《几何与代数》科学出版社第四章n维向量.ppt

1、几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,线 性 代 数,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间 的关系,向量间 的关系,矩阵的性质和运算,行列式 的运算,核心工具初等变换,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,线性方程组的各种形式,1) 一般形式,2) 矩阵形式,3) 向量形式,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,第三章 线性方程组,2. 线性方程组的相容性,定理. 设ARmn, bRm, 则,1)当r(A, b) = r(A)+1时, Ax = b无解; (2) 当r(A, b)

2、= r(A) = n时, Ax = b有唯一解; (3) 当r(A, b) = r(A) n时, Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,推论. 设ARmn, 则,1) 当r(A) = n时, Ax = 只有零解; (2) 当r(A) n时, Ax = 有非零解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,3.1 线性方程组和高斯消元法,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,命题. 设ARmn, bRm, 则,1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b) = r(A) n

3、Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,推论. 设ARmn, 则,1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,命题. 设ARmn, bRm, 则,1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,Ax = b 有解,b 能由列向量组 I:A1,An 线性表示,向量

4、组 I:A1,An与向量组II:A1,An,b等价,r(A) = r(A, b,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Ax = b 有解,b 能由列向量组 I:A1,An 线性表示,向量组 I:A1,An与向量组II:A1,An,b等价,r(A) = r(A, b,命题. 设ARmn, bRm, 则,1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量,Ax = b 有唯

5、一解,b 能由列向量组A1,An线性表示, 表示方式唯一,r(A) = r(A, b)，且A1,An线性无关,r(A) = r(A, b) = n,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,Ax = 只有零解,A1,An线性无关,r(A) = r(A1,An) = n,只有零解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2)

6、r(A) n Ax = 有非零解,Ax = 有非零解,A1,An线性相关,有非零解,r(A) = r(A1,An) n,Ax = 只有零解,A1,An线性无关,r(A) = r(A1,An) = n,只有零解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解,若有非零解, 这些解具有哪些性质,也是 Ax=0 的解,由 是Ax=0的解, 即,性质1,也是 Ax = 0 的解,性质2,由 是Ax = 0的解, 即,k,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn,

7、则,1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解,若有非零解, 这些解具有哪些性质,若Ax = 0 有非零解, 则这些解的任意线性组合仍是解,K(A) = xRn| Ax =,齐次线性方程组的解空间,即A的核空间或零空间,若有非零解, 如何找到所有的(无穷多个)解,只要找到向量空间K(A)的一个基,就能表示所有解,基础解系,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,二. 齐次线性方程组的基础解系,1. Ax = 0的一组解1, 2, s称为一个基础解系,1) 1, 2, , s 线性无关,2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , s线性表示

8、,那么该方程组的通解就可表示成 x = k11 +k22+kss, 其中k1, k2, ,ks为常数. 这种形式的通解称为Ax =0的结构式通解,K(A) = xRn | Ax,齐次线性方程组的解空间,注1：基础解系是Ax = 0解向量组的极大无关组， 所以基础解系不唯一，且任两个基础解系等价,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,向量组的极大无关组,i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,命题：如果r(1,2,s)= r, 则1,2,s中任意 r个线性无关的向量均为1,2,s的极大无关组,极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价， 且含有相同个数(

9、秩)的向量,向量空间V的基为向量组V中的极大无关组,V的维数为向量组的秩,齐次线性方程组的解空间V=xRn| Ax=0的基础解系为向量组V的极大无关组, V的维数为nr(A,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量,x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + + c1nxn,x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + + c2nxn,xr = cr,r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + + crnxn,证明,B为行最简形矩阵,r(B) = r(A) = r,Bx = 0有 n

10、r 个自由未知量,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,增维也 无关,xr+11 + xr+2 2 + + xn n-r,1 , 2 , , n-r 线性无关,任意解x,可由其线性表示,基础解系,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,为一基 础解系,c1,r+1 cr,r+1 1 0 0,c1,r+2 cr,r+2 0 1 0,c1n crn 0 0 1,含有nr个解向量,设1, 2, t为任一基础解系,则1, 2, t线性无关，且与1, 2 , nr等价,

11、t =nr,即任一基础解系中均含有nr个解向量,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,性质1. 与基础解系等价的线性无关向量组也 是基础解系,性质2. 若ARmn, r(A) = r, 则Ax = 的任意nr 个线性无关的解向量都是Ax = 的基础解系,3. 解Amn x = 的一般步骤,A,行 阶 梯 阵,r(A) n,行 最 简 形,取非主列对应的变量为自由未知量;令其为e1,en-r, 求得通解,注: 自由未知量的选取不是唯一，只要取定 A中r(A)个线性无关的

12、列，其余列对应变量可为自由变量,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,例1. 求,的基础解系与通解,解,该方程组的基础解系可取为,通解为,1,0,1/5,4/5,取x2, x4为自由未知量,自由变量不能取x3, x4,因不能任意取值， x1, x2也不能表示,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,例2.求解齐次线性方程组Ax = 0，即T x = 0,若向量Rn, 0, A=T, 求r(A)= , |A|=,1,0,基础解系中有n-1个解,设,是Ax = 0 的解,证明,可由Ax = 0的基础解系线性表示,例3. ARsn, BRnt. 若AB=0, 则 r(A)+r(B)

13、 n,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示,构造Albrecht Drer的数字魔方,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示,随心所欲构造Drer魔方,dij,所得的线性方程组有 个方程？ 个变量,16,23,如何求解该线性方程组呢,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,随心所欲构造Drer魔方,dij,Ar D = 0,16维变量y,第四章 n维向量,4.5

14、线性方程组的解的结构,A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) C1=rref(C) %求行最简形 C1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15、 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1

16、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0

17、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,随心所欲构造Drer魔方,dij,Ar D = 0,16维变量y,自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,程序mymagic.m %输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Drer魔

18、方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) x=null(C,r); %求齐次方程组的基础解系 y=d(1)*x(:,1)+d(

19、2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基础解系的线性组合 y=y(8:23,:); %y为16维魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %将y转化为4阶魔方阵 mymagic please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44: 6 3 15 20 09 12 7,随心所欲构造Drer魔方,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,2)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就可得唯一确定Dr

20、er魔方的其他值,还不够随心所欲,赋予魔方更大的威力吧,自由变量的选取不唯一,3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值,12,5,8,6,11,4,6,7,10,还不够随心所欲,3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值,赋予魔方更大的威力吧,自由变量的选取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13,如何选取自由变量,36,由x+26=x+24+d14,33,x,x+2,2,x+3,x+46,x39,x

21、+54,由x+26=3x+24,可得 x = 1,还不够随心所欲,3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值,赋予魔方更大的威力吧,自由变量的选取不唯一,12,5,8,6,11,4,6,7,10,由d43+26=d43+62+d13,如何选取自由变量,由x+26=x+24+d14,33,由x+26=3x+24,可得 x = 1,36,1,3,2,4,47,55,38,r2 = r1+1 无解,r2 = r1=n 唯一解,r2 = r1 n 无穷多解,基础解系的本质是解向量组的极大无关组,维数为n-r(A,二. 齐次线性方

22、程组的基础解系,K(A) = xRn | Ax,齐次线性方程组的解空间,一. 解的存在性和唯一性 (Ax = b,r1=r(A), r2=r(A, b,A,行 阶 梯 阵,r(A) n,行 最 简 形,取非主列对应的变量为自由未知量;令其为e1,en-r, 求得通解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,三. 非齐次线性方程组的一般解,1. 齐次线性方程组Ax = 0 称为非齐次线性 方程组Ax = b 的导出组,性质1. 设1, 2都是 Ax = b 的解, 则12是 Ax = 0的解,性质2. 是Ax = b的解, 是Ax = 0 的解, 则 +是Ax = b的解,2.非齐次线性

23、方程组的解向量的性质,A(12) = A1A2 = b b = 0,A(+) = A +A = b + 0 = b,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,定理4.15.设0是Ax = b的一个解, 1, , nr是 Ax = 0 的基础解系, 则Ax = b的结构式通解为 x =0 + k11 +knrnr . 称 0为Ax = b的一个特解,证明,Ax = A(0+k11 +knrnr )=A0=b,对任意Ax = b的解x,k1,knr, s.t. x 0 = k11 +knrnr,x = 0 + k11 +knrnr,x 0 为 Ax = 0 的解,第四章 n维向量,4.5 线

24、性方程组的解的结构,3. 解非齐次线性方程组Amn x = b的一般步骤,A b,行 阶 梯 阵,行 最 简 形,令非主列变量为e1, ,en-r, 求得基解;令其为0,求得特解,定理4.15.设0是Ax = b的一个解, 1, , nr是 Ax = 0 的基础解系, 则Ax = b的结构式通解为 x =0 + k11 +knrnr . 称 0为Ax = b的一个特解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,解,方程组的通解为,例5. 求方程组,的通解,1,0,1,2,1/2,1/2,注:求基础解系时右端向量为0,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,四. 线性方程组在解析几

25、何中的应用,1. 两直线的相对位置,r2= r1+1平行或异面,r2=r1=3交于一点,r2= r1=2 3重合,r(A)=r1,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,2. 三平面的相对位置,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,r2= r1+1 无解 平行或“”或“,r2= r1= 3 交于一点,r2= r1 =2 3 交于一线,r2= r1 =1 3 三平面重合,r(A)=r1,基础解系本质是解向量组的极大无关组, 维数为n-r(A,r(A,b) = r(A)+1 Ax=b无解b不能由A的列向量 组线性表示直线(或平面)间无公共点; (2) r(A,b)=r(A)=n A