立体几何大题

1、立体几何专练知识点归纳总结 1证明位置关系位置关系类型解题思路证平行线面平行（1）转化为线线平行（找中位线或平行四边形）（2）转化为面面平行（3）建系用向量法面面平行（1）找两组相交直线对应平行（2）找两组相交直线对应的线面平行（3）建系用向量法垂直线线垂直（1）勾股定理（2）等腰三角形三线合一（3）菱形（正方形）对角线垂直（4）线面垂直（5）建系用向量法线面垂直（1 ）线线垂直（2）面面垂直+线线垂直（3）建系用向量法面面垂直（1 ）线面垂直（2）建系用向量法2.求解角和距离类型取值范围解题思路异面直线夹角兀(0,H2作平移，找角，解三角形线面角兀0,2找直线在平面的投影，直线与投影的夹角即

2、为线面角点到平面距离无（1）直接做平面的垂线求长度（2）转换顶点等体积间接求长度3.利用空间向量求解角和距离类型取值范围求解公式异面直线夹角（0,2cosa =（li,I2分别为异面直线的方向向量）111II12 I线面角0,-2sina =（l ,n分别为直线的方向向量与平面的法向量）I 1 IIn I二面角0,兀-r门1 n?*co - _ （ n, n?分别为两个半平面的法向量）1 ni II n? |注意：二面角要根据实际情况取余弦值的正负点到平面的距离无dPin1（ n为平面的法向量）I n丨例题精讲【例1】（2013山东）如图，四棱锥 P- ABCD中，AB丄AC , AB丄PA,

3、AB / CD , AB = 2CD ,E,F,G,M , N 分别为 PB,AB,BC, PD, PC 的中点。(1)(2)求证：CE /平面PAD ; 求证：平面EFG丄平面EMN .B【例2】(2013 湖南)如图 5,在直棱柱 ABCD -AiBiCiDi 中，AD / BC , Z BAD = 90 , AC 丄 BD ,BC=1, AD = AAi = 3证明：AC丄B1D ；求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。【例3】（2013陕西）如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心，AQ丄平面ABCD , AB = Ah =72。(2)证明：4

4、C丄平面BB1D1D ；求平面 OCB1与平面BB1D1D的夹角日的大小.【例4】(2013新课标)如图，直三棱柱 ABC -AiBiCi中，D, E分别AB, BBi的中点,= AC=CB=dAB.2证明：BC1 /平面A1CD ;(2)(文)设AA1 =AC =CB = 2, AB =2J2,求三棱锥C - ADE的体积(理)求二面角D-AC -E的正弦值.【例5】(2013浙江)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA丄面ABCD，AB =BC =2, AD=CD =J7, PA=J3,NABC =120, G 为线段 PC上的点。(1) 证明：BD丄面PAC ;(2) 若G是PC的中点，求

5、DG与APC所成的角的正切值;PG(3) 若G满足PC丄面BGD，求竺的值。GCD【例6】(2013江西卷)如图，直四棱锥 ABCD -A,B1C1D1中,AB / CD, AD 丄 AB, AB = 2,AD =72 , AA1 =3, E 为 CD 上一点，DE =1,EC =3.(1)证明：BE丄平面BB1C1C(2)求点B1到平面EA1C1的距离.c【例7】已知在四棱锥 P - ABCD中，底面ABCD是矩形，且 AD = 2, AB =1, PA丄平面ABCD ,E,F分别是线段AB, BC的中点.(1)证明：PF丄FD判断并说明PA上是否存在点 G,使得EG/平面PFD .若PB与

6、平面ABCD所成的角为45二求二面角A - PD - F的余弦值.上,(1)C【例8】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中点，P0丄平面ABC ,垂足0落在线段AD已知 P0 =4, BC =8,A0 =3,0D =2.证明：AP丄BC在线段AP上是否存在点 M ,使得二面角 A -MC -B为二面角？若存在， 求出AM的长；若不存在, 请说明理由. 课后练习题1如图所示，在 三棱锥P - ABQ中，PB丄平面ABQ , BA = B P = BQ , D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP, BP的中点，AQ=2BD , PD与EQ交于点G , PC与FQ交于点H，连接GH .

7、(1) 证明：AB / GH ;(2) 求二面角 D -GH -E的余弦值.Q2. （2013 新课标 1）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA = CB,AB = AA1,NBAA1 =60(1)证明：AB 丄 A,C ；(2)若平面ABC丄平面AA1B1B , ACB，求直线AQ与平面BB1C1C所成角的正弦值3.（ 2013 大纲卷理）如图，四棱锥 P- ABCD 中，N ABC =NBAD =9O0,BC =2AD,也 PAB 和 iPAD都是等边三角形。(1) 证明：PB丄CD ;PA(2) 求二面角A-PD-C的大小。4. (2013辽宁卷理)如图，AB是圆的直径，PA丄圆

8、所在的平面， C是圆上的点。(1)求证：平面PAC丄平面PBC ;(2)若 AB =2,AC =1,PA =1，求二面角 C-PB-A的余弦值。5.四面体ABCD中，O E分别是BD , BC的中点，CA = CB =CD = BD = 2 ,(I)求证：A0丄平面BCD ;(n)求异面直线 AB与CD所成角的余弦值;(川)求点E到平面ACD的距离E6.在直三棱柱 ABC - AjBQj中，AA = BC = AB = 2，AB丄BC，M , N分别是 AC和BBi的中点;(I)求二面角 B, AC Cj的大小;(n)证明：在 AB上存在一个点 Q，使得平面QMN丄平面A1B1C，并求出BQ的

9、长度？D7.如图，四棱锥 S-ABCD的底面是矩形， SA丄底面ABCD ,平面ABCD所成的角为45。，且AD=2 , SA=1 ;(n)求二面角 A-SD-P的大小余弦值(I)求证：PD丄平面SAP;兀8.如图，在四棱锥 O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，NABC = , OA丄底4面ABCD , OA=2 , M为OA的中点，N为BC的中点;(n)求异面直线 AB与MD所成角的大小;(I)证明：直线 MN/平面OCD ;(川)求点B到平面OCD的距离。9.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的J2倍，P为侧棱SD上的点;(I)求证：AC丄SD ;(

10、n)若SD丄平面PAC，求二面角P-AC-D的大小;(川)在(n)的条件下，侧棱 SC上是否存在点E，使得BE /平面PAC ;若存在，求 SE:EC的值,D若不存在，试说明理由？10 .如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AB / BC , NABC=90 , PD丄平面ABCD ,AD =1 , AB =73, BC =4(I)求证：BD丄PC ;(n)设点E在棱PC上，PE = ZpC，若DE /平面PAB ,求)、的值.11.已知斜三棱柱 ABC-ABG，Z BCA=90，AC = BC=2，A,在底面ABC上的射影恰为 AC的中点D，又知BA丄AC,。(I)求证： AG丄平面ABC ； (n)求CC1到平面 AAB的距离;(川)求二面角 A -AjB -C的正弦值。12.已知四棱锥E -ABCD的底面为菱形，且NABC = 60 , AB = EC = 2, AE = BE = J2 , O为AB的