§2三角形中的几何计算

1、-7 -2.2三角形中的几何计算教学目的:1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际冋题。2.通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。教学重点、难点:1。重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。2。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。教学过程:丄=厶=亠鼻sin A sin B sinCT I常见变式正弦定理已知两角和任一边 求其他边和角步应*应用举例己知两边及其中一边的 夕对角，求其他边和角A/ =沪-cos A护=/ + P - 2c：（3cqs B+ 护-2abccC余弦定理已知三边求三

2、角己知两边和它们的夹角, 1求第三边和其他角例题讲解:例 1.在ABC 中，已知 a = JW B=45,求边 c。解析：解法1 （用正弦定理）absi nA si iBasirB J3xsit4573/. s i nA =f=bV22又 bca, BcA, /. A =60 或 120当 A= 60。时，C= 75bsiC J2sir75 J+J2s i 145当 A= 120。时,C= 15屈 i r15J6 - 42s i 1452 2 2解法二：丁 b =a +c -2accosB2.02=3+c -2P3ccos45解之,点评:此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解

3、法2较简单。例2.在 ABC中，若B= 60, 2b = a + c,试判断 ABC的形状。解析：解法由正弦定理，得 2sin B = sin A+sinC/ B= 60 , A+C= 120A= 120 - C,代入上式，得2 si n60 = si n(120-C) +si nCJ31si C + -co C =122二 si nC +30 ) =1,二 C +30 =90 C= 60。，故 A= 60解法二由余弦定理，得2 2 2b = a +c -2accosBa +c 2-(亍=a2 2+ c -2accos602整理，得（a_c） =0，二 a =c从而a= b= c:. ABC为

4、正三角形点评：在边角混合条件下判断三角形形状时,可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。例3.如图，在梯形 ABCD中，AD/BC，AB= 5,AC 9,/ BCA= 30 ，/ ADB= 45，求BD的长。解析：在 ABC 中，AB= 5, AC= 9,/ BCA= 30由正弦定理，得ABACsin NBCAsin NABCsi MABCACsiMBCA 9s i 309AB10/ AD/BC,BAD= 180/ ABCsin NBAD 于是9=si nNABC =1010sin NBAD同理，在 ABD中，AB= 5,/ ADB= 45BD二铉解得2972故BD的

5、长为 2点评：求解三角形中的几何计算问题时,要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。小结:先由学生自己总结解题所得。c由正弦定理sin A sin B=2R可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更sin C简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定 了它的正弦值，要分两种情况来分析。而对于余弦定理，因为对于三角形的内角，确定了余弦值，角的大小就唯一确定了，所 以在解三角形时，涉及到三条边和角的问题，都可以用余弦定理来解题。而也因为余弦值的 这个特点，在判断一个三角形时锐角、直角或者钝角三角形时，要借助余弦定理。对于很多题目，并没有一个绝对的规律，我们要对正弦定理，余弦定理深入理解，才能在解题时，根据问题的具体情况，恰