辅助圆——重要的辅助线

1、辅助圆不太熟悉但很重要的辅助线添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果 一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，ABCD，ABACADp，BCq，求BD的长解析：以点A为圆心、AB为半径作A因为ABACAD，所以B、C、D三点在A上延长BA交A于点E，连结DE因为DCEB，所以弧ED弧BC，所以EDBCq在RtBDE中，根据勾股定理，得BD例2 如图， PAPB，APB2ACB，AC与PB交于点D，且PB5，PD3，求ADDC的值 解析：以点P为圆心、P为半径的作P因为PAPB，APB2A

2、CB，所以点、B、C在P上此时P的直径BE10，DE8，DB2，由相交弦定理，得ADDCDEDB16 二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为ABC边BC上的两点，且BD=CE，BAD=CAE，求证：AB=AC解析：作ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE因为BADCAE，所以BADDAECAE+DAE，即NADMAE因为BDMMAE，CENNAD，所以BDMCEN又BDCE，DMEN，所以BDMCEN，所以BC，即ABAC例4 如图，ABC中，BF、CE交于点D，BDCD，BDEA，求证：BECF 解析：作ABC的外接O，延长CE交O于G，连接BG因为GA，BDEA，所以

3、GBDE，所以BG=BD又BDCD，所以BGCD.又因为GCDF，GBEDCF，所以GBEDCF所以BECF例5 如图，在ABC中，ABAC，BAC100，B的平分线交AC于D，求证：BCBDAD解析：作ABD的外接圆交BC于E，连结DE因为BD是ABC的平分线，所以弧AD弧DE，所以ADDE在BDE中，DBE20，BED18010080，所以BDE80，所以BEBD在DEC中，EDC804040，所以ECDE所以BCBEECBDAD三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在ABC中，ABAC，D是边BC上的一点，且A，求BDDC的值解析：以点A为圆心、AB为半径作A，交直线AD于点

4、E、F，则点C在A上，DE，DF由相交弦定理，得BDDCDEDF2例7 如图，在ABC中，DABC，B的平分线BN交AD于M求证：（1）AMAN；（2）AB 2AN 2BMBN解析：（1）略；（2）由（1），得AMAN以点A为圆心、AM为半径作A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在A 上，且AEAFAN由割线定理，得BMBNBEBF(ABAE)(ABAF)(ABAN)(ABAN)AB 2AN 2，即AB 2AN 2BMBN四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，B90，设ABa，DCb，ADc，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，

5、使APPD？ 解析：以AD为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，当O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使APPD因为O的半径r，圆心O到直线BC的距离d所以，当dr，即abc时，在直线BC上存在点P，使APPD例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。解析：经过A、B、C三点作M，设M的半径为R，由正弦定理，得由此可见，当R取得最小值时，ACB取得最大值而当点M与x轴的相切于点C时，R取得最小值根据切割线定理，得OC2OBOA，所以OC4故当点C的坐标为 (4，0)时，ACB

6、取得最大值 例10 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且CPQ90，求线段CQ的取值范围解析：以CQ为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角当O与AB相切时，直径CQ最小由切线长定理，得APAC5，所以BP1358再根据切割线定理，得BP2BQBC，所以 BQ，CQ当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时综上所述，CQ12 : B+ h 9 g E I# n$ j 7 s; ?7 C: 2 Z1 T五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角

7、形的四个顶点共圆判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题例11 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FEDE解析：连接DB、DF因为CBF45，DBC45，所以DBF90又DEF90，所以D、E、B、F四点共圆，所以DFEDBE45，所以FEDE例12 如图等边PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边PQR怎样运动，点M为不动点解析：连接PM、AM、DM，因为M是QR的中点，所以PMQ90又PAQ90，所以A、Q、M、P四点共圆，所以MAPMQP60同理，MDP60所以MAD是等边三角形，即点M为不动点例13 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且OPB45，