专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质理

1、专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练一、选择题2X1.(2018 全国卷I )已知椭圆C:r+ a2魯=1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为（）1b-21a.3解析：选 C /a2 = 4 + 22= 8, a= 2/2 , e= a一 弟一零2.一个焦点为（松，0）且与双曲线2X7=1有相同渐近线的双曲线方程是（）92 2y XA 一 一一 1代188 = 1B.2 2Xy=1 1882 2X yC.w-10=1D.2 2汙 10=1解析：选B设所求双曲线方程为 鲁X = t（t工0），因为一个焦点为（Q药，0），所以|13 t | = 26.又焦点

2、在X轴上，所以t = 2,2 2即双曲线方程为 石一冷一 1.18 83.若抛物线y2= 4X上一点P到其焦点F的距离为2, 0为坐标原点，则 OFP勺面积为1a.2C-3解析：选B设Rxo, yo），依题意可得1 PF=Xo + 1 = 2，解得 Xo = 1,故 y2= 4X 1,解得yo = 2,不妨取P(1,2)，则 OFP的面积为|x 1X 2= 1.24. （2018 全国卷川）已知双曲线P = 1（a0, b0）的离心率为 心 则点（4,0）到C的渐近线的距离为（）aMC症C. 22双曲线的渐近线方程为x y = 0.4点（4,0）到C的渐近线的距离d =2农.25.已知双曲线X

3、2-y = 1的左、右焦点分别为 F1, F2,过F2的直线I与C的左、右两8支分别交于 A, B两点，且| AF| = | B冋，则| AB =（）C. 4D . 2羽+ 1解析：选C设双曲线的实半轴长为 a,依题意可得 a= 1,由双曲线的定义可得|A冋-| AF1| = 2a= 2, | BF1| - | BF2| = 2a= 2, 又| AF1| = | BF|，故 | AF2| - | BF2| = 4，又 | AE| = | AF2|-| BF2|，故 |AB = 4.6. （2018 全国卷n ）已知Fi, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若 PF丄PR,且/ PRF1=

4、60则C的离心率为（）A 1-申C.gD. yf3 1解析：选 D 在 Rt PFF2中，/ PF2Fi= 60不妨设椭圆焦点在 x轴上，且焦距|FiF2| = 2,则| PF2| = 1, | PF| =诵,由椭圆的定义可知，方程2 2X y 亠 a2+ b2=1 中,2a = 1+73, 2c= 2,得a=屮,c= 1,c解析：选De =-=a所以离心率e= a=1+逅二、填空题7已知双曲线V y2= 1（a0）的渐近线方程为y=申X，则其焦距为解析：由渐近线方程 y二土申乂，可得1 = ，解得a=U3，故c = 2+ = 2,3a 3故焦距为4.答案：4&设直线I过双曲线C的一个焦点，且

5、与C的一条对称轴垂直，I与C交于A, B两点,|AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 2 2X y解析：设双曲线方程为 云一-2= 1( a0, b0),由题意可知，直线l过焦点，且垂直于 X轴，将X = c代入双曲线方程，解得y=-,a2 b2则IAB =，由 |AB = 2X2 a,a则b2= 2a2,所以双曲线的离心率 e = 1= 乎=3答案：W9已知抛物线 C的顶点为坐标原点，准线为 X=1，直线I与抛物线C交于点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线I的方程为解析：依题意易得抛物线的方程为y2= 4x,设 Mxi, yi), N(x2, y，因为线段MN的中点为(1,1)，故 x

6、i + X2= 2, yi+ y2 = 2,则X1M X2,由P2= 4X，两式相减得y2y2= 4x2,2y2= 4(x1x2)，所以X求=总=2，故直线I 的方程为 y 1 = 2(x 1)，即 2x y- 1 = 0.三、解答题2x10. (2018 石家庄模拟)设A, B为曲线C： y=-上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率;AB平行，且 AML BM求直线(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB的方程.2X22=， X1 + X2= 2,2X1 解：(1)设 A(X1, y1) , B(X2, y2)，贝X1MX2,屮=y, y故直线AB的斜率k =

7、 X=宀2X(2)由 y=-，得 y= X.设Mx3, y3)，由题设知X3= 1,设直线AB的方程为y= X+ m故线段AB的中点为N：1,1 + n) , | MN =卄寸.2X将 y = x+m代入 y=，得 x2 2x 2m= 0.1 由 A= 4 + 8rn0 ,得m , X1,2 = 1 寸 1 + 2m从而 | AE| =寸2| X1 X2| = 2 + 2m ., I1由题设知 | AB = 2| MN ,即+ 2m = I+ 2-I21,解得m= 2 ,所以直线AB的方程为y= X + 7.11. (2018 全国卷n )设抛物线C： y2= 4x的焦点为F,过F且斜率为k(

8、 k0)的直线l 与C交于A, B两点，| AB = 8.(1)求l的方程； 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解：(1)由题意得F(1,0) , l的方程为y= k(x 1)( k0). 设 A(X1, y1),氏 X2, y2),一一 2ryty由2 2 2 2k x - (2 k + 4)x + k = 0.2A = 16k + 160，故 xi + X2=2k2 + 4k2所以 I AB = 1 AF| + I BF| = (X1 + 1) +(X2 + 1) = 4k2 + 424k + 4由题设知 干;=8，解得k= 1或k= 1(舍去). k因此I的方程为y= X 1.由

9、得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2=-(X 3),即 y =- x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(Xo,yo)，y0= X0+ 5, 则f1y0 X0 +1+ 16.解得b0),直线x+ ky 3= 0所经过的定点是(3,0),即点 F(3,0).因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8,2 2 2所以 a+ 3= 8, a= 5,所以 b = 5 3 = 16,2 2所以椭圆C的方程为 二+ = 1.2516因为点P(m n)在椭圆C上,m n2216m所以 25+ 16= 1,即 n= 16 IP又原点到直线I : mx+ ny= 1的距离d 寸m+ n2-r0)，过

10、焦点F的直线交C于A B两点，D是抛物线的准 线I与y轴的交点.(1)若AB/ I，且 ABD的面积为1，求抛物线的方程; 设M为AB的中点，过M作I的垂线，垂足为 N证明：直线AN与抛物线相切.解: (1) AB/ I , I AB = 2p.又 | FD| = P , & ABD= P = 1. p=1,故抛物线C的方程为2 -x = 2y.(2)证明：设直线AB的方程为Py= kx+ 2,jy=kx+2,由 2消去y得,x2= 2py X1 + X2 = 2kp,2X1X2= p .其中A#1,韵Br和） Mkp, k2p+2) np.X2 2kpx p2= 0.p- 22X12 2X1

11、+ pX2 pxi p2p+ 2环+ 22pX2 X1X2 kANX1 kpX122pX1Xl+ X2X1 X2X1 X2p22rX又 X = 2py,g卩 y = 2p,： y抛物线x2= 2py在点A处的切线斜率X1 k = p.直线AN与抛物线相切.2. （2 018 贵阳适应性考试）已知椭圆2 2X yC： g+ F = 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,点M为短轴的上端点， MF MF = 0,过F2垂直于X轴的直线交椭圆 C于A, B两点，且| AB（1）求椭圆C的方程;（2）设经过点（2 ,1）且不经过点 M的直线I与C相交于G H两点.若ki, k2分别为直线MH

12、MG勺斜率，求ki+ k2的值.解：（1）由 MF MF = 0，得 b = c.因为过F2垂直于X轴的直线交椭圆 C于A, B两点,且|AB =迈，所以b =* a 2又 a2= b2 + c2,联立，解得 a2= 2, b2= 1,2X故椭圆C的方程为+ y2= 1.设直线I的方程为y+1 = k（x 2）,即 y = kx 2k 1 ,2X将 y = kx 2k 1 代入-+ y2= 1,2 2 2得(1 + 2k)x 4k(2k + l)x + 8k + 8k = 0,由题设可知 = 16k(k + 2)0 ,设 Qxi, yi) , H(X2, y2),28k + 8kX1X2=，9

13、k +9 y4k 2k+l y1+g=kx+kxjk=2k J -k1 + k2 = X1X2XiX28k + 8k1 + 2k= 2k1 + 2 k2(2 k + 1) = 1,所以 ki + k2= 1.3. (2019届高三唐山五校联考)在直角坐标系XOy中，长为72+ 1的线段的两端点 C,D分别在X轴，y轴上滑动，Cp = J2 Pd.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程; 经过点(0,1)作直线I与曲线E相交于 A B两点，Om= OA十-B,当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解: (1)设 C(m,O) , D(0 , n) , P(x, y).由C=(2 PD，得(X

14、m y)=2( X, n y),所以L 厂 y =谑 n yn=X,y,得I n=由 I CD| =72 + 1,得 m+ n =(寸2 + 1)2,所以(迈+ 1)2x2+2=(72+1)2,2整理，得曲线 E的方程为X2+殳=1. 知点M的坐标为(X1 + X2,易知直线l的斜率存在,(2)设 A(X1, y1),巳X2, y2)，由 0M= OA + OB, y1+y2).设直线l的方程为y = kx + 1，代入曲线E的方程，得(k2 + 2)x2 + 2kX 1= 0,则 X1+ X2= k+二,4所以 y1 + y2= k(X1 + X2)+ 2 =由点M在曲线E上，知(Xi+ X

15、2)2+2y1 + y224k2即 k2+22+8k2+?2 = 1，解得k2= 2.此时直线l的方程为y = 2x+ 1.22r-itX y4.如图，椭圆C：孑+非=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点 分别为点A, B,且|AB =|BF.(1)求椭圆C的离心率;若点M17，春”椭圆C的内部，过点M的直线I交椭圆C于P, Q两点，M为线段PQ的中点，且 OPL OQ,求直线I的方程及椭圆C的方程.解：(1)由已知I AB =乎| BF ,a，2 2 2 2 2 2 2 即 4a + 4b = 5a ,4a + 4( a c) = 5a , 所以 e= C(3.a 2(2)由(1)知 a

16、 = 4b ,2 2所以椭圆C的方程可化为4b2+皆1.设 P(X1, y1) , Q(X2, y2),22 22,X1 y1 , X2 y2 ,由 4b2+ b2=1，4b2+yr1,2 2 2 25/X1 X2 y1 y2 可得寸专=0，刚 X1 + X2X1 X2y1 + y屮一y即4b+b=0,32石 X1 X2 即L+ 147(y1- y2) = 0,从而心 = 2,所以直线I的方程为y 17= 2 X (即 2x y + 2 = 0.pX y+ 2= 0,联立i右= 12 2消去 y，得 17X + 32X + 16 4b = 0.则 = 32 + 16X 17X( bX 综上，直线I的方程为2X y+ 2 = 0，椭圆C的方程为一+ y2 = 1. 4)0?3216 4b2X1 + X2= 17 X1X2= 因为 OPL OQ Op OQ = 0，即 X1X