（完整版）时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程

1、本word文档可编辑可修改时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型第十章协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列 的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型 的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。10.1向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论n 1向量之间 的动态交互作用。假设一个 p阶向量自回归模型可以表示为VAR( p)：Yt c Yt 1 Y t 2 Y t ptp(10.1)12其中 ,n n阶系数矩阵，是是白噪声向量，满足：t1p, s tE(t )s0, s t其

2、中是 n n阶正定矩阵。可以利用分量形式将上述方程组 的第一个方程表示为：(1)11(1)12( 1)1ny1tc1y1, t 1y1,t 2y2,t 1yn, t 1( 2)11(2)12( 2)1ny2, t 2yn, t 2(10.2)( p)111(2p) y2,t( p)1ny1,tppyn, tp1t由此可见，在 VAR( p)模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量 的p阶自回归 的形式。此时与一元情形 的一个显著 的不同是，每个方程 的残差项之间可能是相关 的。利用滞后算子形式，可以将 VAR( p)模型表示成为：I n L L2 L yt ctp(10.3)12p其中

3、滞后算子多项式 的元素可以表示成为：(1)ij(2)ij( p)Lpij ( L)ijLL2ij其中1,i j，0, i jijij定义 10.1如果一个向量过程 的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t无关：E(y ) E(y y )和tttj命题 10.1如果一个向量过程满足 VAR( p)模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程 的性质有：(1)该过程 的均值向量可以表示成为：1 I n2 c(10.4)(10.5)1p(2) VAR( p)模型可以表示成为中心化形式：(y ) (yt 1) (yt ) (ytp p)tt12210.2向量自回归方

4、程 的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通 的VAR (p)模型表示成为 VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶 的向量为：np 1(y -, y -, , yt-p+1 -)t t-1Vnp 1 ( ,0, ,0)t1 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型1231pI n00000Fnp np0I n00000I n0利用上述表示，可以将VAR (p)模型表示成为紧凑形式为：t Ft 1 vt(10.6)此时向量误差 的协方差矩阵为：Q, t sE(v v s)t0, t s此处协方差矩阵为： 0 00 0 00

5、0 00 00 00 0Q np np0 0 00 0对方程 (10.6)进行叠代，可以得到：2F vts 1 sF vt 1 Ftt s vtFv tss 1s 2显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定 的误差过程 的影响一定要随着时间消失，时矩阵 F 的所有特征根都要落在单位圆内。这类似 的命题有：命题 10.2矩阵 F 的特征根满足下列方程：pp 1p 2|I n12 | 0p(10.7)与此对应， VAR (p)模型是向量协方差平稳过程 的条件是下述方程 的特征根全部落在单位圆外：|I n z z2 z | 0p12p对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它 的协方差性质

6、。例如，时间间隔为 j 的协方差矩阵为： E(y -)(y - ) (10.8)jttj但是需要注意 的是，此时不满足等式：j，正确 的对应关系为：j jj针对协方差平稳 的 VAR (p)模型，假设：2 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型y -ty -t 1 E() E(y -) , (y -) , ,( yt-p+1 - ) t t-1ttyt-p 1(10.9)01p 110p2p 1p 20进一步可以得到：E() E(Ft 1 v )(Ft 1 v ) t tttFE()F Ev vtttt因此有： FF Q(10.10)上述公式建立了向量协方差之间 的关

7、系。10.3向量自回归模型 的极大似然估计和假设检验显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测 的，由于 Sims(1980)做出了具有影响性 的研究，使得VAR模型在进行经济系统 的动态分析中变得十分流VAR模型 的估计问题。行。下面我们主要介绍没有限制条件 的1.向量自回归 的条件似然函数假设 n 1维向量Yp阶高斯向量自回归模型：满足tYt c Yt 1 Y t 2 Y t ptp(10.11)12其中 , n n阶系数矩阵，是是高斯噪声向量，满足：1ptt N(0,)上述模型估计类似于单变量AR模型。2.似然比检验对于 VAR模型而言，检验模型 的自回归阶数 的假

8、设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型 的原假设和备选假设为：H：p p；H：p p1 p0(10.12)000此时 的似然比统计量为：) Tlog | ? | log | |?12(s)LR 2(1002s n ( p p0)1这里 的 s是原假设 的限制参数个数，此时10.4二元变量 的 Granger因果关系检验可以利用向量自回归模型处理 的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。这时我们需要描述二元变量之间 的关系。这种方法最早由 Granger (1969)提出，通过3 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型Sims (1972)

9、的应用使其流行起来。1.二元变量 Granger因果性 的定义考虑两个单变量 x y，我们需要解决 的问题是如何判断ytx。如果t和是否有助于预测ttyt无助于预测 x，我们则称 y对 x没有显著 的 Granger因果影响 ( y does not Granger-causettttxt )。我们可以更为正式地描述这样 的关系：如果对所有 的 s 0，基于 (x , x , )预测 xt s 的均方误差与使用 (x , x , )和tt 1tt 1( y , y , )预测 x 的均方误差是相同 的，则称 y没有对 x产生 Granger因果影响。tt 1t stt如果我们仅仅考虑线性约束，

10、则yt没有对 产生 Granger因果影响 的条件为：xt对所有 s 0，有：?MSEE(x | x , x , ) MSEE(x | x , x , ; y , y , )(10.13)t stt 1t stt 1tt 1上述表达式还有一个等价 的说法，如果上式成立，则称 x在时间序列 的意义上相对于tyt是外生 的。这样 的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称 y对于未来 的x不具有线性信息性。t t最早 Granger提出如此定义 的原因是，如果一个事件Y是另外一个事件 X 的原因 的话，那么事件 Y应该先于事件 X发生。虽然从哲学角度这样 的关系可能是对 的，但是在实践中如何检验这样

11、 的关系则是艰难 的。2. Granger因果性 的另一种解释在描述二元变量 x y 的 VAR模型中，可以利用回归系数矩阵来说明和 之间 的x yt t和ttGranger因果关系。命题 10.3如果在 x y 的 VAR模型中，对所有 j，系数矩阵都是下三角矩阵，j和tt即：(1)11(2)11xtytc0 xt 10 xt 21(1)21(1)(2)21(2)c2yt 1yt 22222(10.14)( p)11xt0p1t( p)21( p)22ytp2t证明：根据整个系统 的第一行可以知道，关于xt 的最优一阶段预测仅仅依赖自身 的滞后值，而不依赖 y 的滞后值：tE?(x | x

12、, x , ; y , y , ) c1(1)xt(2)xt 1( p)xt11t 1tt 1tt 11111p 1进一步，可以得到：(1)(2)( p)xt11xt 2c111xt 111xtp 21, t 2根据投影 的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前s 0阶段 的预测都仅仅依赖 (x , x , )。tt 1Sims(1972)给出了 Granger因果关系 的另外一种通俗 的解释，可以归纳为下面 的命题：命题 10.4考虑 ytx 的过去、现在和将来值 的投影：t基于yt cb xtjd xtj(10.15)jjtj 0j 14 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳

13、向量过程和向量自回归模型这里 b d均是母体投影系数，即满足：和jjt() 0对所有和， E xt则 yx产生 Grangert没有对因果影响 的充分必要条件为：td 0 j 1,2,，(10.16)j这个命题说明，如果 ytxtx值对解释当期 的tyt没有对产生 Granger因果影响，则未来 的没有任何帮助。3. Granger因果性 的计量检验上面我们给出了三种 Granger因果关系 的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。其中最为简单也可能是最好 的方法是在VAR模型中检验系数约束。为了进行如此检验，我们利用 OLS对下述方程进行估计：xt c1x1 t 1xt 22pxt p(

14、10.17)1yt 12yt 2pytput我们对下面 的原假设进行F检验：H：0012p这里进行 F检验 的一种办法是计算回归方程(10.17) 的残差平方和 (我们需要 T p个样本 )：Tu?t2RSS1(10.18)(10.19)(10.20)t 1在原假设成立下，我们计算下面OLS回归 的残差平方和：xt c01xt 12xt 2xetp tp对应 的残差平方和为：T2?etRSS0t 1此时定义检验统计量为：(RSS RSS) / p01S1(10.21)RSS /(T 2p 1)1如果该统计量大于 F ( p,T 2p 1)分布 的 5%临界值，则我们拒绝“ ytx产生t没有对G

15、ranger因果影响” 的原假设；这就是说，当统计量S1充分大以后，我们将得“ y对 x产tt生 Granger因果影响” 的结论。显然，对于具有固定回归因子和残差高斯分布 的假设下，上述统计量具有确切 的F分布。但是，在自回归方程中由于解释变量具有相依性，因此这些分布性质则是渐近成立 的。因此，一个等价 的渐近检验统计量为：T (RSS RSS1)0S2(10.22)RSS12如果该统计量大于(p)分布 的 5%临界值，则我们拒绝“yxt产生 Granger没有对t因果影响” 的原假设；这就是说，当统计量 S充分大以后，我们将得“ y x产生 Granger对2tt因果影响” 的结论。显然，

16、还有多种 Granger因果关系 的检验方法，但大都不具有普遍性。5 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型4.解释 Granger因果关系检验显然，什么是“ Granger因果性”与“因果关系”标准含义之间 的关联，我们可以通过一些例子来加以说明。例 10.1 Granger因果关系检验与前瞻性行为Ptt 1该投资者可以获得红利假设投资者在时刻 t以价格购买一股股票，则在时刻Dt 1Pt 1r(表示为 t 1)满足：，并以价格出售该股票。该股票 的事后收益率(1 r )P P Dt 1(10.23)(10.24)t 1tt 1如果任何时期 的股票预期收益率总是r 的

17、话，则简单 的股票价格公式可以表示为：(1 r)P E P Dt 1ttt 1这个简单定价公式蕴涵着有效市场假说(efficient markets hypothesis)。如果具有边界条件 的话，可以得到下面公式：j1Pt EtDt(10.25)j1 rj 0按照这样 的理论，则股票价格中蕴涵着未来红利现值 的最优预测。如果这种预测是基于比过去红利更多 的信息基础上，利产生 Granger因果性。因为投资者试图预测红利中 的变动，因此导致股票价格对红为了简单地说明这一点，假设：D d utut 1 vt(10.26)t 的投资者知tu vGaussian白噪声，d是红利 的均值。假设时刻这里

18、和是相互独立 的ttu ,u , v ,v , ，则基于这些信息对 Dt道 的信息有 的最优预测为：和tt 1dtt 1ju , j 1tE (D )t(10.27)tjd,j 2,3,将上述公式代入到方程 (10.25)，可以得到股票价格为：dutPt(10.28)r 1 r显然，在这个例子中，股票价格是白噪声，因此无论以滞后股票价格或者红利价格来为基础进行预测。因此，没有任何时间序列可以对股票价格产生Granger因果影响。另一方面，我们可以从股票价格中将u恢复出来：t 1d(1 r )ut 1(1 r)Pt 1r注意到 u中包含着 D , D , 中没有 的关于D 的信息，因此股票价格将

19、对红利tt 1t 1t 2产生 Granger因果影响，虽然红利无法Granger影响到股票价格。股票价格和红利序列 的二元VAR模型可以表示为：Ptd /rd / r0 0 Pt 1u /(1 r)t(10.29)Dt1 r 0 Dt 1u vtt很有趣 的事情是，在这个例子中，变量之间 的影响关系与真实关系正好相反。此时，红利变量无法对股票价格产生Granger因果性，虽然投资者对红利 的察觉是股票价格 的唯一确Granger因果性，虽然现实中股票 的市场变化定因素；另一方面，股票价格却对红利产生了6 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型对红利过程没有作用效应。

20、一般来说，象股票和利率这些反映出前瞻性行为 的时间序列，经常可以作为一些重要经济时间序列 的优秀和判断或预期因子。显然，这并不意味着这些时间序列导致GNP或者通GNP或通货膨胀率变化方向 的最好 的市场信息。对这些时间序列 的 Granger因果性 的检验有助于评价有效市场观点或者探GNP或通货膨胀，而不是用于推断因果关系 的方向。货膨胀率上升或下降。与此相反，这些序列 的值反映了判断讨是否市场关注或者能够预测例 10.2检验强经济计量外生性 (Testing for Strict Econometric Exogeneity )二次世界大战后美国经济衰退大都以原油价格 的急剧上涨为开始 的，

21、油危机或者石油冲击是衰退 的原因呢？这是不是意味着石一种可能性是这种相关性是巧合。即使生成这些时间序列 的机制是互不相关 的，也可能出现石油冲击与衰退在类似 的时间上同时出现。为了检验这种可能性，我们检验“石油价格对 GNP没有 Granger因果性”，但是，数据检验拒绝了这个原假设，这意味着“石油价格有助于推断 GNP 的变化”。为了对这个因果关系给出真正意义上 的因果关系 的解释，我们需要建立这样 的判断：石油价格 的提高并不反映其他宏观经济因素 的影响，而这些因素确实是经济衰退 的真正原因。主要石油价格 的提高大都伴随着显著 的历史事件，例如Suez crisis (1956-1957)

22、、 Iraqsinvasion of Kuwait(1990)等，显然这些事件完全有美国经济以外 的因素造成 的，而且是完全不可推断 的。如果这个观点正确 的话，那么石油价格和GNP之间 的历史相关性就具有因果关系上 的解释。这个观点具有一个值得批驳 的启示，那就是没有时间序列能够 Granger影响到石油价格，事实上，在经验研究上，很少能够找到宏观时间序列能够有助于推断石油冲击发生 的时点。例 10.3缺损信息 的作用 (Role of Omitted Information )考虑到下面一个含有三个变量 的系统方程(暂时略 )。10.5具有限制 的向量自回归模型 的极大似然估计我们在前面已

23、经介绍没有限制 的向量自回归模型 的极大似然估计和假设检验问题。在没有限制 的模型中，每个方程 的具有相同 的解释变量，即常数项、系统中所有变量 的滞后变量。虽然我们介绍了线性约束条件下如何计算Wald统计量，但是我们没有介绍如何估计具有限制性条件 的 VAR模型估计。下面，我们就开始介绍限制VAR模型 的估计。1.多维情形下 的 Granger因果性作为估计中感兴趣 的限制性系统 的一个例子，我们前面分析 的 Granger因果性 的向量推广。假设向量 VAR模型中 的变量可以分为两组，一组是一个n1 1维向量 y1t，另一组是一个 n 1维向量 y 2t2，这时 VAR模型可以表示为：y1

24、t c1 A x1t A x2t1t(10.30)(10.31)12y2t c2 B x1t B x2t2t121这里 x1t是 n1 p 1维向量，包含 y1t 的滞后值； x2t是 n p 1维向量，包含 y2t 的滞后值；2具体表示为：7 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型y1,t 1y2, t 1y1, t2y2, t2x1t， x2ty1,tpy2, tp模型中 的其余符号表示系数矩阵。模型中利用变量 y1t表示 的一组变量在时间序列意义上相对于利用变量y2t表示 的另外一组变量是“块外生” 的 (block e-exogenous)是指， y2t中 的

25、所有元素在改进对 y1t基于所有自身滞后值进行预测方面没有任何帮助。命题 10.5如果在模型系统 (10.30)-(10.31)中，矩阵 A 2 0，则变量 y1t相对于变量 y2t是块外生 的。2.具有限制性约束 的极大似然估计此时 的极大似然估计是通过限制性条件对极大似然函数 的影响， 的，具体内容和过程参见教科书。通过矩阵分块运算实现10.6 VAR模型 的冲击反应函数The Impulse-Response Function与一元情形类似，协方差平稳过程可以表示为向量无限移动平均过程。因此，VAR模型可以表示为向量 MA( )形式：y t 1 t 2(10.32)tt12因此，系数矩阵

26、具有如下解释：ytss(10.33)t这个公式表明，当所有时期其余扰动都保持常数不变时，t时刻第 j个变量扰动 的一jt个单位 的增加对 t s时刻变量 yi , t s 的影响结果可以由 的第 i行、第 j列元素给出。s如果我们同时使得t、 ,、第2n个元素改 的第一个元素改变、第二个元素改变1变yt s 的综合作用效果为：yt yt，则这些变化对nytsssyts(10.34)s12n1 t2 tn t这里 ( , , , )。12n我们在前面已经给出了矩阵 的一些解析特征。获得这些动态反应乘数 的一个简便方s法是通过模拟进行计算。为了实现这种模拟，我们假设yt 1 yty t0，然后假设

27、2p1，t 的其余元素都是零，然后我们在系统：jtYt c Yt 1 Y t 2 Y t ptp(10.1)12中对时期 t，t 1 t 2等进行计算，其中选取，c， ,，都为零。此时模拟得t 1t 2到 的向量 y t s对应着矩阵s 的第 j列。以此类推，矩阵 的所有各列都可以得到。s将矩阵 的第 i行、第 j列元素：syi , tsj t相对于时间间隔 s作图，这个函数和这个图形被称为冲击反应函数(impulse-responsefunction)，它表示当时刻 t或之前所有变量保持不变 的情形下，yi , t s对于出现在 y中 的一j t8 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向

28、量过程和向量自回归模型次性冲击 (one-time)冲击 的反应。那么，是否在某种意义上这种反应乘数度量了y相对于 的作用原因呢？上面关于yijGranger因果关系 的讨论告诉我们要对此推断保持警觉。一种重要 的改进是获得正交冲击反应函数，此时 的冲击反应更为合理一些。注意到简化式误差t是正定矩阵，因为任何正定矩阵均可以唯一分解为： 的方差矩阵 ADA(10.35)其中 A是主对角线元素均为 1 的下三角矩阵， D是主对角线元素均是正值元素 的对角矩阵。利用上述分解 的矩阵 A，我们可以构造一个新 的向量u：t1u At(10.36)t如此向量 的各个分量之间是互不相关 的，也可以作为结构式

29、冲击，也就是该冲击仅仅作用在单独 的变量上：111111E(u u ) A E()A A A A ADA A D(10.37)ttt t我们可以通过样本估计和模拟获得上述分解矩阵 的估计。命题 10.6下述冲击反应公式成立：E?(y |y , y , ,y , xt 1)t sjtj 1,t1t a js(10.38)y jt其中 aA是矩阵 的第 j列。j上述冲击反应相对于冲击间隔s 作图，则称之为正交冲击反应函数，它表示预测相对于新信息 的反应。10.7 VAR模型 的方差分解Variance Decomposition利用 VAR模型 的预测公式，我们可以知道预测误差为：yty?tt s

30、 1t s 2s 1 t 1(10.39)(10.40)ss|tt s12因此，这个 s阶段超前 的预测 的均方误差为：MSE(y? ) E( yt s y? )(yt s y? ) ts|tt s|tt s|t2s 1s 1112这里： E(t)t假设我们具有正交误差向量u (u , u , ,u )，我们考虑这个正交扰动对上述方差 的t1t2tnt贡献。这里正交误差向量满足：t Au a u1t a u2ta untn(10.41)t12这里 aA表示矩阵 的第列。注意到 u jt之间是不相关 的，则有： E() a a Var (u ) a a Var (u )jja a Var(u )

31、(10.42)(10.43)tt111t222tnnnt因此，预测 的均方误差为：nMSE(y? )Var (u ) a a j a a a a2 a as 1s 1 j jts|tjtj1jj12jjj 1具有这个表达式以后，我们可以计算第个正交扰动对这个预测误差方差 的贡献为：Var (u ) a a j a a a a2 a as 1(10.44)jtj1jj12jjs 1jj9 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型10.7向量自回归和结构经济计量模型Econometric Models1.估计动态结构模型中 的缺欠Vector Autoregressions

32、 and Structural我们上面介绍 的向量自回归模型表示n个经济变量之间 的动态相关性。此时，任何关于这些变量之间可能存在 的理论关联都没有被使用到，因此也无法利用它检验一些经济理论关系。因此，在本节中我们考虑VAR模型与结构经济计量模型之间 的联系。假设我们考虑货币需求函数，此时货币需求是收入和利率 的函数，以前使用 的结构模型为：M PttY1 tI t(M t 1 P ) vtDt 1(10.45)023MPtYt这里是实际 GNP是公众持有 的名义货币余额 的对数，是累积价格水平 的对数，tI 的对数，是名义利率。参数和表示收入和利率对货币持有 的影响效果。2收入变化时，t1部

33、分货币持有对此产生立即反应，部分反应发生在下一个阶段。参数体现了这种部分调3整。扰动 vtD表示除了收入和利率以外影响货币需求 的因素 的作用。一般情形下，此时方程 的估计需要假设误差具有一阶自相关性，这意味着：vtDvDutD(10.46)t 1Du这里(10.45)进行调整，可以得到：是白噪声序列。利用这个方程对方程tM PttY2Yt 1I4I01 t3 tt 1(10.47)6(M t 2 P ) utDt 25( Mt 1P )t 1参数之间 的对应关系可以通过滞后算子运算获得。显然这个方程比原来 的方程 的参数( , , , , , )多出了一个参数，现在 的参数向量为( , ,

34、, , , , )。0 1 2 3 4 5 601234根据定义，扰动 vtD代表了研究者没有确定理论基础 的影响货币需求 的因素，因此，对于该扰动指定 的动态结构，例如方程(10.46)，人们也没有充分 的信心。例如，似乎没有清楚 的理论来支持排除下面关于该扰动 的假设：vtDvDDv2 t 2utD(10.48)1 t 1vtD与收入和利率 的滞后项是相关 的。还有其他一些假设，例如也可以假设利用方程 (10.45)，我们可以获得货币需求相对于收入 的动态乘数与货币需求相对于名义利率 的动态乘数之间是成正比 的：(M t s Pt s)s3(10.49)(10.50)13Yt(M t s

35、P )t ss3I t显然，在附加这样 的假设之前，一个好 的主意是先检验这个假设，然后发现正确后再加以应用。这说明理论假设即使正确，也应该从数据和模型 的检验中发现和确认。简而言之，形如方程 (10.45)和(10.46) 的形式，人们利用经济理论对模型形式给出了一些限制，但是这些限制并没有令人满足 的经济理论或者基础， 因此，在使用这里简化或者限制 的模型之前，最好 的方法是检验更为一般 的模型，简单 的形式。例如一般形式 的模型可以指定为：看看是否从一般 的模型可以推导出这样10 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型(0)12(0)Yt13(0)14M t k

36、1PtI t11(1)M t 112(1)Pt 1(1)13t 114(1) I t 1Y(10.51)11(2) M t(2)13(2) Yt 2(2)PI t212t 114211( p)M tp( p )12Ptp( p)13Ytp( p)14I tputD(0)13(0)表示当前收入和14类似于方程 (10.45)，这里 的方程 的指定被称为结构式方程。和utD表示除了通货膨胀、名义收入和利率以外因素对货币当前利率对预期货币持有 的影响。需求 的影响因素。这个方程显然多方面地推广了前面 的“简化式方程”。显然，由于联立方程偏差 的存在 (simultaneous equations b

37、ias)，我们无法利用普通最小二乘估计估计这个方程。这个方程 的 OLS估计归纳了货币需求、价格水平、收入和利率之间 的关联性。公众货币需求 的调整是这些变量相关 的一个原因，个阶段中央银行都会将利率调整到与政策目标相容 的水平，入、利率、价格水平和货币供给：但并不是唯一原因。例如，每而政策目标依赖当前和滞后 的收(0)41(0)42(0)43I t k4M tPtYt41(1)M t 142(1)Pt 143(1)t 1(1)44I t 1Y(10.52)(2)(2)(2)(2)M t242Pt 143Yt 244I t241( p)41( p )42( p)43( p)44utCM tpP

38、tpYtpI tp(0)例如，这里描述了当前价格水平对利率 的作用，而利率则是重要银行试图达到 的42政策目标。扰动 utCutD异乎描述了除了解释变量以外 的政策变化 的因素。如果货币需求扰动(0)寻常地大，则导致 M也异乎寻常地大，如果t0，则导致 I也异乎寻常地大，在这种t41情形下，将出现 utD与方程中 的解释变量I正相关 的现象，这意味着无法使用tOLS估计方程。显然，无论是中央银行政策还是 I 的内生性，并不是导致联立方程偏差 的唯一原因。t货币需求扰动和中央银行 的政策变化也对累积产出和价格水平产生影响，因此方程中 的产出 Yt和价格 P也是内生 的。例如，产出方程可以表示为：

39、t(0)31(0)32(0)34Yt k3M tPtPI t31(1)M t 1(1)32t 1(1)33(1)34I t 1Yt 1(10.53)(2)31(2)32(2)33(2)34M t2Pt 1Yt 2I t2( p)31( p )32( p)33( p)34utAM tpPtpYtpI tp这里 utA代表影响累积需求 的其他因素。上述解释 的最终结论是，在结构式方程中，所有当期解释变量都应该被当作是内生 的。2.动态结构方程与 VAR模型之间 的联系上述解释 的例子可以表示成为下面 的向量形式：B y = k +B yt 1 B yt 2B ytp put(10.54)0t12这

40、里：DSACy = (M , P,Y, I )， u (u ,u ,u ,u )， k (k ,k ,k ,k4)tttttttttt12311 时间序列分析方法讲义第 10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型(0)(0)(0)1121314(0)21(0)23(0)241B =0(0)(0)(0)34131(0)4132(0)42(0)431在这样 的假设下，我们可以假设滞后阶数足够大，以至于误差u满足白噪声过程。如t果不是这样，假设误差过程服从自回归形式：u Fu1 t 1 F ut 2F ut r etr(10.55)t2这样在原来方程两段乘以上述滞后算子多项式，就可以得到一个残差过程服

41、从白噪声 的( p r )阶 的自回归过程。对结构式方程两端乘以 B01，可以得到：y = c + y + y t 2 ytpt(10.56)t1t 12p这里：111c B k，s B B， B u， s 1,2, p00st0t如果假设结构式方程充分参数化以后，则误差向量u是向量白噪声过程，因此对应地，t也是向量白噪声过程。t结论： VAR模型可以被认为是一般动态结构结构模型 的简化式方程。3.解释冲击反应函数我们前面已经计算出冲击反应函数为：yts， s 1,2,j t这个冲击反应函数度量了发生在一个变量上 的扰动对系统中其他变量未来取值 的影响。按照模型结构式与简化式之间 的关系，例如，它可能是如下形式：VAR模型中 的扰动是结构式扰动 的线性组合。utjt0.3utD0.6utS0.1utA0.5utC1t在这种情况下，如果公众持有 的现金大于使用VAR模型预测 的水平 (是正 的 )，这可1t能是因为公众对现金需求比通常情形下高，其原因是它与当前 的收入和利率水平相关(也即utD是正 的 )；还有其他一些原因导致误差之间 的线性关联。与此对应，如果我们能够计算：ytutCs， s 1,2,这个函数数值将具有