导数的概念及运算学案

1、第三章导数及其应用学案13导数的概念及运算导学目标：1了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几 何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数 y= C (C为常数),y= x, y = x2, y= -, y=x的导数.熟记基本初等函数的导数公式(c, xm (m为有理数),sin x, cos x, ex, ax, In x, logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四 则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax + b)的导数.自主梳理1.函数的平均变化率一般地，已知函数y= f(x), xo, x1

2、是其定义域内不同的两点，记Ax= x1 xo, Ay= y1 =申称作函Axyo= f(xi) -f(xo)= f(xo + Ax) f(xo),则当 Ax丰 0 时，商数y= f(x)在区间xo, xo + Ax(或Xo+ Ax, x。)的平均变化率. 2.函数y= f(x)在x= xo处的导数(1) 定义函数y=f(x)在点xo处的瞬时变化率记作f (xo),即(2) 几何意义函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是过曲线通常称为f(x)在X= Xo处的导数，并y = f(x)上点(X0, f(x0)的导函数y= f (X)的值域即为.3. 函数f(x)的导函数f(x)在开区间

3、(a, b)内可导,如果函数y= f(x)在开区间(a, b)内每一点都是可导的，就说 其导数也是开区间(a, b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作4. 基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)= Cf (X)=f(x)= xa( a Q*)f (X) =(a Q*)F(x)= sin Xf (x)=F(x)= cos Xf (X)=Xf(x) = a (ao, aM 1)f (x)=(ao,a M1)f(x)= exf (x) =f(x) = logax(ao, aM 1，且 xo)f (x) =(ao, a M 1,且 xo)f(x)= In Xf (X)=5. 导数运算法则(1

4、) f(x) (x)=(2) f(x)g(x) = _g(x)丰 0.阿,=b(x)6. 复合函数的求导法则：设函数 u= *)在点x处有导数Ux= /(X)，函数y= f(u)在 点x处的对应点U处有导数yu= f (u),则复合函数y= f( (Kx)在点x处有导数，且y x = y u u X,或写作 f x( Kx) = f (u) K (x).【自我检测】1. 在曲线y= x2 + 1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 + Ax, 2 + Ay)，则A为(C.Ax +*+ 2AxAx+ 2设y= x2 eX,则y等于2 x , c、，1B. Ax 2Ax1D. 2 +Axax2.

5、A . x2eX + 2xC.B. 2xexD. (x+ x2) ex(2x + x2)ex3. (2010全国n )若曲线y= x1在点(a, a p处的切线与两个坐标轴围成的三角形的 18,则a等于A. 64B. 32C. 16D. 8面积为4. (2011临汾模拟)若函数f(x)= ex+ aex的导函数是奇函数，并且曲线y= f(x)的一条切 线的斜率是2则切点的横坐标是ln 2B. - In 2D .In 2A. 2 ln 2C.F5. (2009 湖北)已知函数 f(x)= f(n)cos x+sin X,贝U突破君点研析热点探究点一利用导数的定义求函数的导数 例1】利用导数的定义

6、求函数的导数：(1) f(x)= Qx在x= 1处的导数；1(2) f(x)= x+7变式迁移1求函数y= 衣+ 1在X0到X0+Ax之间的平均变化率，并求出其导函数.探究点二导数的运算例2】求下列函数的导数：(1)y=(1-曲1 +士尸严x(3) y= xe ； (4)y= tan x.变式迁移2 求下列函数的导数:(1) y= x2sin x; (2)y= 3xex 2x + e; (3)y= 2+_x1.x + 1探究点三求复合函数的导数例 3】(2011莆田模拟)求下列函数的导数:2 1(1)y= (1 + sin X) ; (2)y= 2；屮+ X(3)y= Inpx2+ 1; (4

7、)y= xe1cos x.变式迁移3求下列函数的导数:1(1)y=(2) y= si n2 + 3(3) y= xZ + X2.可；探究点四导数的几何意义例 4】已知曲线y = Ix3+ 4.33(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； 求曲线过点P (2,4)的切线方程； 求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式迁移4 求曲线f(x) = X3 3x2 + 2x过原点的切线方程.课堂小结1.准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则 直线不一定是曲线的切线， 以上的公共点.同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有

8、两个或两个(2)曲线未必在其切线的2.曲线的切线的求法： 若已知曲线过点 P (Xo,两种情况求解.(1)点P(X0, yo)是切点的切线方程为 y yo= f (xo)(x xo).当点P(xo, yo)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P (Xi, f(Xi)；“同侧”，如曲线y= X3在其过(0,0)点的切线y= 0的两侧.yo),求曲线过点P的切线则需分点P(X0, yo)是切点和不是切点第二步：写出过 P(X1, f(xi)的切线方程为 y f(xi) = f (xi)(x xi);第三步：将点 P的坐标(X0, yo)代入切线方程求出 xi;第四步：将Xi的值代入方

9、程y f(xi) = f (xi)(x Xi)可得过点P(X0, y0)的切线方程.3求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.幕爲练规范答麵(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1. 已知函数f(x)= 2In(3x) + 8x,则 鹦 2秸的值为A . 10B . 10C. 20D. 202. (2011温州调研)如图是函数f(x)= X2 + ax+ b的部分图象，则函数 g(x) = In x+ f (x) 的零点所在的区间是A.(4，y c.g，i3 .若曲线y= X4的一条切线A.C.4.D. (2,3)I与直线X+ 4y 8= 0垂直，则I的方程为B.D.44x y 3= 04x y+ 3 = 0(2010 宁)已知点P在曲线y= ex亍上，值x+ 4y 5 = 0X + 4y+ 3 = 0a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则(Xn nfn 3 nBb 2丿C.匕，討5. (2011珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(Xi x2), |f(X2) f(Xi)|0）,x又f(x)在x= 2处的切线方程为y= x+ b,12 aln 2 = 2+ b, 所以i