勾股定理知识归纳

1、第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理学习目标1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2. 能运用勾股定理解决实际问题重点难点重点： 了解勾股定理，并能正确合理的运用.难点： 勾股定理的证明.知识概要1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么abc，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方2. 勾股定理的应用.勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.3. 勾股定理的证法.知识链接1. 勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾

2、三、股四、弦五”，被记载于周髀算经中在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.2. 与直角三角形有关的问题.（1） 直角三角形的定义.（2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.中考视点勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：（）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边（）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式（）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点勾股定理的逆定理学习目标. 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一

3、个三角形是不是直角三角形. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.重点难点重点：勾股定理的逆定理及其应用.难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.知识概要勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形. 如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 能够成为直角三

4、角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组知识链接（1）勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题.（2）勾股数：满足条件a2b2c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40，41；这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.中考考点勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状第二节、教材解读一、勾股定理的内容勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2c2.因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾

5、股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；二是验证c2与 a2+b2是否相等.若c2a2+b2，则ABC是直角三角形，且C90；若c2a2+b2，则ABC不是直角三角形. 三、熟

6、练掌握勾股定理在实际生活中的应用勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为的线段，如下左图所示用同样的方法我们可以在数轴上画出表示的点，如下右图所示.四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么abc，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系abc，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？下面是组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，（）a，b，c；（）a，b，c；（）a

7、，b，c我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系abc，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：如果一个三角形的三边长a、b、c满足abc，那么这个三角形是直角三角形我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明【例题】 已知的三边a、b、c且满足条件abc，试判断是否为直角三角形【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足ca+b，那么这个直角

8、三角形的三边就与的三边分别对应相等，所以说如果是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等解：我们作t，b，a根据勾股定理：ab又的三边a、b、c满足条件a+bc，c又在中a、b、c， t（）是直角三角形，【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.第三节、错解剖析一、勾股定理只能在直角三角形中运用【例1】 在ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（ ）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7常见错误： A.错误分析： 题意是已知三角形的两边求第三

9、边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案： D.二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边【例2】 在tABC中，AC=9，BC=12，则AB2= .常见错误： 在tABC中，利用勾股定理，得AB2AC2BC2=225.错误分析： 没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2AC2BC2=225；如果AB是直角边，因为BC

10、AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2BC2AC263. AB2为225或63.正确答案： 225或63.三、给定三角形要分形状运用勾股定理【例3】 在中，=13，=15，高=12，求的周长常见错误：根据勾股定理，22-2 22 ，22-2 22 ， 此时，的周长为错误分析：可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.正确答案：应该分情况讨论，当是锐角三角形时，解法如上.当是钝角三角形时，其图如下，根据勾股定理，22-2 22 ，22-222，.此时，的周长为：故的周长为42或32.四、不能正确区分直角边和斜边【例4】 已知一

11、个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？错解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2b2194，c2144. a2b2c2，故此三角形不是直角三角形.错解分析：本题中虽然a2b2c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2169，a2c225144169，即a2c2b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.正确答案： 是.【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要

12、正确区分哪条为直角边哪条为斜边.五、考虑不全面造成漏解【例5】已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断ABC的形状.错解： a2c2b2c2a4b4 （1） c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2）（2） c2a2b2 （3） ABC是直角三角形.错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2b20的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误正解： a2c2b2c2a4b4 c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2）（1）当a2b20时，化简后得c2a2b2 ABC是直角三角形.（2）当a2b20时，ab ABC是等腰三角

13、形.【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.六、不能仅凭模糊记忆【例6】在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且（ab）（ab）c2，则（ ）A.A为直角 B.C为直角 C.B为直角 D.不是直角三角形错解：选B错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2b2c2，即a2b2c2，应根据这一关系进行判断.正解：a2b2c2，a

14、2b2c2. a边所对的角为直角. 故选A.【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.七、考虑不全造成漏解【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：第三边长为错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.八、理解流于形式，造成思维定势【例8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直

15、角三角形吗？错解： a2，b2，c21，而a2b2c2，该三角形不是直角三角形.错解剖析：虽然a2b2c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2c2b2，所以这个三角形是直角三角形.正解：这个三角形是直角三角形九、混淆勾股定理与逆定理【例9】 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东0方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解:甲船航行的距离为BM=8216（海里），乙船航行的距离为BP=15230（海里）.34 （海里）且MP=34（海里）MBP为

16、直角三角形MBP90.乙船是沿着南偏东30方向航行.错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误.正解：甲船航行的距离为BM=8216（海里），乙船航行的距离为BP=15230（海里）. 1623021156，3421156， BM2BP 2MP2. MBP为直角三角形. MBP90.乙船是沿着南偏东30的方向航行的.第四节、思维点拨一、方程思想【例1】 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么AED的面积为_.【分析与解】 由ABF

17、的面积为30cm2，可得BF=12cm.则在RtABF中，AB=5cm，BF=12cm，根据勾股定理可知AF=13cm.再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.所以FC=1cm.可设DE=EF=x，则EC=5-x.在RtEFC中，可得：12+（5-x）2=x2.解这个方程，得x=.所以SAED=13=16.9（cm2）.二、化归思想【例2】 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（ ）【分析与解】 求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如上右图，可得展开图中的A

18、B的长为422，BS的长为422.在RtABS中，根据勾股定理，得AS=.所以动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为.故选A.三、分类讨论思想【例3】 在ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，ABC有两种情况.当BC边上的高AD在ABC的内部时，如图1.由勾股定理，分别在RtABD和RtADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，则BD=9.CD2=AC2-AD2=202-122=2

19、56，则CD=16.所以BC=9+16=25.当BC边上的高AD在ABC的外部时，如图2.同样由勾股定理可得BD=9，CD=16.这时BC=16-9=7.综上可得BC边的长为25或7.【例4】 如图所示，在中，BC4， 求的面积.【思考与分析】 要求的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线构造直角三角形和直角三角形，然后利用勾股定理求出高，进而求出的面积.解法一： 过点A作于D，则ADB=ADC=90设DC=x，则14x在t中，由勾股定理得：-（14x）在t中，由勾股定理得：x.由，解得x=5.所以x16925144，故所以解法二： 设ADx，则在t

20、中，由勾股定理得：B-A-x在t中，由勾股定理得：Cx，再根据题意，知 BC=BD+DC，四、勾股定理是直角三角形的一个重要性质，这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范下面就让我们通过一道例题来体会一下.【例5】 已知：在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.则ABC是等腰三角形吗？【思考与分析】 先画出图形，如图，求出BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，说明ADBC，然后在ADC中，利用勾股定理求出AC，从而得到AB=AC.解： 由 AD是BC边上的中线，得 BD

21、=CD=BC=10=5（cm）.（由形到数）在ABD中，有AD2+DB2=122+52=132 =AB2，所以ABD是直角三角形，其中ADB=90，ADC=90. （由数到形）在RtADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，又因为AC0，所以AC=13（cm）.（由形到数）即AB=AC. 故ABC是等腰三角形.（由数到形）【反思】 此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端

22、拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在RtABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.解：如上图所示，在RtABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2. 所以河水的深度

23、为2m.故答案选A.【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.第五节、竞

24、赛数学【例】 等腰中，为上任一点，求证：【思考与分析】 本题要证明的等式中含有线段的平方，故可以考虑运用勾股定理，但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形，那么就需要我们首先构造直角三角形根据等腰三角形的性质，我们作，则，那么（）（），又因为t和t有公共边，由勾股定理得，所以证明： （）若不是的中点时，作于点，如图1等腰中，在t和t中，由勾股定理得：两式相减得：（）（）（）（），即（）若是的中点，如图2等腰中，在t中， ，即【例】 如图3，在中，若，为边上的中线，为边上的高.求证： .【思考与分析】 等式左边，根据题中给出的条件为边上的高，而t和t中包含这三边，我们可以得到，这两个等式

25、，这时我们就可以发现两式相减得到（）（），再根据为边上的中线，继续化简可证得结论证明： 为边上的高，根据勾股定理有，（）（） （）又为边上的中线，（）（） .【例3】 如图所示，已知中，是内一点，且，求的度数【思考与分析】 在B中，虽然我们已经知道、的长，但可以发现直接利用条件求它还是比较困难既然直接求解比较困难，那么我们是否可以考虑将进行分割，转化成特殊角后再进行求解呢？我们作EP，并截取E=P，连结BE、PE，就可以把分割为E和EB两个角根据我们做辅助线的过程可知E，要求，问题就转化到求EB，这个问题可以在EB中得到解决方法： 过作EP，并截取E=P=2，连结BE、PE则BE+PB=P+P

26、B=90，BE=P又E=P，BEP（），BEP在tE中，E，且EE，在BE中，BEBEEB为直角三角形，EBBPEPE 【思考与分析】 如果我们在外取点，使，连结，则构造了BE和P全等，再利用它们之间的数量关系和勾股定理及其逆定理就可以解决问题方法： 在外取点，使，连结.E=P，BEP（）BE=P又，即P+PB=90，BE+PB=90，即PE=90又E=P，EEP，PE=在BE中，BEBE.BPE=90，BPEPE【反思】 本题主要运用化归转化的数学思想方法，将比较难求的角通过分割转化成为比较好求的特殊角，在这里怎样分角存在一定的技巧，通常我们都是把所求的角分成，这样的一些特殊角【例4】李老师

27、设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ 的取值为3）【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1） 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？（2） 如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？（3） 蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是多少？由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪开，则剪开

28、的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.解：圆柱的底面周长为2r23318，展开图中CB的长是底面周长的一半，为189，圆柱的高为12，即AC12，在RtABC中，根据勾股定理有：AB2AC2BC292122，所以AB=15厘米【反思】 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于A点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解决问题本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步

29、地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题演变一：“变圆柱为圆锥”【例5】如图2（1），圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）开，在其侧面展开图如图2（2）所示的扇形中求出AB的长即可.由扇形的弧长公式可知：2， ACB=120ACD=60在RtACD中，CAD30 CDAC，根据勾股定理有CD2AD2AC2，即AC2AD2AC2，又 AC=3， AD= AB=3故答案选【反思】本例是旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题-即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展

30、开问题第六节、本章训练基础训练题1. 等腰三角形的两边长分别为41cm和18cm，则此三角形的面积是 .2. 已知直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为30，则此三角形的面积为 .已知ABC中，AB10，AC17，BC边上的高为AD8，则BC的长. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）A. 1：2：4 B. 1：3：5C. 3：4：7 D. 5：12：13. 下列命题，正确的是（）. 直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C. ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2b2c2

31、，则A90D. ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2b2c2，则90提高训练题1. 在ABC中，AC=6，AB=10，则BC的长为（ ）. A. 8 B. 16 C. 4 D. 大于4且小于16 2. 如图所示，在中，17，10，AD8 求的面积. 3. 在tABC中，AC=3，AB=5，求BC2的长. 4. 已知ABC的三边长为a、b、c，且满足（a2）2b2c20，则此三角形一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形5. 若ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状.6. 如图在四边形ABCD中，A

32、B2，BC，CD5，DA4，B90，求四边形ABCD的面积.7. 一个三角形三边之比为5:12:13，且周长为60，则它的面积是 .8.在RtABC中，斜边AB上的高为CD，若AC9，BC40，则CD .9.在解答“判断由长为的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形.你认为小明的解答正确吗？请说明理由.强化训练题1. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可能是（ ）. A. 124B. 135 C. 357D. 81517 2. 在RtABC中，斜边BC1，则AB2+BC2+AC2的值是（ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知一个等腰直角三角形的斜边长为8cm，那么这个三角形的面积为多少？ 4. 甲、乙两人从同一地点出发，已知甲向东行走了8km，乙向北走了6km，此时甲、乙两人相距多少千米？5.如下图所示，在一单位为1cm的方格纸上，依图所示的规律，设定点A1，A2，A3，A4，An，连结点A1，