第9章无穷级数9.1PPT课件

1、第9章 无穷级数,9.1 数项级数的概念与性质 9.2 正项级数 9.3 任意项级数 9.4 幂级数 9.5 函数的幂级数展开式,2,第9章 无穷级数,定义1 设有一个无穷序列,用加号把此序列的项依次连接起来的表达式,称为无穷级数(简称级数,常缩写为,其中第 n 项,叫做级数的一般项或通项,表达式,无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数值计算及其它领域. 无穷级数是研究函数的工具,本章主要介绍无穷级数的概念、性质,又可用它求得一些函,作为一个函数或一个数的表达式,它既可,数的近似公式,收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级数展开式,3,由级数 的第 n 项 的结构给出了两大类级

2、数,1)若 只是 n 的函数,2)若 是 x 的函数,中前 n 项的和, 称为级数,而式 中除去 后其余各项的和称为级数 的余项, 记为 , 即,的部分和, 记为 即,就称级数 为常数项级数,就称级数 为函数项级数,4,9.1 数项级数的概念与性质,它们之间的差值 称为级数的 余项,一. 数项级数的概念,定义2 若级数 的部分和数列 的极限 存在,并把S称为级数 的和, 记为,则称级数 收敛,否则就发散,当 时,称,级数 收敛于S,注1 当级数收敛时,前n项的和 是级数和S 的近似值,用 作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝 对值,5,故级数发散,例1 讨论级数,的敛散性,例2 判定级数,的

3、敛散性. 若收敛, 则求出其和,解 因,故级数收敛, 其和为1,解 因,则,6,例3 讨论几何级数(或等比级数,解 当 q 1时, 部分和,1)当q 1时,2)当 q 1时,其中a0, q 称为级数的公比, 为它的一般项,3)当q =1时,的敛散性. 若收敛, 则求出其和,7,若 q = 1时, 则,若 q =1时, 则级数成为a a+a a+a a,当 n 为偶数时,当 n 为奇数时,几何级数,故原级数发散,从而,不存在,综上所述有重要结论,当 q 1时, 发散,当q 1时, 收敛于,8,二. 级数的基本性质,也收敛, 且,定理1 若级数,收敛, 则级数,证 设,分别为,则,9,注3 此定理

4、反之不一定成立.例级数,注2 两个无穷级数必须收敛才能相加,而不象有限 项情形,逐项相加总是可行的,收敛, 但级数,发散,定理2 若级数,也收敛于ca,收敛于 a, c是一个常数, 则级数,证 设,分别为,则级数,收敛于ca,10,一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性,定理3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变,证 因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数 前增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或 去掉有限项而其敛散性不变,设在级数,中去掉前m项, 则得级数,c0时, 必有,注4,发散, 则,不存在, 从而当,不存在. 这表明: 级数的每一项同乘以,例:

5、级数,都是收敛的,11,令级数(1)的部分和为,级数(2)的部分和为,于是,若(1)收敛于S, 则,同理可证在级数(1)前增加有限项, 所得级数与级 数(1)有相同的敛散性,例 级数,故(2)也收敛,若(1)发散, 则,不存在, 故(2)也发散,和级数,前者是收敛的, 后者是发散的,12,定理4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和,证 设,收敛于S,则设级数按某一规律加括号所得的新级数为,则,13,加括号仍为收敛级数,注5 此定理表明收敛级数适合结合律.即收敛级数,注6 其逆否命题为 “若加括号后所成的级数发散,则 原级数也发散.,是收敛的,注8 收敛级数去括号后不一定收敛,注7 发散

6、级数加括号后级数有可能收敛,即,加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.,例级数,是发散级数,但将相邻的两项加括号后所得级数,14,定理5 (收敛的必要条件) 若级数,注9 各项均非负的级数,无论加括号还是去括号,都不 影响其敛散性,收敛, 则,证 设,收敛于S,则级数,发散,注10 其逆否命题为,15,收敛级数通项必有,例4 证明调和级数,注11,仅是收敛的必要条件而非充分条件.即,证 反证法 若,收敛, 设级数的和为S, 则有,发散,而,与前者矛盾. 故调和级数发散. 但,但通项极限为零的级数却,不一定收敛,16,法二: 可以用定积分的定义来证明调和级数的发散性,17,在n,n+1上对 应用拉格朗日中值定理得,将前n个