-初二数学上期末复习(几何-全等三角形及轴对称)讲解

1、初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分 )一 . 考试范围第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称二 . 复习目的1. 通过复习使学生对已学过的数学知识系统化 , 条理化 . 更有利于学生掌握基础知识和基本方法 , 为进一步学习数学打下良好的基础 .2. 逐步培养学生识图能力 , 逻辑思维和推理论证的能力 , 作图能力 , 分析问题和解决问题的能力 , 提高学生的数学素质 .3. 使学生初步会运用数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法.三 . 总体复习建议1. 重视基础 : 对每一章的知识点进行总结 , 使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和判定 ; 掌握每章必须掌握的基本方法

2、(包括解题规范 ) , 且“每一步推理都要有根据” ; 关注教材中数学应用 (包括尺规作图 ) 的实例及其数学原理 .2. 优选例题习题 , 使学生熟悉一些基本题型 , 掌握常用辅助线的添加 . 证明书写格式要规范 , 思路清楚 .3. 适当的综合题的训练 .4. 关注新旧教材的对比与变化 .5. 充分利用区里的教育资源 .第十二章全等三角形第十三章轴对称一、通过框架图进行知识梳理对应边相等、对应角相等全等形全等三角形角平分线的性质、判定解决问题SSS， SAS， ASA ， AAS， HL生活画轴对称图形的对称轴中轴对称画轴对称图形的轴关于坐标轴对称的点的坐标的关系对等腰三角形等边三角形称第

3、 1 页，共 16 页二、基本尺规作图: 作法及原理作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ;三、适当总结证明方法:(1) 证明线段相等的方法 利用线段中点 . 利用数量相等 . 证明两条线段所在的两个三角形全等 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(2) 证明角相等的方法 : 利用数量相等 . 利用平行线的性质进行证明 . 利用角平分线证明. 证明两个角所在的两个三角形全等 同角 (或等角 ) 的余角 (或补角 ) 相等等

4、腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角等式性质等边对等角(3) 证明两条线段的位置关系 (平行、垂直 ) 的方法 .(4) 常添加的辅助线 :截长补短倍长中线角分线双垂直角分线翻折平行线 +角分线 : 等腰三角形角分线 +垂直 : 补全等腰三角形四、从图形变换的角度来复习全等同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及性质 , 渗透旋转变换的思想全等三角形的常见图形平移型 :AABBCC第 2 页，共 16 页轴对称型 :ABBAABBCBCCCCAAAAAAAB (C )C (B )CBBCBCCB旋转型 :CBCAAAC BBBCBBCCAAACBB (C )C (B )BCAA补充习

5、题(一 ) 全等的性质和判定ADF1. 如图 , 正方形 ABCD 的边长为 4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处 , 该三角板的两条直角边与CD 交于点 F, 与 CBEBC延长线交于点E. 四边形 AECF 的面积是 () . AA. 16B. 12C. 8D. 42. 已知 : 如图 , AC、BD 相交于点 O, A = D, 请你再补充一个条件 , 使 AOB DOC, 你补充的条件是 _.ADOBC第 3 页，共 16 页3.在 ABC 与 ABC中 , 已知 A= A , CD 和 CD 分别为 ACB 和 ACB 的平分线 ,再从以下三个条件 : B =B, A

6、C = AC , CD = CD中任取两个为题设, 另一个为结论 ,则可以构成()个正确的命题 .A. 1B.2C.3D . 44.根据下列已知条件 ,不能唯一确定 ABC 的大小和形状的是 () . BA. AB 3, BC 4, AC 5B. AB 4, BC 3, A 30oC. A 60o, B 45o, AB 4D. C 90o, AB 6, AC = 55.如图 , 已知 ABC, 则甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等的是 () . DB505072acca甲乙丙C58725050bAacaA.只有乙B.只有丙C. 甲和乙D.乙和丙6. 已知 : 如图 , CB = DE , B

7、 = E, BAE = CAD. 求证 : ACD = ADC.7. 如图 , 锐角 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点 , ADC ADC , AEB AE B,且 CD EB BC, 记 BE, CD 交于点 F, 若BACx , 则 BFC 的大小是 _. (用含 x 的式子表示 )( 1802x )AADCDCEBFBEBC第 6 题图第 7 题图(二 ) 轴对称图形和垂直平分线1. 在下列各图中 , 对称轴最多的图形有 _条对称轴 .2. (1) 点 P(3, - 5)关于 x 轴的对称点坐标为 () DA. ( - 3, - 5)B. (5, 3)C. ( -

8、3, 5)D. (3, 5)第 4 页，共 16 页(2) 如图 , 数轴上 A， B 两点表示的数分别为1和3 ,A OB点 B 关于点 A 的对称点为 C, 则点 C 所表示的数为 () AA. 23B. 13C.2 3D. 13(3) 如图 , 在正方形网格纸上有三个点A, B, C, 现要在图中网格范围内再找格点D, 使得 A, B, C, D 四点组成的凸四边形是轴对称图形, 在图中标出所有满足条件的点D 的位置 . (两个解 )3. 如图 , 在 RtABC 中 , ACB= 90 , A = 15 ,AB 的垂直平分线与AC 交于点 D, 与 AB交于点 E, 连结 BD. 若

9、AD 12cm,则 BC 的长为cm.4. 如图 , 已知 ABC 中 , BAC = 120 ,分别作 AC, AB 边的垂直平分线PM , PN 交于点 P,分别交 BC 于点 E 和点 F . 则以下各说法中 : P = 60, EAF = 60 ,点 P 到点 B 和点C 的距离相等 , PE = PF, 正确的说法是 _. ( 填序号 ) PBFENCMA第 3 题图第 4 题图5. 已知 AOB45, 点 P 在 AOB 的内部 , P1 与 P 关于 OB 对称 , P2 与 P 关于 OA 对称 ,则 P1、P2 与 O 三点构成的三角形是() DA. 直角三角形B. 等腰三角

10、形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形(三 ) 等腰三角形的性质和判定1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是(). DA. 50B. 25C. 12.5D. 6 .252. 已知 : 如图 3, ABC 中 , 给出下列四个命题 : 若 AB AC, AD BC, 则 1 2;若 AB AC, 1 2, 则 BD DC ;若 AB AC, BD DC , 则 AD BC;若 AB AC, AD BC, BE AC, 则 1 3;其中 , 真命题的个数是(). DA. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个第 5 页，共 16 页3. 如图 , 在 ABC 中, D 是 BC 边上

11、一点 , 且 AB = AD = DC,A BAD =40, 则 C 为 () . BA. 25 B. 35 C. 40 D. 50 CBD4. 如图 , 在 ABC 中 , AB = AC , BAC = 30. 点 D 为 ABCA内一点 , 且 DB = DC , DCB = 30. 点 E 为 BD 延长线上一点,E且 AE = AB .M(1) 求 ADE 的度数 ;(2) 若点 M 在 DE 上 , 且 DM = DA , 求证 : ME = DC .BDC5. 已知 : 如图 , ABC 中 , 点 D, E 分别在 AB, AC 边上 , F 是CD 中点 , 连 BF 交 A

12、C 于点 E ,ABECEB180 , 比较线段 BD 与 CE 的大小 , 并证明你的结论.(提示 , 注意 AE = AB; 过 D 作 AC 的平行线交BE 于点 G)(四 ) 等边三角形 (30 角直角三角形 )1. 下列条件中 , 不能 得到等边三角形的是 () . BA. 有两个内角是 60的三角形B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形C. 三边都相等的三角形D. 有一个角是 60且是轴对称图形的三角形2. 如图 , ABC 中 , AB AC, BAC 120 ,DE 垂直平分 AC. 根据以上条件 , 可知 B _, BAD _, BD: DC _.(30, 90, 2: 1)

13、BD3. 如图 , 在纸片 ABC 中 , AC = 6, A = 30o, C = 90o, 将 A 沿 DE折叠 , 使点 A 与点 B 重合 , 则折痕 DE 的长为 _. (2)CEA4.如图所示 ABC 中 , AB = AC, AG 平分 BAC; FBC = BFG= 60, 若 FG = 3, FB = 7, 求 BC 的长 .(答案 10. 提示 : 延长 AG 、 FG 与 BC 相交 )第 6 页，共 16 页(五 ) 最值问题1. 如图 , P、Q 为ABC 边上的两个定点. 在 BC 边上求作一点M, 使 PM+MQ 最短2. 已知 : 如图 , 牧马营地在 M 处

14、, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草 , 再到河边饮水 , 最后回到营地 M. 请在图上画出最短的放牧路线 .B河PMAQC草地.第 1 题图第 2 题图3. 如图 , 四边形 EFGH 是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A、 B 两点的位置上 . 试问怎样撞击黑球A, 才能使黑球A 先碰到球台边EF , 反弹一次后再击中白球B?HGBAEF4. 如图 , MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴 , 点 P 是直线 MN 上的一个动点 , 当 PC+PD 最小时 , PCD = _ .(45)MADPBCN5. 已知两点 M(4, 2) , N(1, 1) , 点 P 是 x 轴上一

15、动点 , 若使 PM+PN 最短 , 则点 P 的坐标应为 _. (2, 0)6. 平面直角坐标系xOy 中 , 已知点 A(0, 4) , 直线 x = 3, 一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发 , 先到达 x轴上的某点 (设为点 E) , 再到达直线 x = 6 上某点 (设为点 F) 最后运动到点 A, 求使点 P 运动的路径中最短的点 E、 F 的坐标 . E(4, 0) , F(6, 1)第 7 页，共 16 页几何专题复习(一 ) 分类讨论1. 等腰三角形的一个角是 110 , 求其另两角 ? 等腰三角形的一个角是80 , 求其另两角 ? 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求

16、其三个内角的大小?2. 等腰三角形的两边长为 5cm、 6cm, 求其周长 ? 等腰三角形的两边长为 10cm、 21cm, 求其周长 ?3. 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm 和 21cm 两部分 , 求其底边长 ? 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm 和 27cm 两部分 , 求其底边长 ?4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 , 则其顶角为 _.( 按高的位置分类 )5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为 _.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为 _.7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为 _.8. ABC 中 ,

17、AB= AC, AB 的中垂线EF 与 AC 所在直线相交所成锐角为40 , 则 B =_.(按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)9. 已知 :A 2,0 、B 0, 4 , C为x轴上一点且ABC 为等腰三角形, 问满足条件的C 点有几个 ?4 个10. 在正方形 ABCD 所在平面上找一点 P, 使 PAD、 PAB、 PBC、PCD 均为等腰三角形 , 这样的 P 点有几个 ?9 个11. 平面内有一点D 到 ABC 三个顶点的距离DA = DB = DC, 若 DAB = 30,DAC =40, 则 BDC 的大小是 _ .(20 或 140)(二 ) 几何作图1. 如图 , 某地

18、区要在区域 S 内建一个超市 M, 按照要求 , 超市 M 到两个新建的居民小区 A, B 的距离相等 , 到两条公路 OC, OD 的距离也相等 . 这个超市应该建在何处 ?(本题要求 : 尺规作图 , 不写作法 , 保留作图痕迹)ASOBD第 8 页，共 16 页2. 尺规作图作AOB 的平分线方法如下: 以 O 为圆心 , 任意长为半径画弧交 OA 、 OB 于 C 、 D , 再分别以点C 、 D 为圆心 , 以大于 1 CD 长为2半 径 画 弧 ,两 弧 交 于 点 P ,则 作 射 线 OP 即 为 所 求 .由 作 法 得OCP ODP 的根据是 () . DA. SASB.

19、ASAC. AASD. SSS3. 如图 , 用圆规以直角顶点 O 为圆心 , 以适当半径画一条弧交两直角边于 A、B 两点 , 若再以 A 为圆心 , 以 OA 为半径画弧 ,与弧 AB 交于点 C, 则 AOC 等于_ BOA4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图 : 一把直尺压住射线OB, 另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点 P, 小明说 : “射线 OP 就是 BOA 的角平分线 . ”你认为小明的想法正确吗 ? 请说明理由 .5. 阅读下列材料 :木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木

20、板上画直角:如图 1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB , 接着分别以点A、点 B 为圆心 , 以大于1 AB 的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C, 再以 C 为圆心 , 以同样长为半径画弧交AC 的2延长线于点D(点 D 需落在木板上) , 连接 DB . 则 ABD 就是直角 .木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法 .DCABEF图 1图 2第 9 页，共 16 页解决下列问题:(1) 利用图 1 就 ABD 是直角作出合理解释 (要求 : 先写出已知、求证 , 再进行证明 );(2) 图 2 表示的一块残缺的圆形木板, 请你用 “三弧法 ”, 在木板上 画出一个以EF

21、为一条直角边的直角三角形EFG (要求 : 尺规作图 , 不写作法 , 保留作图痕迹 ) .(三 ) 操作问题第 1 题图图第 2 题图1. 如图 , 一张四边形纸片 ABCD , A 50 , C 150 . 若将其按照图所示方式折叠后 , 恰好 MD AB, ND BC,则 D 的度数为 (). CA. 70 B. 75C. 80D. 852. 如图所示 , 把一个三角形纸片 ABC 顶角向内折叠 3 次之后 , 3 个顶点不重合 , 那么图中 1+ 2+ 3+4+ 5+ 6 的值为 ()CA. 180 B.270C. 360D.无法确定3. 将一个菱形纸片依次按下图、的方式对折, 然后沿

22、图中的虚线裁剪 , 成图样式 .将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的() A4. 如图 , 等边 ABC 的边长为 1cm, D、E 分别是 AB、AC 上的点 , 将 ADE 沿直线 DE 折叠 , 点 A 落在点 A处, 且点在 ABC 外部 , 则阴影部分图形的周长为 _cm. (3)第 10 页，共 16 页5. 如图 , 将一张三角形纸片 ABC 折叠 , 使点 A 落在 BC 边上 , 折痕 EF BC, 得到 EFG ;再继续将纸片沿BEG 的对称轴EM 折叠 , 依照上述做法 , 再将 CFG 折叠 , 最终得到矩形EMNF , 折叠后的 EMG 和 FNG 的面积分别为1 和

23、 2, 则 ABC 的面积为 ()A.6B.9C.12D.18AAAAEFEFEFBCBGCB MGCBM GNC6. 将如图 1 所示的长方形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠 , 使点 B 落在 AD 边上 , 折痕为AE( 如图 2) ; 再继续将纸片沿过点E 的直线折叠 ,使点 A 落在 EC 边上 , 折痕为 EF(如图 3) ,则在图 3 中 , FAE = _ , AFE = _ . (45, 67.5)ADABDFDBCECEAC图 1图 2图 37.(1) 已知 ABC 中 ,A90 ,B67.5, 请画一条直线 ,把这个三角形分割成两个等腰三角形 . (请你选用下面给出

24、的备用图,把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图 , 不必说明理由 , 但要在图中标出相等两角的度数)(2) 已知 ABC 中 ,C 是其最小的内角, 过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形 , 请探求ABC 与C 之间的所有可能的关系 .AAABCBCBC备用图备用图备用图8. 当身边没有量角器时 , 怎样得到一些特定度数的角呢 ?动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图 , 已知矩形ABCD ,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点 A 所在直线为折痕, 折叠纸片 , 使点 B 落在 AD 上 , 折痕与 BC 交于 E; (2) 将纸片展平后 , 再一次

25、折叠纸片, 以 E 所在直线为折痕 , 使点 A 落在 BC 上 , 折痕 EF 交 AD 于 F . 则 AFE= _ . (67.5)第 11 页，共 16 页9. 如图 (1) 所示 Rt ABC 中 , A = 90, 三边 abc . 现以 ABC 某一边的垂直平分线为对称轴 , 作 ABC 的轴对称图形, 记作一次操作 . 例如 , 若图 (1)中 ABC 以 a 边的垂直平分线为对称轴 ,作轴对称图形得到图(2)中的 ABC, 记作 “a 操作 ”一次 ; 图 (2)中 ABC 继续以 b边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的 ABC, 记作 “b 操作 ”一次

26、. 现对图 (1)中的 ABC 分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的 ABC 与图 (1)中 ABC 重合的是 () . BA.a 操作 - b 操作 - c 操作B.b 操作 - c 操作 - b 操作 - c 操作C.a 操作 - c 操作 -b 操作 - a 操作D.b 操作 - a 操作 - b 操作 - a 操作AACcbBaC CaB AB(1) ABC(2) a 操作(3) b 操作四、探究性问题1. 已知 : 如图 , Rt ABC 中 , AB = AC, BAC = 90 ,直线 AE 是经过点 A 的任一直线 , BD AE 于 D, CE AE 于 E, B

27、D CE.(1) AD 与 CE 的大小关系如何 ? 请说明理由 .(2) 求证 : DE BD CE.2. 已知 : 如图 , B、A、C 三点共线 , 并且 Rt ABD Rt ECA, M 是 DE 的中点 .问题 :(1) 判断 ADE 的形状并证明 ;(2) 判断线段 AM 与线段 DE 的关系并证明 ;(3) 判断 MBC 的形状并证明 .EMDBAC第 12 页，共 16 页3.已知 : 在 ABC 中, CAB =2, 且 030 , AP 平分 CAB.(1) 如图 1, 若 21 , ABC = 32 , 且 AP 交 BC 于点 P, 试探究线段 AB, AC 与 PB

28、之间的数量关系 , 并对你的结论加以证明 ;CCPPABAB图图12(2) 如图 2, 若 ABC = 60, 点 P 在 ABC 的内部 , 且使 CBP = 30 , 求 APC 的度数 (用含的代数式表示 ) .五、关于旋转的问题、动点问题C1. 已知 : 如图 , AOB 和 COD 都是等边三角形 , 作直线 AC、直线 BD 交于 E. 求证 :A(1)AC BD ;DO(2) AEB 60.BA2. 已知 : 如图 , 等边三角形 ABC 中 , AB = 2, 点 P 是 AB 边上的一Q动点 (点 P 可以与点 A 重合 , 但不与点 B 重合 ) ,过点 P 作 PEBC,

29、PF垂足为 E, 过点 E 作 EF AC, 垂足为 F, 过点 F 作 FQ AB, 垂足为 Q. 设 BP = x, AQ = y. (1) 请用 x 的代数式表示y(直接写出 ) ; (2)BEC当 BP 的长等于多少时 , 点 P 与点 Q 重合 ;1x4( y8;)233. 已知 : 如图 , ABC 中 , A 90,AB AC. D 是斜边 BC 的中点 ; E、 F 分别在线段 AB、AC 上 , 且 EDF 90.(1) 求证 : DEF 为等腰直角三角形 .(2) 如果 E 点运动到 AB 的反向 延长线 上 , F 在直线 CA 上且仍保持 EDF 90, 那么 DEF

30、还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图 (右图 ) 并直接写出 你的结论 .第 13 页，共 16 页AAAFFEEBDCBDCBD4. 如图所示 , 长方形 ABCD 中 , AB = 4, BC = 43 , 点 E 是折线段 A D C 上的一个动点 (点 E 与点 A 不重合 ) , 点 P 是点 A 关于BE 的对称点 . 在点 E 运动的过程中, 能使 PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有 () . CA. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个AEDPBC5.如图 ABC 中 , ABAC10厘米 , BC 8厘米 , 点 D 为 AB 中点 .(1)如果点 P 在线段 BC

31、 上以 3 厘米 /秒的速度由 B 点向 C 点运动 , 同A时 , 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 .若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等 ,经过 1 秒后 , BPDD与 CQP 是否全等 , 请说明理由 ;Q若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点 Q 的运动速度 BC为多少时 , 能够使 BPD 与 CQP 全等 ?P(2)若点 Q 以中的运动速度从点C 出发 , 点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发 , 都逆时针沿 ABC 三边运动 ,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇 ?( (1) SAS 全等 ; 15 厘米 /秒 . (2) 经过 80 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇 . )43六、综合应用yl1. 在平面直角坐标系中, 直线 l 过点 M (3,0),且平行于y 轴 .如果 ABC 三个顶点的坐标分别是 A (2,0), B (1,0), C ( 1,2),ABC 关