牛顿-拉夫逊迭代法原理及其实现

1、牛顿迭代法（简写）就是一种近似求解实数域与复数域求解方程的数学方 法。那么这个方法是具体是什么原理呢？牛顿迭代如何迭代？直接看数学公式描述如何迭代不直观，先来看动图就很容易理解牛顿迭代 法为什么叫迭代法以及怎样迭代的：牛顿迭代法是原理是根据一个初始点在该点做切线，切线与X轴相交得出 下一个迭代点的坐标，再在处做切线，依次类推，直到求得满足精度的近似解为啥要近似求解？很多方程可能无法直接求取其解迭代法非常适合计算机编程实现，实际上计算机编程对于牛顿迭代法广为应用 来看看，数学上如何描述的？_/（孙）“”+1 二帀y其中f仗为函数f仗）:在处的一阶导数，也就是该点的切线。来简单推一推上面公式的山来

2、，直线函数方程为：y = kx知道一个直线的一个坐标点（劭以及斜率则该直线的方程就很容 易可以得知：y f f + /（n）那么该直线与轴的交点，就是y=0也即仏M- f (务层=0等式X的解f仏) =一 Rrf仏) 啥时候停止迭代呢？1. 计算出/佃)2. 给出一个初始假定根值xO,利用上面迭代式子进行迭代3计算绝对相对迭代近似误日曾W。4.将绝对相对近似误差与预定的相对误差容限g进行比较。如果IgIaG,则迭 代步骤2,否则停止算法。另外，检査迭代次数是否已超过允许的最大迭代次 数。如果是这样，则需要终止算法并退出。穷一个终止条件是：|幺+1)| e如何编码呢？山于牛顿迭代法主要u的是解方

3、程，当然也有可能用于某一个数学函数求 极值，所以无法写出通用的代码，这里仅仅给出一个编代码的思路。相信掌握 了思路，对于各种实际应用应该能很快的写出符合实际应用的代码。假定一函数为f(x) - 22 - 10co5a?) + X 80其波形图如下：f(x)=2x2 lOcos(z) + z 80fx) = 4X + lQsin(x) + 120406080那么对于该函数的根：2/ - lQcosx) + X 一 80 = 0从图上大致可以知道有两个根，如果直接解方程，则很难求出其根，可以编个 代码试试：#include #include #include 产假定待求根函数如F*/#define

4、 F(x) (2*(x)*(x)- 10*cos(x)+(x)-80)产其一阶导数为派/#define DF(x) (4*(x)+10*sin(x)+1)float newton_rooting(float xOfloat precision,float inin_deltax4nt max_iterations)float xmxn 1 JnJn 1 .dfn; float deltax;int step = 0;xn = xO;xnl = xO;doxn = xnl;fn =F(xn);dfn = DF(xn); 产判的if( fabs(dfn) precision ) return NA

5、N;elsereturn fn;xnl = xn - fn/dfn; fnl = F(xnl);deltax = fabs(xnl-xn);step+;if( stepmax_herations)if( fabs(fnl)precision II deltaxinin_cieltax );return xnl;void inainOfloat root_guess = 230f; float precision = 0.0000If; float inin_deltax = 0.00If： float root：int step = 7;root = newton_rooting( root_

6、guess,precisionunin_deltax,step ); printf(根为:f，函数值为：rool,F(root);root_guess = -23;root = newton_rooting( root_guess,precisionunin_deltax,step ); printf(根为:f，函数值为：root,F(root);结果：根为:6.457232,函数值为：0.000004根为:-6.894969”函数值为：-0.000008函数值已经很接近于0了，如果还需要更为精确的值，则可以选择在此基础上 进一步求解，比如利用二分法逼近。需要注意些啥？求斜率可能为0,如为0时，则可能找到了函数的极值，比如:如果选择的初始猜测根的接近方程f(x)=0中函数f(x)的拐点，NewiomRaphson 方法可能开始偏离根。然后，它可能会乂收敛回到根。例如=03456O O O O O O O O OM 吃 W8642 4 ZTS.O+mui)2X5435866 如果选择的初值不合适，可能会跳掉一些根,比如:所以实际应用时,有哪些应用？需要知道自己待求解模型的大致悄况，在合理的加以调整。比如知道某系统的传递函数，求解传函的参数，可以将上述方法推而广之，求 解多维变量方程组