2矩阵典型习题解析

1、2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础， 而对于初学者来讲， 对于矩阵的理解 是尤为的重要； 许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难， 这也是因为对矩阵 所表示的内涵模糊的缘故。 其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系 的时候，我们才会发现， 原来用矩阵来表示这些 “繁琐”的事物来是多么的奇妙 ！ 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单 !2.1 知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1矩阵的定义由mKn个数aj（i 1,2,m; j 1,2, n）组成的m行n列的矩形数表a11a12a1nAa21a22a2nAam1am2amn称为mXn矩阵，记为A咼）甸2特

2、殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下 （上）的元素全为零的方阵称为上 （下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5） 单位矩阵：主对角线上元素全是1 的对角阵，记为 E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等设 A （aij ） mn; B （bij ）mn若 aij bij (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。2.1.2 矩阵的运算1加法(1)定义：设 A (Aj)mn，B (bj)mn，则 CAB bj ) mn( 2 )运算规律 A

3、+B=B+A。A+B +C=A+ (B+C A+O=A A+ (-A) =0,- A是A的负矩阵2数与矩阵的乘法(1) 定义：设 A (aij )mn,k 为常数，则 kA (kaij )mn(2) 运算规律 K (A+B =KA+KB (K+L)A=KA+LA (KL) A= K (LA) 3矩阵的乘法(1)定义：设 A (aj)mn，B (bj)np.则nAB C (Cij )mp, 其中 Cijaikbkjk1( 2)运算规律 (AB)C A(BC)； A(BC)AB AC(B C)ABACA3)方阵的幂定义： A(aij)n，则 AkAKA运算规律：AmAn Amn?(Am)nA(4)

4、矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 AB BA AB 0, 不能推出 A 0或 B 0;(AB)k Ak Bk4矩阵的转置(1) 定义：设矩阵A=(aj)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 AT (aji )nm，( 2)运算规律(At)t A;(A B)t At Bt ；(kA)T KAt;(AB)t Bt At。(3) 对称矩阵与反对称矩阵若A A,则称A为对称阵；AtA，则称A为反对称阵。5.逆矩阵(1) 定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B A 1。(2) A可逆的元素条件：A可逆 A 0(3)

5、 可逆阵的性质 若A可逆，则A-1也可逆，且(A1)-1 =A; 若A可逆，k工0,则kA可逆，且(kA) 1丄A1;k 若A可逆，则AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T ; 若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 1。(4) 伴随矩阵定义：A* (Aj)T，其中Aij为aj的代数余子式, 性质：ii ) A* |An1;i ) AA* A*A AE ;iii ) (A*)* An2A;iv )若A可逆，则A*也可逆，且(A*)(A 1)AA2.1. 用伴随矩阵求逆矩阵公式:方阵的行列式1. 定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式(各元素的位置不变)叫做方阵A的行列式，记

6、为A或detA。2.性质：(1) AT A，(2) kA knA，(4) A1(3) AB AB ,3 特殊矩阵的行列式及逆矩阵单位阵E： E1；数量矩阵kE：kEkn;当 k0 时,(kE)（3）对角阵:4.上（下）三角阵a11a22ana22a nnann若A 0，则A 1仍为上（下）三角阵2.1.4矩阵的初等变换与初等矩阵1 矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数k;某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵;交换i ,j 两行（列），记为E（i, j ）

7、;第i行（列）乘以不为零的常数k记为E（i（k）；第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i ;(2) 初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而E(ij)1 E(ij) E(i(k) 1 E(i 1 )k1E(j(k)i) Ej( k)i(3) 方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵R,F2, ,R，使A P1P2 Pt，(4) 初等阵的行列式E(ij) 1,E(i(k) k, E(j(k)i) 1(5) 初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵A，且E(ij)A |A, |E(i(k)A kA,|E(j(k)i)

8、 |A3 矩阵的等价(1) 定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵 B,则称A与B等价,(2) A与B等价的三种等价说法， A经过一系列初等变换变到B; 存在一些初等阵 E1, , Es,F ,Ft，使得Es E1AF1 Ft B 存在可逆阵P，Q,使得PAQ=B2.1.5分块矩阵1 分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算(1)设A，B为同型矩阵，米用相同的分法有A11A1tB11B1tA21A2tB21B2tABAs1AstBs1Bst则A B(AjBj)(i 1,2,s; j 1,2,t)(2) kA (kAj)(i1,2,s; j 1,2,t)(3)设

9、A (aj)mn，B(bj)np，分块成A11A1tB11B1rABAs1AstBt1Btr其中 Ai1, Ai2,Ait的列数分别等于B1j , B2j ,Btj的行数，则AB C (cij)sr ，t其中 cijAik B kj(i 1,2,3,s； j1,2,r)k 13 准对角阵(1) 定义：形如AAA2A为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。A(2) 准对角阵的行列式及逆矩阵A设AA2，则A Ai A |As ；若每个A可逆，则A可逆,As且A 1(3) 特殊的准对角阵(i)A A，若 A,A2Ai卄(ii ) A，若 AA2A11A21A可逆，贝U A 1,A可逆，则A 1(iii )

10、A B D 是 B 0, C 0,则 A |b|c O CA11A1A21A21B 1DC 1C 12.2.11、若(iv ) A矩阵的运算2L 1L1L bL 20,C0，则2.2B1DB经典题型解析1L 22L 13L 1C1115cC22则c=解：由 4 1 a 5得a=0, c11 =4而-1+2b+6=-1 得 b=-3, C22 =-7 从而c =提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心1 22、设A为三阶矩阵，且|A 4,则（A）2.解：A)2丄A231 gA21 12444易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错1误就是对矩阵进行行列式计算时

11、，把（-A）2的阶数给忘记计算。23、设 A为 3 3 矩阵，B 为 4 4,且| A 1， B2,则| B A _.易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时| B A B| A2 3gl2是我们常犯的错误。k4、设 A 1L 2L 3，B 1L 1L 1，J则 ATB_.k解： atbatb g atbatbAt(BAt)(BAt) (bat)b11L 1L 16k1 2 1L 1L 6k 1 2L 2L 233L 3L 31易错提示：本题关键是要求我们注意到 AT B是矩阵，但BAt= 1L 1L 1 2 =63却是数,1L -1L 11L1L1倘右先计算atb2L2L2，然后

12、再求2L2L2，贝U计算式相当繁琐的3L3L33L3L31L0L 15、设A0L1L 0，求An0L0L 1解：方法一:数学归纳法1L0L11L0L2因为A0L1L0，A2 AgA0L1L0，0L0L10L0L11L 0L 332A A gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1一般的，设 An-1 0L 1L 0，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 11L 0L n则 An An 1gA 0L 1L 0 0L 1L 00L 1L 00L 0L 10L 0L 10L 0L 11L 0L n所以，有归纳法知A 0L 1L 0 。0L 0L 164吩 A4方法二：因为A是初

13、等矩阵，A EgAgA A，相当于对单位矩阵1L 0L 0E= 0L 1L 0，施行了 n次初等列变换（把第一列加到第三列），故0L 0L 10L0L10L0L10L0L00L0L00L0L00L0L00L0L00L0L00L0L0又因为B2，所以BkO(k 2)。故有 An En n gEn1B E nB1L 0L n0L 1L 0 .0L 0L 1提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算,方法也算不少,读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。86，求 A100 2A50 o5解：A的特征多项式f()3L 0L 83L 1L 62L 0L 5(1)(1)2，1L

14、0LnAn0L1L0o)0L0L1方法三：利用对角:矩阵i和主对角线上为零的匕三角1矩1L0L11L0L00L0L令A=0L1L00L1L00L0L0L0L10L0L10L0L0L0L1其中B0L0L010L0L 00 E B，0若设 g( )= 1002 50，那么所求 A100 2A50 g(A),而 dgL_)100100 49,d由代数学中的整除性质，q( ),st g( )=q( )f( ) a 2 b c,-1 =1 100-2 150=g(1)=q(1) f(1) a b c a b c,-1 = (-1 )100 2(-1 ) 50 q(-1) f( 1) a b c a b

15、c, 0=-100+100=- (1)2a b,d解之得：a=b=0,c=-1。所以，g( )=q()f( ) 1，从而 a100 2A50g(A)=q( A) f (A) E E。点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连， 融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习 惯。AnBn 021007、设 A 0200，求 An。00390013B 0解：由分块矩阵知A 0 C，其中B2E PBn 2E P n (2E)n n(2E)n1P2n n 2n102n3939而1 3的秩

16、为1有1 3n1 391 3从而Ann 2n 1002n0003 6n 19 6n 1J 1n 1063 62n0002.2.2矩阵的逆（逆矩阵）及其运用1、设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵，A -，计算（-A）-1 8A*83解：因为a* AA1 1a1，所以1 -1*tA)1 8A33A 1 A 1 2A2rA64。易错提示：切记将2提出时应为2k，其中k为该矩阵的阶数。A2、 已知矩阵A满足关系式A2 2A 3E O，求A 4E -。解：因为 O A2 2A 3E A+4E A-2E +8E-3 E2A 4E A-2E 5E A 4E -E A E，55-i 21A 4E E A.55思

17、路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。3、 设n阶可逆矩阵A1, 2,n ， i为n维列向量（i=1,2,n）.为n维非零列向量，且与i, 2, n1均正交，则B1, 2, n1,可逆。解:要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组 1, 2, n1,线性无关 即可。为此，我们令：k1 1 k2 2kn 1 n 1 kn 0，两边同乘以T，即TTTTk11 k 22kn 1n 1 kn0 ，Q T i 0，(i=1,2,n-1 )且 T0kn T 0我们可以得出 kn 0，那么即得： k1 T 1 k2 T 2kn1 T n 1 0

18、，又QA是可逆矩阵，1, 2,n 1 线性无关。从而我们有 k1=k2=kn -0,即证明了 1, 2,n1,线性无关，同时也就说明了矩阵B1, 2, n 1, 是可逆矩阵。思路提示 ：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少， 这里我们不妨预先前所 熟悉的线性方程组来建立联系。 这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系 要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上， 对于m n矩阵A,我们可以把其每一列看作一列向量(记为 1, 2, J,则A=( 1, 2, n),这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=( 1, 2, n)可逆 向量组 1, 2,n线性无关。4、设A为n

19、阶实矩阵，若A+At为正定矩阵，则A为可逆矩阵。证明：用反证法假设A为不可逆矩阵，则 n 维列向量 X0 0，使得 AX0 0，而对于 X0(T A+AT)X0 X0TAX0 X0TATX0 X0T(AX0) (AX0)TX0=X0T0 0T X0 0 ，从而我们知存在 X0 0 ，使得 X0(T A AT)X0 0，但这与 A+ AT 为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，这也就说明了 A为可逆矩阵点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很 多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A是正定矩阵,我们应掌握以下几个等价定理：(1) 定义法(最基本，也较常用，本题

20、就是利用次方法来证明出矛盾来的 的)；(2) 来说明A的所有特征值全部都大于零；(3) 来说明A的所有顺序主子式都大于零(这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用)；(4) 存在可逆矩阵P，使得A=PTP;(5) 存在正交矩阵S,使得A=总;(6) 存在正交矩阵Q，使得&AQ5、已知二次型 f (x1rx 2,x 3) 4x2 3x31K01Q AQ= MOM，ii 0(i1,2, n)。0Ln4x-|X2 4x1x38X2X3 ，(1)写出该二次型的矩阵表达式;(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。解:(1)f的矩阵表达式为022X1f(XX2,x3) (X1,X2,X3)244X2 ；243X3(2)由(1)得知该二次型的矩阵为0 2 2A244，2 43A的特征方程为2 2E A244(1)(6)(6)=0，243由此可得出A的特征值：1 1, 2 6, 3 6，对应的特征向量为对应的单位特征向量为:251