二项式定理各种题型解题技巧

1、二项式定理各种题型解题技巧Revised on November 25,2020二项式定理1.二项式定理：(a + b)n = cy + Chb + + Can-rbr + + C；：b(/? g TV*),2基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做S + b)”的二项展开式。 二项式系数:展开式中各项的系数C： 0 = 0,1,2,/) ;项数：共(厂+ 1)项，是关于。与b的齐次多项式 通项:展开式中的第厂+1项Crnanrbr叫做二项式展开式的通项。用T卄严CgF 表ZFo3.注意关键点： 项数：展开式中总共有5 + 1)项。 顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。(a + b)

2、n与(b + 0是不同的。 :指数：Q的指数从“逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到”，是升幕排列。各项的次数和等于八 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是的系数是Q与的系数(包括二项式系数)。4常用的结论：令a = 1上=兀(1 + x)n = C： + C+ C;tx2 + + C,；N + + C：x”(n g N、令a = 1上=-x, (1-x)n = C； -C：x+CH _+ C：* + + (】)”C；：x(n g N5 性质：二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 二项式系数和：令a = b = lf则二项式系数的和为C：

3、 + C,； + C： + . + C； +CR2”，变形式 C： + C： C：卜 C： =2 1 o 奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a = l,b = -l;则C： C,； + C：C： + .+ (1)”C： = (11) = 0,从而得到：q + C； + C：.+C. = C： + C： + .+ C：E + . = *x2” = 2T 奇数项的系数和与偶数项的系数和： 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数是偶数时，则中间一项的二项式系数C：取得最大值。如果二项式的幕指数是奇数时，则中间两项的二项式系数n-1/r+1C,可，C可同时取得最大值。 系数

4、的最大项：求(0+加)”展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别4 A为人,人,，4申，设第广+1项系数最大，应有：+1 ：,从而解IA+岸 4+2出r来。6二项式定理的十一种考题的解法：题型一:二项式定理的逆用；例：C： + C6+C：6+ + C：；6i =.解：(l+6)”=C： + C；6 + C：6 + C：6 + .+ C：；6”与已知的有一些差距，练：C：+3C；+9C： + .+ 3”TC： =.解:设Sn=C： + 3C： + 9C： +3,则3S” = 3 + C：3? + C：33 + . + C：3” = C； + C；3 + C；3 + + C；：

5、3 1 = (1 + 3)” 1_(1 + 3)”-1_4一1 ”33题型二：利用通项公式求疋的系数；例：在二项式（+疔）”的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有疋的项的系数解：由条件知C；-2=45,即C； = 45, /./I2-h-90 = 0,解得 =-9（舍却或10,由 -更工+占io_r 2Tr+l = C；o（xl-ry=C；ox “由题意-呼 + 彳厂=3,解得心6,43则含有F的项是第7项7 = CA3 = 210F，系数为210。练：求（疋-当尸展开式中才的系数2x解:匚严C；（F）i（-貞）r =令 18-3r = 9,则厂=31 21故疋的系数为C；（-討=-#。题型

6、三:利用通项公式求常数项；例:求二项式（F +的展开式中的常数项解：匚产久（严（诺）、久少严訂 令20-|r = 0,得厂=8,所以 %）一急练：求二项式（2x-l）6的展开式中的常数项2x解：7；+严C；（2x）i（_iy（丄）令6-2r = 0,得厂=3,所以 2x27（-1）宅=-20练：若（疋+丄）的二项展开式中第5项为常数项，贝川=.x解:7；=C；（x2）-4（1）4 = C2-12,令2n-12 = 0,得比=6.题型四:利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(V7-歩)9展开式中的有理项1127-r27 r解=令G 乙(0K9)得厂=3或厂=9,6所以当r = 3时，

7、冬工=4, 7； = (1)9河= 84门6当厂=9 时，冬工=3, 7；0 = (-l)3C3=-x3o题型五：奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为-256,求”.解:设(疔-1)展开式中各项系数依次设为心厲,。”令x = 1,则有绻+勺+Q” =0,，令x = l,则有。0-勺+冬一。3+ (i)d =2,将: 2（勺 + 他 + ）=2 ,勺 + 偽 + =2 1,有题意得，_2m-1 =-256 = -28! .n = 9o练：若(卜為的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解.C： + C,； + C；+Cj + = C,： +

8、C： + . + C；w + 2U.2”T = 1024,解得n = ll所以中间两个项分别为n = 6,n = 7, T5+l = C： ()6 (石尸=462 L4,：严462*唱题型六：最大系数，最大项；例：已知(* + 2兀)”，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：.C： + C： = 2C；,.沪25 + 98 = 0,解出心7或”14,当舁=7时，展开式中二项 式系数最大的项是耳和人 7；的系数=C；（$2 = y,. 7；的系数=C；（l）324 = 70, 当/7 = 14时，展开式中二项式系数最大的项是T3, .

9、.T3的系数= C；N*）7 27 = 3432。 练：在（a + b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少解：二项式的幕指数是偶数2久 则中间一项的二项式系数最大，即。” =7；,+11也就 +1是第+1项。练：在（守-点）”的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大，则- + 1 = 5,即7? = 8,所以展开式中常数项为第七项等 2于 C：（$=7例：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项系数最小的项解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4=-C 的系数最小，T严C；沏系

10、数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（扌+ 2兀）”的展开式中系数最大的项 解:由C； + C； + C： = 79,解出n = 12,假设心项最大，（*+2兀尸=（护（1 + 4炉4+亡4+2一久4、6丁4 廿1化简得至lj9.4r10.4,又()厂C1712-1 解得 f2(ll-r)r 4+1 n Ar+2CQ2r Cl2r+l,b +1 n 2(10-r)又0K10, . = 7,展开式中系数最大的项为7；=277 =15360%7.题型七:含有三项变两项；例：求当（疋+ 3兀+ 2）5的展开式中x的一次项的系数解法：（F+3jv + 2）（F + 2） + 3灯，匚产

11、C；X +2严（3疗，当且仅当厂=1时，+1的展开式中才有x的一次项，此时Tr+l=T2 = Cj（x2 + 2）43x,所以x得一 次项为C；C：2乜x它的系数为C；C：243 = 240。解法：(x2 + 3x+2)5 = (x+1)(兀+2)5 = (C5 + C4 + + C； )(C5 + Cx4 2 + + Q； 2)故展开式中含x的项为CC25 + C24 = 240.故展开式中x的系数为240.练：求式子（国+占-2）的常数项rl，设第厂+1项为常数项，则解：（|叶2），=（Tr+l = C；(-l)r|%r_r()f = (-1)6C；x(-2r,得62r = 0 = 3,/

12、.7；+1 = (-l)3C：=-20.题型八:两个二项式相乘； 例：求(1+2x)3(1-x)4展开式中，的系数.解:/ (1 + 2x)啲展开式的通项是C? (2x)m = C； 2m 丹，令 m + n = 2,贝彷=0 且 =2,m = 1 且 =l,/n = 2 且 =0,因此(1 + 2x)3 (1- x)4的展开式中X的系数等于 2 C： (-1)2 + C； 21 C； (-1)1 + C； 2p (-1) = -6 .尸展开式中的常数项.1mn解:（1+歩）6（1+ 尸展开式的通项为C；迈c;/练：己知(l + x+F)(x+A)的展开式中没有常数项,N沮2SV&则” =x解

13、:(X+N)”展开式的通项为C：*r.;vW = C：.x”7,通项分别与前面的三项相乘可得 X题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(X-V2)2006的二项展开式中，含渝奇次幕的项之和为S,当兀=励,S =.解:- V2)2006 =a0 + aLxl + a2x2 +4- + a2006x2006题型十:赋值法；例：设二项式(3嶺+丄)的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为$，若xp + s = 272,则”等于多少解:若(3/x + -)z, =a0 + aYx+a,x2 + + anxn ,有 P = aQ +aY + - +an,xS = C： + +C：； = 2”,令兀=1 得p = 4”,又 p+5 = 272，即 4” + 2 = 272(2”+17)(2”-16) = 0解得2” =16 或 2 =17(舍去)，.-.h = 4.练：若(3仮-十的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少解:令兀=1,则卜斤-卡)的展开式中各项系数之和为2=64,所以心6,贝IJ展开式的常数项为Cgg ()3 =-540.例：若(1一2兀严=0。+狀+加+唧+ + %产0G R),则今+令+箓的值为解：令X斗可得兔+今+舒.+耦=0,.冷+舒.+笋一。练: 若(x 2)5 = a5x5 +