高中数学 第1章 解三角形 1.2 余弦定理 苏教版必修5

1、1.2余弦定理,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 预习交流1 在ABC中,当A为直角、锐角、钝角时,三边有什么关系? 提示:当A为直角时,cos A=0, a2=b2+c2;当A为锐角时,cos A0,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos Ab2+c2,目标导航,预习引导,2.定理的变形 b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=

2、2abcos C. 预习交流2 在解三角形的过程中,求某一个角有时既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方案有什么利弊呢? 提示:用余弦定理求角时,运算量较大,但角与余弦值是一一对应的,无须讨论;而用正弦定理求角时,运算量较小,但由于在区间(0,)上角与正弦值不是一一对应的,一般情况下一个正弦值可对应两个角,往往要依据角的范围讨论解的情况,目标导航,预习引导,3.余弦定理的应用 利用余弦定理可解决以下两类解斜三角形问题.(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,一,二,三,一、余弦定理的简单应用 活动与探究 例1在ABC中,已知b=3,c= ,B=30,求A

3、,C和a. 思路分析:题目已知两边和一边的对角,要求另一边和其他两角,可首先由正弦定理求出C,然后再求其他的边和角.亦可由余弦定理列出关于a的方程,首先求出a,再由正弦定理求A,C,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=7,b=5,c=3,则ABC的内角中最大的角是. 答案:120 解析:易知角A最大, A=120,一,二,三,一,二,三,名师点津 (1)理论依据. 在余弦定理中,每一个等式均含有四个量(三边一角),利用方程的观点,可以知三求一. (2)题型分类. 两边的夹角;两边中一边的对角. (3)解题方法. 若是已知两边及其夹角

4、,可以由余弦定理求第三边; 若是已知两边及其中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边,一,二,三,二、利用余弦定理判断三角形的形状 活动与探究 例2在ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状. 思路分析:处理此类问题一般先用三角公式对条件进行化简,再用正弦或余弦定理变形判断,一,二,三,解:解法一:由已知得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正弦定理,得sin2Acos A

5、sin B=sin2Bcos Bsin A, sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0. sin 2A=sin 2B,由02A2,02B2,即ABC是等腰三角形或直角三角形. 解法二:同上可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0, a=b或c2=a2+b2, 三角形ABC为等腰三角形或直角三角形,一,二,三,迁移与应用 1.在ABC中,若acos B=bcos A,则ABC的形状是三角形. 答案:等腰 解析:方法一:由余弦定理, 即a2+c2-b2=b

6、2+c2-a2,从而a=b. 方法二:由正弦定理,得asin B=bsin A, 从而tan A=tan B,故A=B. 方法三:2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A, 则sin(A-B)=0,故A=B,一,二,三,2.在ABC中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且sin C=2sin Bcos A,试判断ABC的形状,一,二,三,名师点津 判断三角形的形状特征,必须从研究三角形边与边的关系,或角与角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化,由三角形的边或角的代数运算或三角运算,探寻出边与边或角与角的关系,从而作出正确判断.在三角形中,有一个角的余弦值为负

7、值,该三角形为钝角三角形;有一个角的余弦值为零,该三角形为直角三角形;三个角的余弦值都为正值,该三角形便是锐角三角形,一,二,三,三、余弦定理的综合应用 活动与探究 例3在ABC中,已知ABC,且A=2C,b=4,a+c=8,求a,c的长,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.已知ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则C的大小为,一,二,三,一,二,三,名师点津 对余弦定理的考查常常与正弦定理、三角函数、函数、方程及向量等知识相结合,具有一定的综合性,解题的关键是从“统一”着眼,或统一化为角,利用三角函数知识作三角变形,或统一成边,作代数变形,也可统一化为面积问题,建立相应方程或函数关系,使问题得以解决,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,3.已知三角形三边的比为234,则三角形的形状为三角形.(填“锐角”、“直角”或“钝角”) 答案:钝角 解析:由题设,记a=2k,b=3k,c=4k(k0,2,3,4,5