浙江农林大学静电场的高斯定理习题

1、6和b2，试求空间各处场四、计算题 1、两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为强* 两面间（填写A、B、C或 D,从F面的选项中选取）- 1 _A、E = 一邑）n- 1、E =2（6 +cr2）ncr2面外,矩形平面中心线 C,如图，求通过矩 （填写A、B C或 D,从下面的选项中选取）I；几a arctanb/（2c ） B几 aarcta n b（2c答案：A，C, D解：如图所示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为两面间,- 1 -E = （W 十?） n2%-1 -E =（W + ） n 2n :垂直于两平面由 cr1面指为CT 2面.2、一无限长带电直线，电荷线密度为

2、，傍边有长为a,宽为b的一矩形平面与带电直线组成的平面垂直于矩形平面，带电直线与矩形平面的距离为 形平面电通量的大小.兀$02叭扎a arctan b/（ 2c ）2kaarctanb（2c答案：B解：取窄条面元ds = adx,该处电场强度为 E =2兀名0cya过面元的电通量为d化二dS =虫兰心dx=逢dx 22江名or2兀Eo(c + x )b/2Zacdx= J 22-_b/2 2花(c +x )b/2Zac 1=一 arcta n2兀s0 ccAaarcta nb(2c)Jd/ 2(填写A、B C或D从下42兀 (a2 +4Z2 )3、如图所示，在x-y平面内有与y轴平行、位于x

3、=a / 2和x=-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀 带电细线，电荷线密度分别为+入和-h求z轴上任 一点的电场强度._ 面的选项中选取)a几彳矶(a2+4z2 )2a A彳兀 (a2 +4z2 )4 a几彳兀 S(a2+4z2)答案：C(0,0 , z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯解：过z轴上任一点面，如图所示.按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 Ei/(2Mor )场强方向如图所示.按场强叠加原理，该处合场强的大小为L CL fl 几 a/2E =2E+coS =吟 r_2a几兀go(a2 +4z2 )方向如图所示.或用矢量表示E = - 2ak -

4、隔(a2 +4z2)4、均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2X10-Cm-3求距球心5cm的场强， 8cm的场强选项中选取）.,12cm的场强（填写A B、C或 D,从下面的A 3.48d04N C-1,方向沿半径向外B、4.10X104 N C1 ,沿半径向外C 4.10d04N C,方向沿半径向外D、 0答案：D, A，B q解：高斯定理cfE dS =,E4 n2当 r =5 cm 时， q=O,E=Or=8cm时，S q=p（r3 -rj）3卩皱（r3 -r内2）E =32 俺 3.48X1044 n0rN C,方向沿半径向外.r =12 cm时,送q =戸土（r外

5、r内）3牛外3r内）E =一3:4.1104 N24 n0rC-*沿半径向外.5、有两个半径分别为 R,、R2的同心球壳,带电分别为Qi、Q2，试求空间电场分布。（填写A、B C或D,从下面的选项中选取） r A R2，Q*A荷B、曲Qi +Q2C Qi + Q22ir2答案：D, A，B解：对称性分析：球对称高斯面：闭合球面 Ocr cRi乎 dS =0,二 E =0 Ri vr vR2 ,-2 Qi- Qi，SEds = E4：r=十二 e=4 r A R2，匸SEdS-Ewr.a，二 e = Q+q2%6、一个半径为R的带电球体，电荷分布均匀，体密度为P,试求此带电球体内的场(填写A、B

6、、C或D,从下面的选项中选取)球体外的场强PR3Pr3SoC匕$0D、答案：B, A解：以球心为圆心，r为半径作一高斯面，根据高斯定理由高斯定理qE dS =E(r) 4兀r则各区域内的电场分布为:rR :. q专，E2小廿；7、如图所示，两个带有等量异号电荷的无线长同轴圆柱面，半径分别为Ri和R2（R2Ri）（填写A B单位长度上的电荷为几。求离轴线为r处的电场强度（1）rcR,（填写A B、C或D,从下面C或D,从下面的选项中选取）（2）R, V r C R2,的选项中选取）（3）（填写A、B、C或D,从下面的选项中选取）D、答案：D, B, D解电荷轴对称分布,因此电场的分布具有轴对称性

7、。在离轴线为r处作单位长度的同轴圆柱形高斯面，根据高斯定理，有其中q为高斯面包围的电荷。(1) r R-i : q = 0，E = 0 R- R2 : q =0， E3 =08、实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100N/C，在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C，求：（1）从地面到此高度大气中电荷的平均体密度（填写A B、C或D,从下面的选项中求地面上的电荷面密度（填写A B、C或D从下面的选项中选取）。A 2.3X103Z3小J3C mC 9xiO0CmND、40_24.9 咒10C m(b)选取）；（2）假设地球表面

8、处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生的,答案：B, C解（1）设大气中电荷的平均体密度为P,如图（a）所示取圆柱形高斯面，侧面垂直底面,底面AS平行地面，上下底面处的场强分别为e1和e2，则通过高斯面的电通量为E2AS-EiAS = (E2 -Ei)AS圆柱形高斯面包围的电荷为 Z q= hASP，由高斯定理有(E2 -Ei3S因此得133o(E2 -Ei) =4.43咒10 C m（2）设地面上的面电荷密度为CT,取高斯面如图（b）所示。由于电荷只分布在地表面, 所以电力线终止于地面，通过高斯面的电通量为腔,球心到圆柱轴的距离为d（da）,该球形空腔无限长圆柱体内均匀分布着电荷体密

9、度为P的由高斯定理，有因此得 e =-EAS-EiS =丄也S0CT =-z0E= -8.9x10% E，9、如图，在电荷体密度为P的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心向球形空腔球心0 的矢量用a表示。B、C 或 D,从下面的选项中选取)。Pa302P 一a3Pa答案：A证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为P和-P的均匀带电大球体和小球体叠加P= 3（ri 一 r2）而成。空腔内任一点 P处的场强，可表示为P - PE =E 1 + E2 =3査 ri 3名0 r2其中Ei和E2分别为带电大球体和小球体在P点的场强。由几何关系r,-尊=a，上式可写即证。10、半径为R的无限长

10、圆柱体内有一个半径为a(aR)的球形空正电荷，如图所示。求： 在球形空腔内，球心 0处的电场强度EO.C或D,从下面的选项中选取）。（2）在柱体内与0点对称的P点处的电场强度Ep.（填写A、B、C或D,从下面的选项中选取）。A、P a/（2so）方向向右、Pa / s0方向向右jia3Pd 一C藹一时方向向右3Jia2212聊方向向左答案：A, D解：球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电（体电荷密度为 ）无限长圆柱体与均匀带负电（体电荷密度为）球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场Ei与均匀带电球体激发的电场E2.为求Ei,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面，有tE dS =

11、 2町IE = Q/客0 =兀口2! P/sEi =即 /(2S )方向垂直于轴指向外；为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面，有匹dS = 4t；E =Q/e0球内raQi 3E23江a=2，负号表示方向指向球心.3%2(1)对于Ei= Pd/(2%)E2=理=0(因2=0)3%Eo = Pa/(2%，方向向右;对于Ei =出/(2% ),Ep_ Ad201od2方向向左.一、判断题E2 =Jia312討1.1.已知一高斯面所包围的体积内电量代数和送qi=0,则高斯面上各点场强均为零。错误与外部电荷无关，但高斯面上的电 注意区分电场强度和电通量是两个分析：高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数

12、和有关， 场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。不同的物理量。1.2.穿过整个高斯面的电通量为零，则可以肯定高斯面内所包围的体积内电量代数和送 qi =0.正确 分析：高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关。因此电通量为零时，必然有送 qi =0。1.3.只有当穿过高斯面上每一面元的电通量均为零时，穿过整个高斯面的电通量才为零。错误 分析：高斯面上每一面元的电通量均为零时，高斯面的电通量必然为零，但反之则不成立。电场线从一侧穿进，另一侧穿出，高斯面电通量为零， 但穿进传出处的面元的电通量均不为 零。c2. 半径为R的均匀带电球平面，若其电荷面密度为，则在其两侧的电场强度大小均为

13、茲。错误 分析：当半径Rt处，所得结论正确。13 .静电场的高斯定理Eds =三上中E取决于高斯面内部的电荷。错误分析：高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。4.若高斯面上E处处为0,则该面内必无净电荷.正确5.1.若高斯面上E处处不为0,则高斯面内必有净电荷错误分析：高斯面上E处处不为0，但又可能电通量为零，此时高斯面内无净电荷。5.2.若高斯面内有电荷，则高斯面上E处处不为0。错误是矢量叠加的结果。 因此不能排除分析：高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的, 高斯面上可能存在一些地方所有矢量叠加的结构为零。三填空题:1、由一根绝缘细线围成的边长为I的正方形线框，

14、使它均匀带电，其电荷线密度为，则在正方形中心处的电场强度的大小 答案：0分析：答案为0,相对的两条带电细线产生的电场强度刚好大小相同，方向相反。2、一面积为S的平面，放在场强为 E的均匀电场中，已知E与平面间的夹角为则通过该平面的电场强度通量的数值。=e答案：ES sin 0分析：答案为EScosqSsin，电通量的定义。一口 (b -C0 )及20试写出各区域的电场强度I区E的大小，方向n区E的大小，方向，方向图3.5答案：0(2纵 向左；3 0(2 a，向左；0(2 a，向右.分析： 答案分另y为上I,向左；向左； 上I,向右.2% 2 2无限大均匀带电平面(电荷面密度 CT)两侧的电场强

15、度大小为，对每个分区，根据电场2%强度矢量叠加便可以得到上述答案。4、三个平行的 无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是+O,+0 +0 +O则A、B、C、D四个区域的电场强度分别为，Ea =Eb =,Ec =,Ed =(设方向向右为正).答案：-3(/(2 础；-0/(2 a；(2 a；3口分析：答案分别为-2%b 3b,，分析同上。2 25、电荷分别为qi和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别 为Ei和E2 ,空间各点总场强为 E = Ei + E2 .现在作一封闭曲面 S, 图所示，则以下两式分别给出通过S的电场强度通量3、如图，两块 无限大”的带电平行平板，其电荷面密度分别

16、为cfEi dS =dS答案:qil ao；(qi+ q2)133.分析:仅存在6、如图所示,真空中有两个点电荷,带电量分别为Q和-Q,相距2R.若以负电荷所在处 0点为中心，以R为半径作高斯球面 S,则通过该球面的电场强度通量4；若以ro表示高斯面外法线方向的单位矢量，则高斯面上a、b两点的电场强度分别aR二+Q图3.6答案分别为 qi Izo、（qi +q2;解答第一个问题其实就是高斯定理在高斯面内qi时的直接运用，第二个问题就是高斯面内仅存在qi和q2高斯面内仅存在的直接运用。答案：-Q/龟-2QroI(oR2), -Q r oI(oR2).-Q分析：答案分别为-Ql0, -2Qro/(

17、9瓏oR2), -Qro/RJEEoR2).根据高斯定理，高斯面上的电通量只与高斯面内的电荷有关，因此a点的电场强度由-Q与+Q共同叠加而成，因此EaF2Q同理,ro22goR2ro2%R2ro要注意ro ro表示高斯面外法线方向的单位矢量。7、电荷qi、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示，其中q2是半径q3为R的均匀带电球体，S为闭合曲面，则通过闭合曲面 S的电通量图3.7乎dS =，式中电场强度 E是电荷产生的是它们产生电场强度的矢量和还是标量和？答:是 答案：(q什q2)/ )所有电荷共同，矢量。分析：答案分别为qi 5，所有电荷共同，矢量。$0高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和

18、有关,与外部电荷无关，但高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。 注意区分电场强度和电通量是两个不同的 物理量。Si、8、在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合曲面S2、S3,则通过这些闭合曲面的电场强度通量分别是：1 =3 =答案：q/d 0, q /分析：答案分别为2,0,二g&0齢高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关。bx9、如图所示，一点电荷 q位于正立方体的 A角上，则通过侧面 abcd的 电场强度通量取=.答案：q/(24 0)分析：答案为一J,)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方24名0体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长 2

19、a的正方形上电通量 化对于边长a的正方形，如果它不包含 q所在的顶点，贝ye =24SrR时,E=2、答案：A答案：r p/(2 e), R2p/(2r)r pPR2分析：答案分别为2zq2 Eo r去单位高度的同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理r R，勺Eds = E 2阿=，则PR2E =2gor二、选择题1、如图所示，有一电场强度 E平行于球面的电场强度通量为271R2E .兀 R2E/2 C、2 兀 R2E x轴正向的均匀答案：D分析：答案为（D），E从左至右，左侧穿进的电场线又要从右侧传出，总的通量为零。关于高斯定理，以下说法正确的是:A、高斯定理是普遍适用的，但用它计算电场强度时要求

20、电荷分布具有某种对称性B、高斯定理对非对称性的电场是不正确的C、高斯定理一定可以用于计算电荷分布具有对称性的电场的电场强度D、高斯定理一定不可以用于计算非对称性电荷分布的电场的电场强度分析：答案为（A）,高斯定理是普遍适用的，它的适用性与电荷分布是否具有对称性没有使用高斯定理任何关系，只是当它用于计算电荷分布具有某种对称性的电场的电场强度时, 可以方便快速的求解。3、有两个点电荷电量都是 +q，相距为2a，今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面.在球面上取两块相等的小面积Si和S2,其位置如图3.2所示.设通过Si和S2的电场强度通量分别为 4和2,通过整个球面的电场强度通量为

21、，则A、 02 ,=q /岔.B、 1 ,=2q /S0C、1 =2 ,=q / .D、 1 02 ,=q /岔.答案：D答案：B分析：答案为（D）,电场强度通量的比较可以通过穿过两块面积的电场线的条数进行比较, 两个点电荷电量都是+q，两个点电荷分别在 Si上的电通量相减，在 S2上的电通量相加,显然1 ,而根据高斯定理，通过整个球面的电场强度通量为只与高斯面内的电荷有4、如图所示，一个带电量为 q的点电荷位于一边长为I的正方形abed的中心线上，q距正方形1/2,则通过该正方形的电场强度通量大小等于:C、q120q24%分析：答案为（B）,取以q为中心，正方形 abed为其中一个侧面的立方

22、体为高斯面，则该立方体的总的电通量为2，正方体共6个面，故正方形 abed的电通量为一9So6e5、点电荷放在球形高斯面的中心处,下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化A、将另一点电荷放在高斯面外B、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处C、将另一点电荷放进高斯面内D、改变高斯面半径大小答案：C答案：C分析：答案为（C）,根据高斯定理，通过整个球面的电场强度通量只与高斯面内的电荷有 关，=q /金。因此只要高斯面内的电荷代数和不变，高斯面的电通量就不会发生改变。6、如图所示，任一闭合曲面 S内有一点电荷q, 0为S面上任一点，若将 q由闭合曲面内 的P点移到T点，且0P=0T，那么A、穿过S面的电通量改变,0点的场强大小不变;穿过S面的电通量改变,0点的场强大小改变;C、穿过S面的电通量不变,0点的场强大小改变;D、穿过S面的电通量不变,0点的场强大小不变。表示电场强度的大小，r表示离对称中心的距离）.(ER答案：D分析：答案为（D）,只要高斯面内的电荷代数和不变，高斯面的电通量就不会发生改变。另外将q由P点移到T点，由于离 0点的距离不变，