8 求 BE+BF的值.卜彳B第39题

17、图2B 第40题图 C2P DPF丄BD于F,贝yA POB 第40题图140.在矩形 ABCD中, AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE1 AC于E, PE+PF=D(2)如图41(3),已知/ ABC,以AB AC为边分别作等边三角形ADEF,求FF(3)如图41(4)，已知/ ABD,/BCE是等边三角形，A,F是CE EB上 一点，且CA=EB求证：四边形ADFC是平行四边形.后得到正方形AEFG，边42、(2007浙江台州)把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得 到正方形AEFG，边FG与BC交于点H (如图).试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的

18、猜想.43、如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转EF与CD交于点O .(1) 以图中已标字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除 外),要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相 垂直的理由；(2) 若正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形还cm2AEOD )的面积为3，求旋转的角度n .CEB44.四边形ABCD DEF斷是正方形，连接(1)求证：AE=CQAE CGG(2)观察图形，猜想AE与 CG之间勺并证明你的猜想.DE第44题图A46.(05,青岛)如图，在等腰梯形 ABCD中, AD/ BC M N分别为 AD BC的中点，E、F分别是BM CM的中点.求证： A

19、BMPA DCM;四边形MEN是什么图形？请证明你的结论；若四边形MENf是正方形，贝y梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.第45题图AB=AC ADL BCMN45. (2007淄博)已知：如图，在 ABC中, 垂足为点D, ANM ABO角/ CAM勺平分线CEIAN垂足为点E,(1) 求证：四边形ADC为矩形；(2) 当 ABC满足什么条件时，四边形ADC是一个正方形？并给出证明.47. (2007四川资阳)如图47(1)，已知P为正方形ABCD勺对角线AC 上一点(不与A C重合)，PE1BC于点E, PF丄CD于点F.(1)求证：BP=DP如图47(2)，若四边形 旋转，在

20、旋转过程中是否总 若是，请证明之；若不是， 例；(3)试选取正方形ABCD勺两 别与四边形PECTO两个顶点 到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之PECF绕点C 有 BP=DP?请举出反i)E Z A第47题图1第47题图2个顶点，分 连结，使得(八)函数的思想在本章中的运用48、(2007 南充改编)等腰梯形 ABCD中, AB= 15, AD= 20，/ C=30o . M、N同时以相同速度分别从点 A点D开始在AB AD(包括端 点)上运动.(1)围.(2)(3)设ND为X,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范设t=10- x,用t表示 AMN勺面积.求 AMN勺面积

21、的最大值，并判断取最大值时 AMN勺形状.CB MANB M A P49. (2006泰州)将一矩形纸片C在 x 轴上，OA=6 OC=10.(1) 如图1,在OA上取一点,将 EOC沿EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；(2) 如图2,在OA、OC边上选取适当的点E、尸，将 E OF沿 E F折叠，使O点落在A B 边上的D点，过D 作D G/A O 交E F于T点，交OC 于G点，求证：TG=A E .(3) 在(2)的条件下，设T (x, y),探求：y与x之间的函数关系 式.并指出变量x的取值范围.(4) 如图3,如果将矩形OAB(变为平行四边形OA B。，使OC =1

22、0, OC边上的高等于6,其他条件均不变，探求：这时 T (x, y) 的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系，若满足，请写出你认为正确的函数关系式.OAB(放在直角坐标系中，O为原点,证明之；若不满足,EDB(1) CDBOAG(2) F CA DO,HMG F C B（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51.沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片 ABCD AB=2 线BD折叠（使 ABDn EBD落在同一平面内）/ ADB=30，沿对角,则A E两点间的距DFAEBFE2B50. （08 通州 22 改编）如图，在 Q ABCD 中，aB=8 cm，AD=

23、6 cm / DAB=60，点 M是边 AD上一点，且AB BC上的点，EM CD的延长线交于G, 试用含x的代数式表示 CGF的面积； 当GF1AD时，求AE的值.DM=2 cm点E、F分别是边 GF交 AD于 0,设 AE=CF=x第50题图第51题图52. 沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形 ABCD勺边AB=2 AB BC沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，为.53. 使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05,山东威海）如图，梯形纸片 ABCDAB=AD=2第52题图矩形ABCD勺面积为S, 则这个新矩形对角线长/ B=60, AD/ BCBC=6将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为CE=.AE则AD(B)EAF B第53题图第54题图（1）沿DK折叠，使它的顶第55题图54. 使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边 CD使点C落在AB上的点F处，已知AB=10c