无穷级数复习讲义36289

1、收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定函数项级数的收敛域与和函数的概念幕级数及幕级数在其收敛区间内的第七章无穷级数 考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 要条件几何级数与级数及其收敛性 理任意项级数的绝对收敛与条件收敛初等函数的幕级数展开式函数的傅里叶（Fourier）狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在 上的傅里叶级数函数在 上的正其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幕级数的和函数 基本性质 简单幕级数的和函数的求法 系数与傅里叶级数 弦级数和余弦级数 考试要求1 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及

2、收敛 的必要条件。2 掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幕级数收敛半径的概念、并掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。&了解幕级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分） 会求一些幕级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握 sinx , COSX , In(1 +x)及arctanx

3、的麦克劳林(Maclaurin )展开式，会用 它们将一些简单函数间接展开成幕级数。11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。无穷级数概论1无穷级数定义-be设an为一个数列，称送aaaa+为无穷级数.nzt-be注记1:但I： an只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.n丘2无穷级数收敛的定义（1）部分和、部分和数列的定义n-bekU对任意n迂N +，称数列taj前n项和Sn =5： ak为级数 ak的部分和. k丄称数列sn为级数2 ak的部分和数列.k

4、4(2) 无穷级数收敛的定义-beak-be若级数2 ak的部分和数列Sj是收敛的，则称级数2 ak是收敛的，并且记k4-be送akkirimSn.ki3无穷级数收敛的性质(1)无穷级数收敛的必要条件I若无穷级数送an收敛，则其部分和数列sn有界.反之不然.n壬事实上，由于5： an收敛，因此，其部分和数列&收敛，于是，&有界.但Snn吕-be1 +( 1)2有界，&却未必收敛.例如，级数S (-1厂部分和数列为Sn(丿，& n=12有界，但2 (-1厂不收敛.n3例1.?丄不收敛.nM 事实上，1 1 11Sn =1+-+-+-2 3 4n1了11）了1111）f 111）了112 13 4

5、八5 6 7 8丿G0砂+12】1丿 两+ 1n丄1丄2丄4丄2辰丹卜丄1丄1丄丄1丄11、1+r1-=1+ +=1+ 14002n母（nT 畑）2482也口 2222于是，&不收敛，即送1不收敛.n# n(2)无穷级数收敛的必要条件II若S an 收敛，贝U liman =0. n45事实上，假设兽”部分和为s”，则何收敛，记S=nmS，于是,lim an = lim (Sn Sn i ) = lim Sn lim Sn i = S S = 0. nnn_但反之结论不成立.例如,1 1虽然lim-= 0,但无穷级数5：-不收敛.IIIm心n(3) 无穷级数收敛的必要条件-be若无穷级数送an

6、收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变n 二假设加括号后的级数写为-be(ai十去+aii )+(aii+aii书+%)+(%出十弘书+ ai=2 (an4l+ain+ain )这里，io=O.则其部分和为SnSin.由于I： an收敛，于是，收敛，于是，其任意子列q 收敛，且收敛值与tsj的一样,-be即级数送佝丄卅+ainj2+ ain )nT收敛，且送(ain/+ain丄七中中ain )=2 a. nrnnrn(4) 无穷级数收敛的充分必要条件I-be无穷级数送an收敛当且仅当lim an =0且S?”或务)收敛.必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列taj收敛当

7、且仅 当 lim a2n RimAnx.现在，(SJ 收敛了，而 Sn/Shi-azn，而 a2nT O(” t= k于是，JiSn = limS2n.故Sn也收敛.若S2n J收敛，也是同理的.(5) 无穷级数收敛的充分必要条件II-be-be无穷级数2 an收敛当且仅当lim an =0且2 (a2n_i乜?.)收敛 n45或者说S (a2n +a2n昇也可以 n zt16必要性是显然的.至于充分性，若-beZ (a2n +a2n )收敛，则其部分和数列nJnn2 2 （a2k 丄 +a2k ）是收敛的，但2 （a2k中a2k ）= S2n，因此，S2 收敛.又 lim a* = 0，2J

8、k 二y因此,由的结论，无穷级数S an收敛若送(a2n+a2卄)收敛，则其部分和数列n 3n三(n1n算(a2k+a2k屛学也收敛.又送(a2k+a .k吕Jk壬2n +2k卅)ak -ai = En卅-ai，因此，务出也kA收敛又由于liman =0，因此，由，无穷级数送an收敛.nn 二4无穷级数的运算性质(1)若无穷级数送an和送bn收敛,nzin z1则送(an +bn )也收敛，且nzi-be-beS （an 中bn ） = S ann壬n-be+ S bn .n=1-be事实上，假设S an的部分和为n rnAn ,Z bn的部分和为Bn， Z (an +bn )部分和为nrnn

9、rn-beCn，则显然有Cn n+Bn.由于an收敛，因此，”驶存在.于是，-be-be-be存在，且lim Cn =lim A, +lim Bn，即无（an +bn ）收敛，且2 （an +bn ） = 2 aFYr山n#n#-ben+W bn.n3(2)设常数c工0 ,则2 can收敛性与2 an相同，且若送an收敛，则送cann#n#n=1nl-be=应 an.n!二.正项级数1. 正项级数的定义每一项都非负的级数称为正项级数.2. 正项级数收敛的基本定理正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.事实上，若送an收敛，贝U其部分和（Sj收敛，因此，SJ有界，这是容易知道n 二的。另一方面，（

10、Sj是一个单调不减的数列，如果有界，则（Sj有极限,-be即2： an是收敛的。n=1（1）比较判别法设送an，n 土3.比较判别法及其极限形式Z bn都是正项级数.假设存在一个正常数c以及正整数N，使得n吕-be-bean乞命-若艺bn收敛，则5： an收敛.心事实上，我们假设Z an的部分和为n ztAn，Z bn的部分和为Bn，则对任意n A N，n三NnA =2 ak + 送 akk丝k少十NZ ak + 送 cbk = j Sk 壬k出 H1Vkd：ak -送 cbk +2 cbk + 2 cbk =km J k3k虫十Z NN送 ak-送 cbk + eBn 忙kTkT丿-be若2

11、 bn收敛，则歸有界，于是，认有界。于是,-beZ an收敛.比较判别法的极限形式-be-be-be设送an和2： bn为正项级数.如果lim直=| .当| =0，若2： g收敛，则无 bnn ztn z1nz1-beannrn-be-be-be收敛.当01 址，则S an与2 bn的敛散性相同当I =址，若送an收敛，则nn#nZ bn收敛.n z：事实上，若I =0,存在一个N0，当nN，有 空:，即an 0， n由21:3即iIba-Ibn.若S bn收敛，由比较判别法,22心-bez an收敛若nA-be送an收敛，由比较判别法,ni-beZ bn收敛.若I =邑，则limb=0.则由

12、送an收敛, 心an心-be无bn收敛.ni4.比值判别法及其极限形式F一a ,（：）假设2 an为正项级数.若存在一个N 0和0r:：,使得当nN，有 0,使得当nN，有色吃n zian r，则2 an发散.nV事实上，若0crN+：，有an ran4 (rand )=r a. r (ran)=r a.； .r an.ra由于0rN +：，类似地,-be 有aniaN卅由于r：，因此，级数Sn=：是发散的.由比较判别法，级数-beZ an是发散的.n 二：比较判别法的极限形式乂-be-be设送an为正项级数假设lima-l.若I ：，则送an收敛若I：，则2 an发n 4ann #nl散若

13、I =1，此法失效.I +1事实上，若I 1，任取I a 1（例如a =），则存在一个N0，当nN ,a有 g.由于01（例如 ann 4I +1aa =），则存在一个N0，当nN有，有1.由比值判别法，送an2annd发散若I =1，取an =丄，贝U Iim = 1，但级数艺an发散.又取an =g，则nnTcann4nIim = 1 发散.但丄1，而-2 1= -nT 鈕 ann n(n-1)n-1 nnn(n-1)n-1 nz f，因此，F丄是收敛的.这说明当1=1，此法失效了 . 心（k 1 k丿nk弓n备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这不难从证明过程中看出.假设数列

14、aj满足limF an这时候，表述应该相应叙述如下:=1 .若I 1,则I： an发散若I =1，此法失效.n i事实上,若nman41an=1 1，按照正项级数的比较判别法，级数 Z-beannrn是收敛的,由于00，使得当n，有an +an沁.这样，当n N，有 |an an2 a anNaN十T畑，于是,an# 0.这样,级数艺an是发散的.n 2若1=1，道理同上.型7。1判定数项级数的敛散性1。(02,3)设 Un 工0 ,nn11且lim =1，则级数送(1)(丄+亠) FUnUn UT2。3。散。(A)发散；(C)条件收敛;(04,4)(A)(B)(C)(06,4)(A)(B)绝

15、对收敛；(D)收敛性不能判定.设S an为正项级数，下列结论中正确的是n4若nimnan=0，则级数2 an收敛。若存在非零常数入，使得lim nan =入，n_jcc则级数2 an发散。n=1若级数2 an收敛，则lim nnjpC若级数C送I ann =12ancZ an收敛，则级数nzt收敛。(B)CZ (1)nan 收敛。nzi(C)送an an十收敛。n壬(09,4)设有两个数列C(A)当S bn收敛时,n =1C(C)当送|bn|收敛时,nz1(D)an +an+ 收敛。心2ajdbn，若 nman =，则3CZ anbn收敛。nrn a2b：收敛。n ztC3C(B)当2 bn发

16、散时，S anbn发nrnn 二1(D)当bnl发散时，h a2b2发散。n=1题型7。2证明数项级数的敛散性5。题型7。3求幕级数的收敛半径，收敛区间及收敛域C(08,4)已知幕级数 an(x +2)n在x=0处收敛，在x = -4处发散，则幕级数n z0(X -3 )的收敛域为题型7。4求幕级数的和函数比x3n7。( 02,7)1.验证函数y(x)=2 (-处处)满足微分方程y+y+y=r ；nA (3n)!处x3n2.求幕级数y(x)=S的和函数. n=0 (3n)!处1& ( 05,12)求幕级数2 (1)2(1 +)x2n的收敛区间与和函数f(x)n 吕n(2 n-1)c9。( 07,10)设幕级数S anxn在(亠，+=c)内收敛，其和函数y(x)满足n z0八2xy4y =0,y(0) =0, y(0) =1.2(I) 证明：an电=an,n =1,2，川;n +1(II) 求y(x)的表达式。处(一1)10。( 10,10)求幕级数 Z n=1n4x2n的收敛域及和函数。2n 1题型7。5求数项级数的和11。( 09，9)设an为曲线y = xn与y =xnF(n=1,2,.)所围成区域的面积，记求S,与S2的值。题型7。6求函数的幕级数展开式1 H