高等数学：4-3不定积分

1、注意：积分变量与上限变量的区别,积分上限函数定义及导数,重点1,积分上限函数几种变式求导数,上节课重点回顾,牛顿-莱布尼茨公式,重点2,根据牛顿-莱布尼茨，关键是原函数的求得,第三节 不定积分,一、原函数与不定积分的概念,原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数,原函数举例,所以sin x是cos x的原函数,因为(sin x)cos x,提问,两点说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个

2、原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数,不定积分的定义,例1 求,解,解,例2 求,函数f(x)的积分曲线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率,积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,2x的积分曲线,不定积分的几何意义,例 一曲线过点(e2,3)且在任一点处的切线斜率等于该 点横坐标的倒数，求该曲线方程,解,设所求曲线为y=y(x)，依题意,f(x)的原函数

3、的图形称为f(x)的积分曲线,微分与积分的关系 从不定积分的定义可知,又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以,由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的,先积后微形式不变,先微后积差一常数,基本积分表,是常数,说明,二、 基本积分表,例4 求积分,解,根据积分公式（2,证,等式成立,此性质可推广到有限多个函数之和的情况,三、 不定积分的性质,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8 求积分,解,说明,以上几例中的被积函数都需要根据性质进行恒等变形，才能使用基本积分表,解,所求曲线方程为,基本积分表(1,不定积分的性质,原函数的概念,不定积分的概念

4、,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么,思考题解答,不存在,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数,1. （3）（4）（11）（12,3,3）（4,2； 4； 5（5,习题4-2,习题4-3,第四节 不定积分计算方法,1）利用基本积分表,2）利用不定积分的性质,不定积分的计算手段,求下列不定积分,思考,利用变量u代替x积分可以简化运算！,不定积分,把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法,引,一、第一类换元法,由此可得换元法定理,换元积分

5、法,含义,第一类换元公式（凑微分法,定理1,解,例1 求下列不定积分,注 1. 以上求不定积分过程是将被积函数中一部分 与dx凑成某函数的微分du，而被积函数中余下部 分恰为u的函数，故称为凑微法,注 2. 求不定积分比较熟练之后，中间变量u，du可以 不写出，而采用下面的写法,常见的凑微分形式,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同,例1 求,解（一,解（二,解（三,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微

6、分,例12 求,解,例13 求,解（一,使用了三角函数恒等变形,解（二,类似地可推出,解,例14 设 求,令,例15 求,解,求下列不定积分,思考,利用x=(t)的反函数回代！,利用变量代换x=(t)化简积分,证,设 为 的原函数,令,则,二、第二类换元法,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1,以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2,积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不

7、是绝对的，需根据被积函数的情况来定,说明(3,三角代换很繁琐,令,解,例20 求,解,令,说明(4,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,分母的阶较高,例23 求,解,令,基本积分表,三、小结,两类积分换元法,一）凑微分,二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2,思考题,求积分,思考题解答,分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则,分部积分公式,一、基本内容,例1 求积分,解（一,令,显然， 选择不当，积分更难进行,解（二,令,例2 求积分,解,再次使用分部积分法,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数,例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,例5 求积分,解,例6 求积分,解,注意循环