第一章集合与简单逻辑提高测试题二

1、提高测试（二）(一)选择题(每小题5分，共30分)1 若 x2 2 x 3V 0 则()(A) XV 1( B) X 3(C) X 0(D) XV 8【提示】X2 2 x 3v 0= 1V XV 3= XV3本题寻求的是X2 2x 3V 0的必要条件而不是充要条件.【答案】(D).2. 已知 X R, y R十，集合 A= X2+ X+ 1, X, X 1,集合 B= y, 1, y+1,若 A= B，则 x2 + y2 的值是().2(A) 5( B) 4( C) 25( D) 10【提示】x 1 V x 1(C) 2 v av 1(D) a v 2 或 a 1【提示】略解1 ：设函数y=

2、x2+( a2 1) x+( a 2)由图象易知：方程 x2+( a2 1) x+ a 2= 0的一个根比1大，一个根比1小二 1 +( a2 1) + a 2 v 0 ：= 2v av 1. 略解2:设方程的两个根为 XX2,捲 1 X2SO丿=2v av 1.011)(X2-1)1 二X21(X2 -1) 1【答案】(C).6在坐标平面内，纵横坐标都是整数的点，叫做整点，我们用I表示所有直线的集合， M表示恰好通过一个整点的直线的集合， N表示不通过任何整点的直线的集合， P表示通过无 穷整点的直线的集合，那么表达式正确的有几个()(1) M N P= I(2) N 工一(3) M 工一(

3、4) Pm .(A) 1( B) 2( C) 3( D) 4【提示】构造出y=2 x,y=2 , y=、2x + . 3 , y= x来说明(2)、(3)、(4)均是正确的，所以本题的难点在于证明过两个整点的直线一定过无数个整点.设直线ax+ by= G过整点(Xo,yo),(Xo,yo)易证直线必过整点(n+ 1)Xo Xo，(n+1)y yo)所以直线ax+ by= G必过无数个整点.【答案】(D)(二)填空题(每小题6分，共30分)1.已知1 = R，集合A、B都是实数集I的子集.A iB= x | x2v 4 , A iB=x | (x 4) (8 x) 0, C|CiB= X | X

4、2 6 x 16 0,求则 A B =.【提示】A iB= X | X2v 4 = x | 2v xv2,iA B= x| (X 4) ( 8 X) 0 = X | 4 X 0 = x I x 8 或 xv 2.由文氏图易知 A B=( AiB)( iA B)( iAiB)将AiB, iA B, iAiB分别画在同一条轴上.【答案】A B= x I 2v xv 4.【点评】本题涉及的各集合关系较多，采用文氏图和数轴表示使集合间的各种关系较为直 观.其中A B=( iA B)(A iB)( iAiB)这一关系式可由集合的基本运算推出.n k2. 集合 M =x | x= 2 2 , n、k W

5、N 且 nk,集合 P= x I 1901 x 19012n 1901n11.当 n= 12 时，2n 2k 的最小值为 212 211 = 2048 2000 n= 11,进一步推理易知，k= 7或6,M P= 211, 27, 211, 26 = 1920, 1984 M P中各元素的和为 1920 + 1984= 3904.【答案】3904.【点评】运用不等式控制的方法求出n的值是解题关键.3. 已知集合 A= (x, y)| y= ax+ 2, B= (x, y)| y= |x+ 1,且 A B 是一个单 元集，则实数a的取值范围为 .【提示】运用函数图象.【答案】(汽1 1,+ ).

6、4. 已知集合 A= x I x= a2+ 1, a - N + , B= y I y= b2 6 b+ 10 , b - N + ,则 A 与B的关系为.【提示】B= y I y=( b 3) 2+ 1, b - N + ,当b = 4 , 5 , 6,时，y的值与集合A中 a= 1, 2,时，x的值相同，而b = 3时，y= 1 B，但1 A.【答案】A B.5. 已知 1= (x, y)I x, y R, A= (x, y)I y= 3 x 2 , B= (x, y)I=3,则.A U B=.【提示】B= (x, y)I y= 3 x 2, x*2.【答案】(x, y)I x, y R

7、且(x, y)*( 2, 4).(三)解答题 (第1, 2小题每小题13分，第3小题14分，共40分)1 .已知集合 M = x I x= 12 m+ 8 n+ 4 k, m、n、k Z与 N= x I 20 p+ 16 q + 12 r, p、q、r eZ,求证：M = N.【证明】(1)证 M -N对任意的 x0 M,则必存在 m。、n。、k Z,使 X0= 12 m+ 8 n+ 4 k=20 n+ 16 l + 12 (m n k0)n, ko, m no ko 二 zXo 三 N. M N.(2)证 N M对任意的 Xo 三 N,则必存在 po、q。、r,使 Xo = 20 Po+ 1

8、6 q+ 12 r= 12 (r+ p+ q) + 8 Po+ 4 q.Xo 三 M. N M.综上知，M = N.【点评】将系数为12, 8, 4的代数式与系数为 2o, 16, 12的代数式互相转化是解题的难点 也是关键，为解决这个难点可采用待定系数法.2. 设M = 1, 2, 3,，1995, A是M的子集，且满足条件：若 k运A时，则15k不属 于A,求A中最多能有多少个元素？【解】(1)构造 125 个数组：(9, 9X 15); (1o, 1ox 15),，(133, 19X 15)由条件知 A中不能同时包含任一数组中的两个数，所以A中元素的个数不会超过1995-125 = 18

9、7o 个(2)当A= 1, 2，8, 134, 135,1995时满足条件，所以 A中元素可达187。 个综合(1) (2)知，A中最多有187o个元素。3. 设 A= xy I Jx2+(y-1)2 1, Bm= x, y I y=-( xm) 2+ 2 m, B= U Bm ,求A B的面积.【解】集合A可以看作是以(0, 1)为圆心，以1为半径的圆及圆内所有点的集合；2Bm表示以(m, 2m)为顶点，形状与 y = -X相同的抛物线；B表示当m运动变化时，得到的所有 Bm的并集，如图。 当变化时，Bm的顶点的轨迹为一条直线 y=2x。设直线y = 2x k与抛物线y=( x m) 2+ 2 m相切2x k = ( x m) 2