函数图象关于点对称性

1、函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。I.函数自身关于点对称性命题1：函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的充要条件是fx+f2a-x=2b(或者a+x+fa-x=2b)证明：（必要性）设P(x，y)是y=f(x)图像上任一点，点P(x，y)关于点A(a,b) 的对称点P(2a-x

2、,2b-y)也在y=f(x)图像上，2b-y=f2a-x，即y+f2a-x=2b故fx+f2a-x=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0，y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)，fx+f2a-x=2b，fx0+f2a-x0=2b，即2b-y0=f2a-x0，故点P(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得证。推论1：奇函数的图像关于原点对称。证明：设函数y=f(x)是奇函数，则奇函数定义有，由命题1可得函数y=f(x) 图像关于源点O（0，0）对称。推论2：如果函数y=f(x)满足fa+x+fa-x=0,则函数y=f(x)图

3、象关于点(a,0)对称。（证明略）推论3：函数fx=cx+dax+b，(x-ba)的图像关于点(-ba,ca) 。证明：f-ba-x=c（-ba-x）+da（-ba-x）+b，f-ba+x=c（-ba+x）+da（-ba+x）+b，f-ba-x+f-ba+x=c（-ba-x）+da（-ba-x）+b+c（-ba+x）+da（-ba+x）+b =-bca-cx+d-b-ax+b+-bca+cx+d-b+ax+b =bca+cx-d-bca+cx+dax=2ca 由命题1有函数fx=cx+dax+b的图像关于点(-ba,ca)对称。例1 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(4+x)且

4、函数f(x)在区间(2,+)上单调递增，如果x12x2且x1+x24，则f(x1)+f(x2)的值（ ）A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负分析：先x-2代替x，使f(-x)=-f(4+x)变形为f(2-x)=-f(2+x)，它的特征就是推论2，因此函数f(x)的图像关于点(2,0)对称。f(x)在区间(2,+)上单调递增，在区间(-,2)上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。解：2x24-x1且在区间(2,+)上单调递增，f(x2)f(4-x1)，f(-x)=-f(4+x)函数f(x)的图像关于点(2,0)对称，f4-x1=-fx1,

5、 f(x1)+f(x2)f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0.所以选A例2 如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，(2k，0)为对称中心其中kZ）例3 定义在R上的函数fx满足 f12+x+f12-x=2，则f1

6、8+f28+f38+f78=_解：由命题1可得函数fx关于点12，1对称，所以点18，f18关于点12，1的对称点1-18，2-f18也在函数fx图象上，所以f1-18=2-f18，即f78+f18=2；同理可得f68+f28=2，f58+f38=2，2f48=2；于是f18+f28+f38+f78=7.例4 已知定义在R上的函数fx的图象关于点-34，0成中心对称，对任意的实数x都有fx=-fx+32，且f1=1、f0=-2，则f1+f2+f3+f2009+f2010+f2011的值为（ ）。A. 2 B. -1 C. 0 D. 1解：由函数fx的图象关于点-34，0成中心对称，得fx+f-

7、x-32=0，又fx=-fx+32，fx+32=f-x-32;令t=x+32则ft=f-t,于是fx是偶函数，且fx+3=fx+32+32=-fx+32=fx，即fx是以3为周期的函数，则f-1=1=f2=f-2=f1=f4，f0=-2=f3， f1+f2+f3+f2009+f2010+f2011= f1+f2+f3+f4+f2009+f2010+f2011670次=1.例4 函数fx=a-xx-a-1的图象关于点4，-1成中心对称，则实数a=_.解：由推论3可知fx=a-xx-a-1图象关于点a+1，-1成中心对称,所以a+1=4，即a=3.例5函数fx=a-xx-a-1的反函数的图象关于点

8、Mm，3成中心对称，则实数a=( ).A. 2 B. 3 C. -2 D. -4由推论3可知fx=a-xx-a-1图象关于点a+1，-1成中心对称,又x=a-xx-a-1的反函数的图象关于点Mm，3成中心对称，所以点a+1，-1与点Mm，3关于直线y=x,即a+1=3，a=2.II.不同函数关于点对称性命题1: 函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)成中心对称。证明：设P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上的任意一点，则点P关于(a,b)的对称点是Q(2a-x0,2b-y0),因为点Q(2a-x0,2b-y0)在函数y=2b-f(2a-x)的图象上，所以函数y=f(

9、x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)成中心对称。命题2：设a,b,c均为常数，函数y=f(x)与函数y=g(x)的定义域均为R，那么函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于(a+c2,b2)成中心对称图形的充要条件是：对一切xR,均有f(c+x)+g(a-x)=b. 证明：（1）充分性：设P(c+x0,f(c+x0)是函数y=f(x)图象上的任意一点，则点P关于(a+c2,b2)的对称点是Q（a-x0,b-f(c+x0)）,且f(c+x0)+g(a-x0)=b.所以g(a-x0)=b-f(c+x0),即点Q(a-x0,b-fc+x0)是y=g(x)函数图象上的一点，也

10、即函数y=f(x)图象上任意一关于点(a+c2,b2)的对称点都在函数y=g(x)的图象上；同理可证，函数y=g(x)图象上任意一关于点(a+c2,b2)的对称点也都在函数y=f(x)的图象上。(2) 必要性：设点P(c+x0,f(c+x0)是函数y=f(x)图象上的任意一点，则点P关于点(a+c2,b2)的对称点Q(a-x0,b-fc+x0)在函数y=g(x)图象上， b-f(c+x0)=g(a-x0),即f(c+x0)+g(a-x0)=b，也即对一切xR,均有f(c+x)+g(a-x)=b. 由（1）（2）证明可知：命题2成立。推论1 :设a,b,c均为常数，则函数y=f(a+x)的图象与函数y=c-f(b-x)的图象关于点(b-a2,c2)成中心对称。证明：令m(x)=f(a-x),n(x)=c-f(b-x),则m(x-a)=f(x),n(b-x)=c-f(x),对xR均成立。m(x-a)+n(b-x)=c对xR均成立.由命题2，函数y=m(x)与函数y=n(x)的图象，即函数y=f(a+x)的图象与函数y=c-f(b-x)的图象关于点(b-a2,c2)成中心对称。例1 已知函数y=f(x)是定义在R上的函