五常微分方程

1、(八r /12必+訂 丿.求解下列微分方程:1.i-U = o，-1b丿1+J二n+y 创 妙,所以dy l+wdu 滋*- S矿-u = -盘+于y , = lny = In 丿丁dxdy 解.：.（将y看成自变量）U +e0F X丄7+詁 y2.八八2-”曲）=-1解.所以血 -加-1X 7= 1 肚二Adx ? + 加-1? + 加-1/+2盘一1, 必,.勿二-一；? + ?+1X/ -1 2+17+1； + 1 _F.由川)二-1 帰(1)二-12?+1所以c = 0.产寸丫心，即r.二.求解下列微分方程:1. Jl + H#sin 2y - 2xsiny +解.令二血b次加二卩si

2、n 2”得到,2x/砲u - u - 1 小+FJ】 + F为一阶线性方程解得 M =/(亡+to I x + Jl + F I).即 smy二/両 +ln|x + Jl + H |).2.（x-2硏-代亦+丹0解.dx , 2j X= 1+-p原方程可化为矽 y y .必f 1+ 如yX = 1,为一阶线性方程（y为自变量，x为因变量）.解得：X +亡沢尹.3.択In xiny + cosy(l-xcQ$y) = 0解.令 CQ$y =叭则 =-ysin y .原方程化为x+m(1-磁2 0li _ liIn畫，为贝奴利方程.li n X .方程化为去+Z =xh X k X ,为一阶线性方

3、程.,_(+)解得 -Inj .即 呵 Mx ,(x+ )cosy = lnz.三.求解下列微分方程:1. g勺x+(x/-2y)妙=0解./必+汐亦-2妙=0.于是 d（汐）-刘=0. 所以方程解为 a/-/ = cr1 / 1x+ ,必+1-厂2.62 J皿-/丿xdx + dv + 1昴-兀解.Jb - FyWdy = O妙=01 =dx- dy2设函数讥2）满足血a=丿八” y - Jdu 1所以&广产71开dx + 僻(y) = arcsin + 卩(y)=+ 0 （尹）二一,y.于是0W二0冲（刃二C12. XN X + 卩 + arcsin = c 所以原方程的解为2y3. (/

4、 + 于 + 2兀)必 + 2ydy = 0解.由原方程可得（/+尸）必+矶+于）=0如鸳头。 得到护+/于是原方程解为x+bi（+丿2） = c .四. 求解下列微分方程：解. 20O-l)*2_x令于=U , 得到护（X -T）-u-x 出亠二丄71X-1为一阶线性方程.解得、-Jnf X - 1) +c兀-1丿2 =灾-1)+ X -(X- 1)h(x -1)2.该方程为贝奴利方程.-一曲=X51?一 2 盘=-5/U =畫.解得2于是宀八討五. 设讥X）在实轴上连续,申（0）存在,且具有性质 池+y）v（n妙（为，试求出解.讥0 + 0）二呎0）讥0）,啊 二才（0）,讥0）二 0,呎

5、0） = 1.i）巩0）二0.对于任何x有卩（x+Az）=卩（X）呎加）才T（x） S lim 诃（x+闵二呎X）bl 呎Ax）=呎xV（0）二 0 所以朋占肚-0 所以 0（X）三0.ii)申 二 1皿+险）-皿）_ 曲邓 3 -机R _肖（x）（畑 ）-1）_胃（或（胃（刃-越（0）AxAxAx上式令A畫T0,得到0(力二初X)材(0)y (0) = 1六. 求解下列方程： ydx + 0-兀妙=01. 1X0) = 1-=-1dy y解.可得41)=0.这是以y为自变量的一阶线性方程.解得X-hy).栽1)二0,1 = 0.所以得解 x = -yIny./+1) + 皿0 + y) =

6、02.,G)=o:nZ+sin 跟=0解.令X+二/可得1以2)=2dx duSin li ,In - = ln(icc y-cotu) X-=CSC/-COt X兀2,c氏址,=CSC - cot = 1巴222c =2.=csc(x +y)-cot(x + y)解为2x求解下列方程：1.(! + ?)/+(/)+1 = 0所以（1 +嗚+丹17dp _ dx才+厂1 +盂】arctan;? = -arctan所以r+ X=tanc =c,1-护p + x = 5-qpx, p(l + q;r) = 5-x彳+1于是空二二一丄+dx 1+cM Cj q(1+UX)丄+上莎二-I 5吐1+中）

7、丿dx1C?+1 一y x+ 2 血 1 + 坨解为552.砂二07(2) = 2.7=1解.令八？则八名畔+”宀小，1 血 11,盲-=-1 P dx X P于是得到-u-u = -1I?+-M=lX,X为u对于x的一阶线性方程1 C1U = A + ,1U = -X解得2 X,讥2上1,得 c = 0.2包_ 1石二犷，尸2111开+应)二2,解得2 2 - 21112所以尸也+2-2血2dG屮2/W）=?3. b（o）= 2,y（o）=i解.令心则几P炸2p 乎+ # =?得到 如du3+ U=y令P ，得到勿为关于y的一阶线性方程.且气=讥0)七(0)卜1p = 0 = u =y（O）

8、-l +窗哝）=2-！ + 麝所以于是*-1,P=yX 二 0f 二 02沪二x+i沪=士”号皿X2,得到扌=得解斫二士+1 八.求解下列微分方程：1.戸 +严+ 2,1+2h+y+尸 0解.特征方程护+2? + 20 + 22 +兄+1S 0 （2 +1）护 +1）2 = 0A = 7血严九=7于是得解y二咱 + 6 +C*）他x + （勺+如）CO3 Xry*j_5y+ioy-6 = o2. 1x0） = i,y（o）= o,y（o）= 6,yra = - w解.特征方程 r - 5护 +102 - 6 = 0,（久-1）（久 + 3）（几7 - 22+2）二 0A = l, 為=-3,息

9、=1士得通解为y =+呼刃sin X）由 皿）“卩（听0肿（0） = 6卫）14 T=广一得到2 ,2, h-得特解L宀EF九.求解下列微分方程：1.y+y = x + 3血2x + 2com解.特征方程久+1M 0,2 = ii所以通解为= 5C0X +勺血 x+x-血 2x + x血 X齐次方程通解y = 5C0x + sin XVi =A = A非齐次方程特解：c eP+1*3=3 sin 2x= 3sin 2a =sin 2x= - sin 2x2 B+l2)+l-4 + 1V, =2 cos XD+l考察乔r宀涉詁寸2/屛認=2灼計2叫=2庐=-xe = (cos X + i sin x)(-沬)D21所以V, = r2 cos X = X sin XD+lJy+y = 2ze +4sin x2. lxo)=yra = o解.特征方程护+1 二 0,2二勺齐次方程特解非齐次方程通解H 二卉严=2。(D + lF+r q?+2D+22e - /?兀=(兀一1)W =4siri X = 2 X cos X2 D+l(计算方法同上题,所以二ScoEx + c：sin x +(x-l)-2xcosxy(0)