导数大题的常用找点技巧和常见模型

1、导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（年全国新课标理已知 d =言茁 +（ a 2） x（）讨论的单调性；（）若 有两个零点，求的取值范围解读：（）f （ X）-2a&z,-2）ex -1 =（2e* +1）（aeJ -1）若，则 恒成立，所以 ，在上递减;若，令，得.：,33上递减;当I时，所以在x I n a当 I 时，所以.在3综上，当时，在上递减；当|时，在（门上递减，在r 1）In _d 十oor In 1已丿 3 丿上递增.=f hn 丄o有两个零点，必须满足1x =1In x构造函数，.易得1 1 In - 0 时 jt Inft（ x = Jt In *事实上，构造函数，易得

2、.联叽日，所以机心,即心n当时,其中133-a1In In aa，所以2 ）上各有一个零点.In In a331=十和1-1门1 -t In _Ia J故的取值范围是注意：取点过程用到了常用放缩技巧。I 3U 心 In1一方面：；ae亠小 1-“* m1- cjOUm 另一方面：时，f（目测的）.常用的放缩公式（考试时需给岀证明过程）第一组：对数放缩（放缩成双撇函数）,11，育1 ( 1In x1) In x - X21用丿n J（放缩成一次函数） x1)(0 X （放缩成一次函数）In x In x2x. f r+1 e x e ? ?2(x-l)2x-1)(20) x 1) 丨n * V(

3、0 x 1)丄-x+12x(1 + X) ( x 0 )ex ,1 + x（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数） 第三组：指对放缩rl云 (x 0第四组：三角函数放缩 ：一：sin xx-/1 sir xxQ,片2 ，第五组：以直线y = x为切线的函数y = I n x y = e几个经典函数模型In x y =经典模型一：或xy -In x【例】讨论函数 5的零点个数.()()时,e()当时,1y = 1xIn1 0max个零点x（目测）,= ii,无零点.个零点.,.其中.1 芒（放缩）17，其中.（甩到了1 ） q（）当日印时司零点.Y、言）aa” 1aa )13 e In x 1)

4、3J*，单调递增.，1f ( X =3 0/ (1)= a 0【变式】（经过换元和等价变形（后均可以三 f( x)= I n x ax :.讨论.讨论m的零点个数（令仮=，9”1 minx , A A = a的零点个数（令 m););.讨论）；f（x）= y/xnx rrtx ,，一，*、，“ 亠,一的零点个数（考虑.讨论，令);.讨论.讨论/( x) = In x m)c2. _ 的零点个数(令J xf (x) = ax ex+的零点个数(令e f ).经典模型二：或f i X 二 g* 3X【例】讨论函数的零点个数.（）时，个零点.f（K）二h占0f x） = e单调递增.);口 f（0）

5、=1-a 0匚”且，所以在（）时，无零点./（ X）= ey 0 、恒成立；（）时，无零点.上有一个零冷丿:点; -10（）时，个零点.f (1) = e a a(e-2)0， ，【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题mf （ X）= e2 mx9 v # o _的零点个数（令2X1，2f( X)= ax).讨论a)；.讨论.讨论.讨论的零点个数（去分母后与等价）；f（ X = mfx的零点个数（移项平方后与f（ x） =+ mx的零点个数（移项开方后换元与等价）；等价）；f ( X ).讨论*1_ 的零点个数（乘以系数 ，令旳);.讨论mx的零点个数（令,转化成.讨论&/T)K + jfT? ”AA y i的零点个数(令m，经典模型三:【例】讨论函数的零点个数.()时，个零点）= tnx_7()单调递增.” 时，个零点（）.启）二 ln（1 + s） 1二 011+a 1