4 2 2 三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲

1、实用标准文案 精彩文档 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高2? 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面

2、积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12:SSab? 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS?； 反之，如果ACDBCDSS?，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 【例 1】 你有多少种方法

3、将任意一个三角形分成： 3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形 【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ DCBA例题精讲 三角形等高模型与鸟头模型 CDBA实用标准文案 精彩文档 【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积

4、 【例 5】 长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD?厘米，3DE?厘米求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ ABCDE FHGFEDCB AHGFEDCB AHGFEDCB A(H)GFEDCBA实用标准文案 精彩文档 【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 【例 9】 (

5、第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中3AEAB?，2BDBC?，三角形BDE 的面积是多少？ 【例 10】 (2008年四中考题)如右图，ADDB?，AEEFFC?，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC?的面积是 平方厘米 【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位 【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积 【例 13】 如图，三角形ABC中，2DCBD?，3CEAE?，三角形ADE的面

6、积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？ EDCB AFDECB AABECDDCEB AFEDCB AFEGDCB A48cm224cm236cm212cm 2MNDCBA12cm236cm224cm248cm2实用标准文案 精彩文档 【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26那么三角形DBE的面积是 【例 15】 (第四届小数报数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，

7、它们的差是5分米求梯形ABCD的面积 【例 16】 图中AOB的面积为215cm，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积 【解析】 在 ABD中，因为215cmAOBS ?，且3OBOD?，所以有235cmAODAOBSS? ? 因为 ABD和 ACD等底等高，所以有ABDACDSS ? 从而215cmOCDS ?，在 BCD中，2345cmBOCOCDSS? ?，所以梯形面积：2155154580cm?（） 【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形 【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角

8、形面积是221cm问：长方形的面积是多少平方厘米？ EDCBAEDCB ADCB AOCBD ADCBA实用标准文案 精彩文档 【例 19】 O是长方形ABCD内一点，已知OBC?的面积是25cm，OAB?的面积是22cm，求OBD?的面积是多少？ 【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？ 【例 21】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC?的面积是15，求阴影BPD?的面积 【例 22】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB?的面积为16

9、，等腰DOC?的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC?的面积是多少？ 【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG? 的面积为215cm，而BCG?的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD的面积是 2cm 红绿黄 红PODCB AABCDEFGH PPDCB AODCBA实用标准文案 精彩文档 【例 24】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 【例 25】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2长方形EF

10、GH的面积为 【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积 【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米 【例 28】 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积 ABCDEF GGFEDCB AHGFEDCB AAEBFC D实用标准文案 精彩文档 【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形

11、ABGEF的面积 【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC?，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积 【例 31】 如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？ 【例 32】 如图，在平行四边形ABCD中，BEEC?，2CFFD?求阴影面积与空白面积的比 【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且3AEEC?，O为DC与BE的交

12、点若CEO?的面积为a平方厘米，BDO? 的KOQPFCB AHGFEDCB AABCDEF甲乙 丙FEDCB AHABCDEFG实用标准文案 精彩文档 面积为b平方厘米且ba?是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是 平方厘米 【例 34】 如图，在梯形ABCD中，:4:3ADBE?，:2:3BEEC?，且BOE?的面积比AOD?的面积小10平方厘米梯形ABCD的面积是 平方厘米 【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？ 【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形将它的短直角边对

13、折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 【例 37】 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE?，F是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC?,且2ADDE?则两块地ACF和CFB的面积比是_ EbaODCB AOABCD EABCDE4935 13GFEDCB AFEDCBA实用标准文案 精彩文档 【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC?，21AC?，A

14、BC?被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK? 【例 40】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形HBC) 【例 41】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD?，7DE?，15EF?，6FG?，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 【例 42】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是 【例 43】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的

15、阴影部分的面积之和为70，8AB?，15AD?，四边形EFGO的面积为 KJIHGFEDCB A丙乙甲HNMJIFEDCB AGFEDCB AHGABCDEF实用标准文案 精彩文档 【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？ 【例 45】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm 【例 46】 如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3求长方形ABCD的面积 【例 47】 (2008年第二届两岸四

16、地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，67AB?，30BC?E、F分别是ABBC、边上的两点，49BEBF? ?那么，三角形DEF面积的最小值是 【例 48】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，4BLDM?、5 BKDN?，那么阴影部分的面积是 OGFDCB A6523NMQPDCB A336523NMQPDCB A1cm4 cmABCDE FABCDEF实用标准文案 精彩文档 【例 49】 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比 【例 50】 如图，

17、四边形ABCD中，:3:2:1DEEFFC?，:3:2:1BGGHAH?，:1:2ADBC?，已知四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积? 【例 51】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LPMQNR?，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL? 这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程 【例 52】 如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的23，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三角形BMF、三

18、角形NFC的面积分别为14、20、12求三角形NDE的面积 PNLKDBBCDLM NSRQPHGFEDCB AHGFEDCB AABCNMQRPLXYZ实用标准文案 精彩文档 【例 53】 如图，已知ABCD是梯形，ADBC，:1:2ADBC?，:1:3AOFDOESS?，224cmBEFS?，求AOF?的面积 【例 54】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点如果ASM?、MTB?与DSN?的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共

19、角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,DE分别是,ABAC上的点如图 (或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则:():()ABCADESSABACADAE? 图 图 OFDECB AMNTSDCB AEDCB AEDCBA实用标准文案 精彩文档 【例 55】 如图在ABC中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB?，:4:7AEAC?，16ADES?平方厘米，求ABC的面积 【例 56】 如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD?， :3:2AEEC?，12ADES?平方厘米，求ABC的面积 【例 57】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFCF?，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【例 58】 已知DEF的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF?，求ABC的面积 【例 59】 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5ABBE?，:3:2BCCD?，三角形BDE的面积是多少？ 【例 60】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，13AEAC?，13CFBC?三角形DEF的面