层次分析法和软件应用的介绍

1、1,层次分析法,第一节 层次分析法的思想和原理 第二节 层次分析法的模型和步骤 第三节 层次分析法的应用 附录： ahp软件使用简介,2,问题的提出,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。即项目目标的选择是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统，需要一种可将决策者的经验予以量化，将定性和定量相结合，并对决策对象进行优劣排序、筛选的多目标决策分析方法,问题的提出,3,对于复杂的社会、经济、人文等问题（城市规划、企业管理 、选拔人才、选择职业等），若沿用适应于小生产方式的决策模式凭借历史经

2、验，靠主观判断进行决策，则缺乏应有的科学性，常常造成重大失误。 处理这些问题，要考虑的因素有多有少，有大有小。在作比较、判断、评价、决策时，各因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难,问题的提出,问题的提出,4,例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等多因素的综合评价选择去哪个地

3、方,问题的提出,问题的提出,5,问题的提出,例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题,问题的提出,6,面对复杂的系统和如此庞杂的因素，单用定性的方法来研究肯定行不通，但如果用定量方法来研究的话，就需要构造一定的数学模型来模拟。在构造模型的过程中需要大量的数据资料，但还有很多因素是不能单纯用数据来表示的，同时这个系统内部的很多因素并不能用单纯的量化关系来表达，所以在这种情况下，就要把

4、这个大系统分为若干个相互关联的子系统，然后再根据同一子系统内部不同要素的重要性做出评价，进行进一步的分析和资料的收集、处理。 层次分析法正是为分析这类复杂的社会、经济以及科学管理领域中的问题提供了一种简洁的、实用的、有效的决策方法,问题的提出,问题的提出,7,第一节 层次分析法的思想和原理,层次分析法(analytic hierarchy process，ahp)是美国著名的运筹学家tlsatty等人在20世纪70年代提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。 这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，

5、把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法,3.1 层次分析法的思想和原理,8,基本思想,它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一定标度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。 层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性,3.1 层次分析法的思想和原理,9,基本思想（续,把复杂问题

6、分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构，通过两两比较的方式确定各个因素相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序。 ahp体现了人们决策思维的基本特征，即体现了人们决策思维的基本特征，即分解、判断、综 分解、判断、综合。从本质上讲是一种思维方式，是一种定量与定性相结，将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法； 把复杂的决策问题层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题； 用层次分析法进行决策，可以提高决策的科学性、有效性和可行性,3.1 层次分析法的思想和原理,10,

7、基本原理,将复杂的决策问题层次化；可根据问题的性质以及所要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和相互关联程度分组，形成一个不相交的层次结构。上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起着支配作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递阶层次结构。递阶层次结构的决策问题，最后可归结为最低层（供选择的方案、措施等）相对于最高层（系统目标）的相对重要性的权值或相对优劣次序的总排序问题。 将引导决策者通过一系列成对比较的评判来得到各个方案或措施在某一个准则之下的相对重要性的量度。这种评判能转换成数字处理，构成一个所谓的判断矩阵，然后使用用单准则排序

8、计算方法 单准则排序计算方法便可获得这些方案或措施在该准则便可获得这些方案或措施在该准则之下的优先度的排序,3.1 层次分析法的思想和原理,11,基本特点,应该看到，尽管ahp具有模型的特色，在操作过程中使用了线性代数的方法，数学原理严密，但是它自身的柔性色彩仍十分突出。层次分析法不仅简化了系统分析和计算，还有助于决策者保持思维过程的一致性。 层次分析法是一种模拟人的思维过程的工具。如果说比较、分解和综合是大脑分析解决问题的一种基本思考过程，则层次分析法对这种思考过程提供了一种数学表达及数学处理的方法。特别是，ahp提供了决策者直接进入分析过程，将科学性与艺术性有机结合的有利渠道。 层次分析法

9、十分适用于具有定性的，或定性、定量兼有的决策分析，它是一种十分有效的系统分析和科学决策方法,3.1 层次分析法的思想和原理,12,运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤： 1. 明确问题，建立递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算权重向量并做一致性检验； 4. 计算各层次元素的组合权重向量并做一致性检验,第二节 层次分析法的模型和步骤,3.2 层次分析法的模型和步骤,13,1、建立问题的递阶层次结构,在研究社会、经济、管理等复杂问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。 将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若

10、干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次；层次模型中，用作用线表明上一层次因素同下一层次的因素之间的关系。 处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素,3.2 层次分析法的模型和步骤,14,建立问题的递阶层次结构（续,3.2 层次分析法的

11、模型和步骤,只有一个元素，它是问题的预定目标或理想结果,它包括为实现目标所涉及的中间环节，所需要考虑的准则。该层可由若干层组成,包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,目标层,准则层,方案层,15,建立问题的递阶层次结构（续,3.2 层次分析法的模型和步骤,模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之间不存在相互影响或支配关系，或者这种影响可以忽略；层次之间存在自下而上、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层间的循环影响,递阶层次结构,16,层次结构实例（1,3.2 层次分析法的模型和步骤,17,层次结构实例（2,3.2 层次分析法的模型和步骤,18,层

12、次结构实例（3,3.2 层次分析法的模型和步骤,19,一个典型的层次可以用下图表示出来,3.2 层次分析法的模型和步骤,20,注意,层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。 一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构,3.2 层次分析法的模型和步骤,21,递阶层次结构应具有以下特点,1) 从上到下顺序地存在支配关

13、系，并用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。 (2) 整个结构中层次数不受限制。 (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步分组。 (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构,3.2 层次分析法的模型和步骤,22,2、构造成对判断矩阵,涉及到社会、经济、管理、人文等因素的决策问题的主要困难在于，问题所涉及的因素有的有相同的量纲，在数量上是可比的，但更多的因素不易定量地量

14、测和比较，人们凭自己的经验和知识进行判断，受到相当大的主观因素的影响，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的； saaty等人提出的成对比较法，可以提高诸因素比较的准确程度： 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比； 对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,3.2 层次分析法的模型和步骤,23,构造成对判断矩阵,在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素ck 作为准则，对下一层次的元素 a1, , an 有支配关系，我们的目的是在准则 ck 之下按它们相对重要性赋予 a1, , an 相应的权重,3.2 层次分析法的模型

15、和步骤,24,成对比较法,要比较n个因素a1, a2 , , an对于准则ck相对的重要性即权重，分两种情况： 如果a1, a2 , , an对于ck的重要性可定量（如可用钱、重量等），其权重可直接确定； 如果问题复杂， a1, a2 , , an对于对于ck的重要性无法直接定量，而是一些定性的对比，确定权重用两两比较的方法。 对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重,3.2 层次分析法的模型和步骤,25,成对比较法,每次取两个因素ai和aj，用aij表示ai和aj对ck的影响程度之比，按19的比例标度a

16、ij来度量（对重要性程度赋值,n个因素彼此比较，便构成一个两两比较的判断矩阵,成对比较矩阵,矩阵a的性质,n个因素的判断矩阵只需给出上三角的n(n-1)/2个元素,正互反 矩阵,3.2 层次分析法的模型和步骤,26,判断矩阵标度及其含义,当比较两个具有不同性质的因素ai和aj对于上一层因素ck的影响时，采用什么样的相对尺度较好呢？ saaty提出用数字19及其倒数作为标度，理由如下： 在估计事物的区别性时，人们常用五种判断来表示：即相等、较强、强、很强、绝对强，当需要更高精度时，还可在相邻判断之间作出比较。这样总共有个数据，既保持了连贯性，又便于在实践中应用,3.2 层次分析法的模型和步骤,2

17、7,判断矩阵标度及其含义,3.2 层次分析法的模型和步骤,28,判断矩阵示例,a121/2 表示景色a1与费用a2对选择旅游地这个目标c的重要性之比为1:2,a134 表示景色a1与居住条件a3之比为4:1。 a237 表示费用a2与居住条件a3之比为7:1,3.2 层次分析法的模型和步骤,29,3、计算权重向量并做一致性检验,这一步是要解决在准则 ck 下，n 个元素a1, , an 排序权重的计算问题。 对于 n 个元素 a1, , an，通过两两比较得到判断矩阵 a，解特征根问题 aw = maxw 所得到的 w 经归一化后作为元素 a1, , an在准则 ck 下的排序权重，这种方法称

18、为计算排序向量的特征根法,3.2 层次分析法的模型和步骤,30,计算权重向量,设想把一块单位重量的大石头c砸成n块小石头c1, c2, , cn，各小块石头的重量为wi(i=1,2, , n)， 则c1, c2, , cn在c中占的比重可用其重量排序,w = ( w1 , w2 , , wn,n 且 wi = 1 i = 1,ci与cj的相对重量为aij= wi / wj ，得到判断矩阵,满足一 致条件 的正互 反矩阵,3.2 层次分析法的模型和步骤,31,简化的计算方法,理论上讲，层次单排序计算问题可归结为计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量（特征根法）的问题。但一般来说，计算判断矩阵的最大

19、特征根及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精确度。这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近似的最大特征值及其对应的特征向量。我们这里给出一种简单的计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方根法的计算步骤,3.2 层次分析法的模型和步骤,32,方根法,1)计算判断矩阵每一行元素的乘积mi (2)计算mi的n次方根： (3)对向量 正规化(归一化处理) 则 即为所求的特征向量。 (4)计算判断矩阵的最大特征根（其中(aw)i表示向量aw的第i个元素,3.2 层次分析法的模型和步骤,3

20、3,和积法,1)计算判断矩阵每一行元素的和mi (2)计算mi的n次方根： (3)对向量 正规化(归一化处理) 则 即为所求的特征向量。 (4)计算判断矩阵的最大特征根（其中(aw)i表示向量aw的第i个元素,3.2 层次分析法的模型和步骤,34,一致性检验,在特殊情况下，判断矩阵 a 的元素具有传递性，即满足等式 aij ajk = aik 例如当 ai 和 aj 相比的重要性比例标度为 3，而 aj 和 ak 相比的重要性比例标度为 2，一个传递性的判断应有 ai 和 ak 相比的重要性比例标度为 6。当上式对矩阵 a 的所有元素均成立时，判断矩阵a 称为一致性矩阵,3.2 层次分析法的模

21、型和步骤,35,一致性检验,一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。 但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致性进行检验,3.2 层次分析法的模型和步骤,36,一致性检验过程,对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致

22、性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需重新构造判断矩阵,3.2 层次分析法的模型和步骤,37,一致性检验指标,如何确定a的不一致程度的容许范围呢,对于固定的n，随机构造正互反矩阵a（它的元素aij i j 是从19，11/9中随机抽取的），这样的a是最不一致的，它的ci相当大。 取充分大的子样（500个样本以上）得到a的最大特征根的平均值max ，计算平均随机一致性指标ri,随机一致性指标,引入随机一致性指标,定义一致性指标,3.2 层次分析法的模型和步骤,38,一致性检验指标,一致性比率 对于n3的判断矩阵a，等于一致性指标与同阶（n相同）的平均随机一致性指标之比,

23、一致性检验,a的不一致程度在容许范围之内，可以用特征向量作为权向量。 检验不通过，要重新进行成对比较，或对已有的a进行修正,3.2 层次分析法的模型和步骤,39,一致性检验步骤（1,判断矩阵一致性检验的步骤如下,1) 计算一致性指标 c.i.,其中 n 为判断矩阵的阶数,3.2 层次分析法的模型和步骤,40,一致性检验步骤（2,2) 查找平均随机一致性指标 r.i.,平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。平均随机一致性指标如下,3.2 层次分析法的模型和步骤,41,一致性检验步骤（3,3) 计算一致性比例 c.r.,当 c.r. 0.1 时

24、，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正,3.2 层次分析法的模型和步骤,42,层次总排序及一致性检验,问题：如何得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重（总排序权重），从而进行方案选择,总排序要自上而下地将权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序,3.2 层次分析法的模型和步骤,43,层次总排序,在层次结构模型中设,a层m个因素a1,a2,am对总目标c的排序为,b层n个因素对上层a中因素为aj的层次单排序为,3.2 层次分析法的模型和步骤,44,层次总排序,a,b层的层次总排序，即b

25、层第i个因素对总目标的权值为,计算过程为,3.2 层次分析法的模型和步骤,45,层次总排序,3.2 层次分析法的模型和步骤,46,层次分析法基本步骤总结,1.建立层次结构模型 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。 2.构造成对比较矩阵 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。 3.计算单排序权向量并做一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，利用一致性指标进行一致性检验。 4.计算总排序权向量并做一致性检验 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。利用一致性指标进行组合一致性检验,3.2 层次分析法的模型和步骤,47,层次分析法的优点,1.系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2.实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。 3.简洁性 层次分析法的基本原理和步骤易于掌握，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握,3.