2019年推荐电大专科微积分初步复习小抄

1、微积分初步一、填空题20分)函数丄.函数f(x)(每小题4分，本题共_L的定义域是(q5).2- lim xsin 1XX3.已知 f(x) =2X，则 f (x)=2X(ln2)2.4 若 f (x)dxf (2 X 3) dxF(x) c，则1_F(2x 3) c.25.微分方程xy(y )4sin X是 3.1函数f；)ex卡的阶数1.函数f(x) 1 的定义域()ln(x 2)是(2,3)(3,).2.函数y X?2X 3的间断X 1点是X 1.3.曲线 f (x)jx1 在(0,1)点的斜率是丄.24 若 f (x)dx cos2xc，则(3)27 27ln37.已知 f(X) ln

2、 X，则1f (X)孑(2, 1)2 lim 沁 xj X4 d e dx5.微分方程_的定义域是In(x +2)(1,)X2= edx.y, y(0)1的特解为y =.1.函数 f(x 1)f (X)X2 -1.3.曲线y =仮在点(1, 1)处的 切线方程是y 1x 1.2 2X2 2x，则f (x) = -4cos2x .5.微分方程xy (y )3 数是 2.1.函数 f(x 1) X2 f (X) X2 -1 .2函数xsin 2f(x)X2,X =0处连续，4 ： (3x3 5x5.微分方程Xy 的阶数是_3.函数 f(x)& 若 f (X) xe x，则f (0)仝9 .函数y

3、3(x1)2的单调增加区间是1,)10 .函数f (X) X21在区间(0,)内单调增加，则a应满 足a 09 .微分方程y 3y 0的通解为y ce 3x10 .微(y )3 4xy(4) y7sinx的阶数为 4阶 .二、单项选择题(每小题 4分, 本题共20分)1.设函数yXXe e，则该函2).2x0的阶ln x2 ,，则k,x 0 在则 k =2 .42)dx(y)32 ._1ln(x 2)sin y 0J 4 X2的定义域是(2, 1)(1,24若 f (x)dx si n2x c，则f (x)二4sin2x .5.微分方程(y )3 4xy(5)为_5_1.函数打、f(x)y7

4、cosx的阶数的定义域是(2,2).4若 sinxdx=cosx C .6.函数f(xf(x)7 .若函数一、 f (X)2) X2 4xX2 -2.-3 ,xsin 1,Xk,2，则0,在X =0处连续，则k8.曲线y 丘在点(1, 1)处的切 线斜率是1.29. (sin xcos2x x2 )dx丄234 .函数f(x则 f (X)5 函数1)X2X262x 7 ,f (x)X 0,则X 0f (0)6.函数f(x)7 函数f (x 1)X212 X y x22x，则2xX 11的间断点9.若 lim 沁=2，T sin kx=2，1 在(1,2)1 f (1)-2X1 .曲线f(X)点

5、的斜率是k2. 曲线f(X) e在(0,1)点的切线方程是y X 113. 曲线y =x-在点(1, 1)处的切线方程是 _1八y 12(x 1)10.微分方程(y ) 4xy5_.6.函数f (Xf (X)丄y6 sin x的阶数为1)2 +X2 2x2，则即：X 2y 304 . (2x)2代丄ln22収2斤 ln2若 y = x (x -1)(x -2)(x -3)，则9.(sinx) dx sinx + cy (0)=已知f(x) x3 3x，则1 .若f(X)的一个原函数为贝U f (x) xln X2 2x c2.若f(X)的一个原函数为-dx，则 f (x)4eXf (x)dx

6、xeX c,则1+x exx e3.若f(x)4.5.6.7.f (x)dxsin2x若f (x) =2cos2x若f (x)dx xinx(X)1Xf (x)dx cos2xf (x) 4cos2x2 2d e dx = edx(sin x) dx sin X c9 .若 f (x) dx F (x) c，则 f(2x 3)dx F 2x 3 c210 .若f (x)dxF(x) c，则Xf(1x2)dx-F 1 X2 c28.1.1 2A(sin xcos2x x )dx2.T兔(X5 4xcos x)dx 2f (x)在任意点X处切线的斜率为 JX，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程3是

7、 y -x1334若 J5x3 3x 2)dx A.3.已知曲线y5.由定积分的几何意义知,6.7.ddx0：ln (X2 1)dx 02x .1e dx = -2&微分方程y y, y(0)的特解为y ex数是(BA.奇函数C.非奇非偶函数D .既奇又偶函数Xe (2).B .偶函数1.设函数yB.偶函数Xe ，则该函数是(AA 奇函数C.非奇非偶函数D既奇又偶函数3.下列结论中(C )正确.A . f (x)在x x0处连续， 则一定在x0处可微.B函数的极值点一定发生在其 驻点上.C. f (x)在x x0处不连续, 则一定在x0处不可导.D. 函数的极值点一定发生在不 可导点上.4.如

8、果等式则 f(x)A. 1XC.丄X1f(x)eXdx(B.D.1 2 x 丄 x1ex c，3.下列函数在指定区间(，上单调减少的是(D ).B . exD. 3 XA . sinxC. X21.设函数y = xsin X ,则该函数是(B ).A.奇函数 B 偶函数 C .非 奇非偶函数D.既奇又偶函数3.下列函数在指定区间(,)上单调减少的是(B).X2 D . 2Xc，则A. cosx B . 5 7 C .设ln X以 f (x)dx Xf(x) = ( C ).B.也A.C.ln ln x1 ln X2 XD.Xln25.下列微分方程中，线性微分方程.A. y sinx yeA )

9、是y ln XB2X yy xy e C . y xy ey16.D .3.满足方程函数f（x）lA.极值点 B . C .驻点 D .5.微分方程y是（B ）A. y =eCx 1;yx2 +1 ny =y f （x） _0 的点一一疋是的（C ）。最值点间断点+1的通解=yB.y =Ce -1 ；D. y 丄2 4C2的f(X)=1 厂 0、相5ln(x _2)定义域是(D ).A.( 2, +8) BC .( 2, 3)U( 3,D .( 2, 3)U( 3,3.下列函数在指定区间(8)上单调减少的是(A . sinx1.函数R、f(x)C. y =x 4C ；1.函数( 2, 55)5

10、-8, +B ).2B . 3C . X D .X 的定义域=ln(x 42).是(CA.(-2 , +s) B .(-1 , +sC .(-2 , -1 )U( -1 , +)D . (-1 , 0)U( 0, +)5.下列微分方程中为可分离变量方 程的是(CA. dy；dx- 刊C.学却旳；dx)B.D.字处4X) dxdydXzy Hsin X，松1X 菽5.下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B ）A. y=eX* B. y+siny=xC. yyC. 2 D 12 设函数数是（=sin X11 .当 k = (D)处连续.时，函数X k0在X =0B.一定在X0处可微.f （x）

11、 在 X = x0处不连续, 则一定在x0处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.y =x2 sin x，则该函A 奇函数A ).B.偶函数C 非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.函数f（X）=x2X +2-的图形是关于（DA. y = Xc. y轴）对称.D .坐标原点4 .下列函数中为奇函数是(C)A . xsinxB . In Xf2C .In(X +J1 +x2)D . X + x5.函数 y =ln(x +5)的定X +4义域为（ D ）.X一5B . X 工 一4X A -5 且 X H 0X一5 且 X 工 一42、若函数f（x）sin X ,2则雪（x）C .D .6.函

12、数f（X）(A ).义域=ln（x）A . 0 B . 112 .函数 f(x) =点是（A ）A. x=1,x=2C . 2x_3D. 3的间断X2 J3x +2C . X =1,x =2,x =3D .无间断点1 .函数y =（x +1）2在区间（22）是（A.单调增加C.先增后减2 满足方程定是函数D ）B.单调减少D.先减后增f （X）= 0 的点一=f（X）的(C )A 极值点B .最值点C.驻点3.若 f (X) f 0)= ( C ).A. 2 B. 1 C. - 1 D. -2=eD.间断点cosx ，贝U4.设 y = Ig2 X，则 dy = (D.若f（x）在a, b】内

13、恒有f *（x），则在a, b】内函数是单调下降的.10若函数f（X）在点xo处可导,A.函数B . lim 0）是错误的.f （x）在点X0处有定义f（x）AHf (Xo)C.函数f （X）在点X0处连续 D .函数f （X）在点X0处可微 11 .下列函数在指定区间上单调增加的是(亠切(B ).A . B . 0 C . 1 D .不存在4.下列无穷积分收敛的是（B ）A . 弋in xdxB . re-dxD 尹11 -；=dx A Vx5.微分方程y丄y+l的通解是(D )B. y =x2 +cC .广1dx1 XA. y Jx2 +c2C. y =ex +c1.函数X -1yA .C

14、.D .D. y =ceX 1的定义域x2+2 (D).X H2B .X H2 且 X H0X H2且X工1X H12.若函数1f(X)=xsin - X(C )1 C . 12y =x2 +4x +7在区间（-5,5）是（C）A .单调增加B.单调减少C.先减后增D.先增后减4.下列无穷积分收敛的是（AA .（勺dx B .亡丄 dxx2” 3Jx3.函数D.不存在).(D).(1,啊B. (0,1)51,+巧(0,2) j(2,切(1,2)52,+)7 .设 f(X +1)(C )A. x(x +1)C . x( X 2)2=x -1,贝U f (X)=2B . XD . (x+2)(X1

15、)8 .下列各函数对中，（D）中的两个函数相等.f(x)=(色)2, f (x) =Jx2， f(X)=ln X2,!f(X)=ln X3, j，g(x)=xg(x) =xg(x) =2ln Xg(x) =3ln X9当XT 0时，下列变量中为无穷小量的是（A . 1 B .XC. In(1 +x)10 .f(x)C ) sin XXD ._x2X当k = X2 41, k,（B）时，函数X丸，在X =0处连X =0B ).丄dX2xIn10 , dxX5.设y = f(x)是可微函数，I df (cos2x) = ( D ). A . 2f(cos2x)dx B . f (cos 2x)si

16、n2xd2x C . 2f(cos2x)sin 2xdx D . - f (cos2x)sin2xd2x6 .曲线y =e 切线的斜率是4 A . e C .空7.若 f (X)f (X)-cosx + xsin XA.C.B.D .丄 dxX+1在X = 2处 (C ).2B . eD . 2= xcosx，贝U(C ).COSX x sin X-2sin x -xcosx_C .D . 2sin x + xcosx8 .若 f (x) =sinx+a3，其中 是常数，则f(x) =(C ).2A . cosx +3aC . -sin X9.下列结论中(sinx + 6acosx）不正确.A

17、 . f (x)在X = x0处连续，则A . sinxC . X 212.下列结论正确的有（A ）.A . X0是f （X）的极值点，且f （x。） 存在，则必有f（X0）= 0B . x0是f（X）的极值点，贝U x0必 是 f （x）的驻点C .若 f （X0）= 0 ,则 X0 必是 f （X） 的极值点D.使f （X）不存在的点定是f（X）的极值点D. 3 - XX0, 一1.下列等式成立的是(A ).f f (x)dx = f (x) dx B.J f (x)dx = f(X)d J f (x)dx = f (x)Jdf(x) = f(x)2 .若 J f (x)dx = x2e2

18、x + 贝U f(X)= ( AA. 2xe2x(1+x)TxC. 2xeC.B. 2x2e2x2xD. xe3 .若 f(X)=xJ f (x)dx = A. x+T+c X2 +x+c32.3 2 X十一 X21 2,2 X 一X23C.D.+/X(x A0)，则(A ).B.4 .以下计算正确的是（ A ）1)5.3Xdxln3A . 0 B .兀 C .23x；丄(sinx) ?x；2 cosx2tanxdx1 x2dx .=d*x片xcos-d(-)x x.1Sin- cxd(1 x2)In xdxxf (x)dxA. xf (x)d(l)x(A )f (x) c6.B.C.D.C.

19、6.下列无穷积分收敛的是A .弋0(B ).exdx-dxx7.下列无穷积分收敛的是e xdx*dx(B ).xf (x) c1 2 -x f (x) c2sinxdx2x ,e dx(x 1) f (x) c a力 2x B .2xdxdx= ( C ).2x2aln adx2xdx c-dxx7.如果等式1xdxf(x)eC，则32(-x2 tan x)dx23.计算不定积分(1 一 2x)9dxdy解:14.计算定积分exin xdx18 .下列微分方程中,性微分方程.2yxA.B.C.D.y yyy sinxlny2xyxy(D)是线yXeeyy ex yl nxf(x)A.- xC.

20、-xB.D.)1TXT2X9 微分方程y(C0的通解为).CxC10 下列微分方程中为可分离变1.在切线斜率为 族中，通过点2x的积分曲线1,4)的曲线为(A ).A. y = x2D .2若+ 32x2x量方程的是(B )A. dydxdydxD. yC.xy;B. dy；y dx xy ysin x D.sin xydy .x(y dxtan xx)y10(2x +k)dx1=2,则(A ).三、计算题(本题共 题11分)2.设yexA . 1 B. - 1 C. 0解：y3.下列定积分中积分值为的是dyC.D.e -e X21 ex +e I X1 2兀 3兀(Xcosx)dx兀 2兀(

21、Xsin x)dx4.设积分f (x)是连续的奇函数,(则定C.af (x)dx =-a02 -a f(x)dxa0 f(x)dx 勺 si n x|dx2-af (x)dx).44分，每小x4x， 求 dy.2edx(2ex3.计算不定积分解:si n*Fx= dxvx2 sinJx4.计算定积分解：0 2xeX dx2xeX|0 21.计算极限解:2.设解:1x2323-X2)dx2 2 sin Jx_, dxJx2cosdx1 ,02xeixdxe解: 1 xln xdx =Aw12 e 1,刁xl1泸3x 27e22x2Txdx1 2J249(1 -2x) dx =1(1203x 2X

22、 6(1- 2x)9d(12x)1.计算极限2.x3x 2d 2解: lim 笃X-4 XX 6加 1)(x 2) x 2 (x2)( x 3)2x)101.计算极限解lim x 2 x 1 x22.设3x 22.设解:2.设解:dyCOS Jxsin Jx(2xln 2sin 5x5cos5x5cos5x3.计算不定积分解: (1+孙Jx2 (1,x)2d(14.计算定积分解:-xcosx兀X . sin 0 2兀10弓11.计算极限lim(xx 11)( x 2)(x 1)(x 1)12lim 一x 2 x 32X，求 dy.I 2X ln 22jxsin JX、* )dx2仮cos3 X

23、，求 y .3cos2 x( sin x)2x3sin xcos(1 +存)2dx Jxdx打)l(1 Q)33sin xdx0 2xdx兀osxdx 02lim T3.1.ln cosx，求 y .( sin x) cosx3-X2计算不定积分tanxex -dxxJ5 +eexdx寸5 ex计算极限2，-Xlim 2X X 2 ,(X 2)( X 4) lim X 2 (Xd(5 ex)厂1_dx 2j5,X2 6x 8lim 一 X2 X 26x 8lim2)(x 1) x 2 (x 1)ex2.设y解cos5x In3 X，求 yy (cos) (ln Msirx5M 3ln2XlnR

24、5.计算定积分3ln2x5sir5x x2 xcosxdx022x 15 X29解：r x2 2x 15 limzTX2 9lim 3)(X 5)X 3 (x丑2 xcosxdx0xsin xf.兀2 sinxdx02.设y解:dy12.3x2(3坂2设y ln3)(x 3) xJx3X勺丄2limx 3 x 31.计算极限2lim x 2弓cos精3x 2X2 4解:cos3x，求 dycos3x，3sin 3x，3sin 3x)dxx sin 丄，求 dyx2lim T X24(x 1)(x 2) x 1lim limx 2 (x 2)(x 2)x 2 x 2x2 5x 6lim2xT x

25、2 15x 62x3x 272.计算极限2解: lim TX21(X1)(x6)X6lim limx 1 (X 1)(X 1) x 1 X x293 - lim Tx2 2x解：limjT X2 2x lim (X 3)(X3)X 3 (X 1)(x4 .计算极限解：1y -x1c0e dx 2e,X2 2xlim 2x X 2x 15X29(X 5)(X 3)3(X 3)(X 3)xfG ln cos X，2 .x lim xTlimx2e15 .93求dy.1 1cos (一)x xdy = y dx (x13.计算不定积分1肋cos 一解： x.dx1 1 cos xX2 COS 二)d

26、xX X1cosdxX393lim丄芒x 3 x 13).x2 6x 8吗X2 5x 46x 85x 425.Xr(X _2)( X _4) r-lim 八/ limX 4 (x _1)(x _4)X 4 XX2 6x 8 lim x_2 x2 5x 66x 85.计算极限X _2 _2=32解： X解：lim rx-x5x 6.(x 2)( X 4) r X 4 lim L limx 2 (X 2)(x 3)x 2 X 36计算极限lim / X 1 . X解：r 訥X 1解: limXZL 0(严 1)X 0xm0lim 7 / X 17计算极限lim J X 1sin4x2xdx 2yd

27、y (ydx xdy) 02ydy xdy ydx 2xdx. y 2xdy dx2y x6.设y y(x)是由方程1确定的隐函数,22 cX y 2xy 求dy.4.解:sin -d (i) cos-x xxxsin 2xdxxsin 2xdx121 c -X cos2x2xd cos2x1_ (xcos2x代入y(i)cos2xdx)1 -sin 2x41 J 412一 (一 X-xx 42代入得C = 1。1/14y活x7.求微分方程解为的通解。1 2一 x2yxc)，即：特1)2xsin 2x解:两边对x2 2:y2xy 1 求5.xedx导，得：X2x2yy2(yxy) 0解:xed

28、xx 1)Xyy yxy0 ,xde x(xe xeXdx)xe x(Xyy)y1(Xy)，1.ln2ex(1 +0 ln 2eX)2dxdyy dxdx解:X0 e o+eX)2dxX(V1xeln2ex)2d(1 ex) 1(1 ex)39解：通解为_P (x)dxxp(x)p(x)dxdx cq(x)e，q(x) = 2xsin 2x，代入得通解为y x( cos2x c)四、应用题(本题16分)解：limLLT sin 4xlim (jr 1)(严 1) si n4x( 厂X 1)y = y(x)是由方程xey x24确定的隐函7 .设xe数，求dy.解：两边微分，得：exdx ey

29、dx xey dy 2xdxIn 20 (12.解:19e1 + 5ln x_,dx1 Xe1+5l nx11 Xdxlim Xlim1x0sin 4x3 X 1)4X 54X(4xsin4x&计算极限limx-Mx 42解：r si n4x解：lim”x-0 Jx 4 2lim sin 4x( vx 4 2) xfjx 42)(、；厂4 2)xe dy (e e 2x)dx ex ey 2x dx xey,dy8 .设 cos( x解：两边对y) ey1，求 dy.lim sin4x(YX 42)x 04limsh,rx 0 4x12 X ,=x ex，求 y .2)16解:1y 2xex1

30、x2ex(占)12xex(2x11)ex2.设ysin4x3cos x，求解:y 4cos4x3.设y3.5ln x)d In x解: y4.设y277 e xJx In3cos2 xsin1，求x-寸(os2(11xe05ln x)2xdxe1(1e5ln x)d(15ln x)1)1、用钢板焊接一个容积为 4 m3 的底为正方形的无盖水箱，已 知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何 选择，可使总费最低？最低总 费是多少？解：设边长x，高h，表面积S， 且h 4rS(x)x24 xh2 16X Xycos(x y) e得：(1 y)si n(x y)sin( x y)eyy

31、sin(xdy解:1求导,y eyy) yey解:1xexdx0S (X) 2xy)yy)sin(Xsin(Xey sin (x y), sin(X ydx r esin(x y)1 1xeexdx eI 00.sin dx0 2解：xsin-dx0 22 xsin-d(r)0 2 2xdex04.ex：20(e1)S(x)所以，当面积最小S(2) 1016 令70，得XX 2, h.最低总费40160 (元)2，1时水箱的xd co：y)dxsin(X y)3 Jx3 xsin X , dxx3 后 xsinxdxdxJxdxx23ln x - x3sin xdx5.32 cosx(2 x-

32、1)10dx解:(2x -1)10dxx2(xcos-2xcosdx)22 cosdx00cos|d(|)02 xsin xdxJI2 xsin xdx02 xd cos x0(xcosxg解：y評sin xcosxtanx25.设yy( x)是由方程xy 4确定的隐函数,2 2x y 求dy.解：两边微分:12-1-(2x 1)1122sin 1甘dxx1sin -rxdxx(2x 1)10d(2x1 11)2 10 1(2x 1)10 + csinx|216.求微分方程解:足初始条件yd)y 2 xx7的特解.4解：通解为-P (x)dxy e q(x)e1p(x) -，q(x)x3、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器， 怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为 x， 高为h，用材料为y，x所以cos xdx 即 卩当p(x)dxdxcx21，由已知x2h108, h2y X4xh X2,1084xrX2x4322X0，解得1082X2432