高中数学 精讲优练课型 第二章 基本初等函数（I）2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质 新人教版必修1

1、2.1.2指数函数及其性质 第1课时指数函数的图象及性质,知识提炼】 1.指数函数的概念 函数_叫做指数函数,其中自变量是_,定义域是_,y=ax(a0,且a1,x,R,2.指数函数的图象和性质,R,0,0,1,0,1,减,增,即时小测】 1.思考下列问题 (1)形如y=ax型的式子一定是指数函数吗? 提示:不一定,当限定a0且a1时,才是指数函数. (2)指数函数的图象大致走势有几种?主要取决于什么? 提示:指数函数图象的大致走势有两种,一种是从左到右图象是下降的,而另一种恰好相反,图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系,2.当a1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是(,解析

2、】选A.由a1知函数y=ax的图象过点(0,1),分布在第一和第二象限,且从左到右是上升的.又由a1知函数y=(a-1)x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.综合分析可知选项A正确,3.若函数y=(4-3a)x是指数函数,则a的取值范围是. 【解析】由题意知, 所以a 且a1. 答案:(-,1,4.若函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象过点(3,8),则f(x)=. 【解析】由于函数图象过点(3,8),则a3=8,解得a=2,故f(x)=2x. 答案:2x,5.函数f(x)=2x+3的值域为. 【解析】由于2x0,故2x+33,所以函数f(x)=2x+3的值域为(3,+). 答案:

3、(3,知识探究,知识点1指数函数的概念 观察如图所示内容,回答下列问题,问题1:指数函数中的底数a可以小于等于0或等于1吗? 问题2:指数函数的解析式具有哪些特征,总结提升】 1.指数函数中规定a0,且a1的原因 (1)如果a=0,当x0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x0时, ax无意义. (2)如果a0,且a1,2.指数函数的解析式具有的三个特征 (1)底数a0,且为不等于1的常数,也不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1. (3)ax的系数是1,知识点2指数函数的图象和性质 观察图形,回答下列问题,问题:观察两个指数函数的图象,试说出a的变化对指数函数的图象有什么

4、影响?指数函数值随自变量又有怎样的变化,总结提升】 1.指数函数值的变化规律,2.指数函数在同一坐标系中图象的变化与底数大小的关系,1)前提:在同一坐标系中,四个函数的图象如图所示,且图象与直线x=1自上而下的相交点依次是(1,a1),(1,a2),(1,a3),(1,a4). (2)关系: 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小. 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. 指数函数的图象不论在y轴左侧还是y轴右侧,底数均按逆时针方向变大. (3)实质:指数函数的底数即直线x=1与图象交点的纵坐标,由此也可求指数函数底数的大小,题型探究】 类型一指数函数概念的应用 【典例】1.下列函数

5、:y=(-3)x;y=3-x;y=-4x;y=23x; y=x3.其中指数函数的个数为() A.0B.1C.3D.5 2.若函数f(x)=a2(2-a)x是指数函数,则a等于,解题探究】1.典例1中判断函数是指数函数的依据是什么? 提示:依据是指数函数的解析式的形式和它所具有的三个特征. 2.典例2中指数函数对底数和系数有什么要求? 提示:若函数y=ax是指数函数,则有底数a为大于0且不等于1的常数,系数为1,解析】1.选B.y=3-x= 所以符合指数函数的定义;都不符合指数函数的定义. 2.因为函数f(x)=a2(2-a)x是指数函数,所以a2=1,2-a0且2-a1,解得a=-1. 答案:

6、-1,方法技巧】 1.判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式:只需判断其解析式是否符合y=ax(a0,且a1)这一结构特征. (2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,则该函数不是指数函数,2.已知某函数是指数函数求参数值的方法 (1)令底数大于0且不等于1,系数等于1列出不等式与方程. (2)解不等式与方程求出参数的值,变式训练】若函数y=(a-2)2ax是指数函数,则() A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a0且a1 【解析】选C.由指数函数的定义及特征,可得: 解得a=3. 【误区警示】在解答本题时容易忽略底数a1这一条件,从而得到 a

7、=1或a=3,导致错选A,类型二指数函数图象的应用 【典例】若b1)的图象必定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解题探究】典例中由函数y=ax+b(a1)可知该函数过哪个定点? 提示:过点(0,1+b),因为b1)在R上单调递增,图象过定点(0,1),所以函数y=ax+b(a1)在R上单调递增,且过定点(0,1+b),因为b-1,所以点(0,1+b)在y轴的负半轴上,故图象不经过第二象限,延伸探究】 1.(变换条件)若把本典例中“a1”改为“0a1”,其他条件不变,则此时函数的图象必定不经过哪个象限. 【解析】由于y=ax(0a1)是减函数,其图象经过第一、二

8、象限且过定点(0,1),又由于b-1,故函数y=ax+b(0a1)的图象过定点(0,1+b),因为b-1,所以点(0,1+b)在y轴的负半轴上,故图象不经过第一象限,2.(变换条件、改变设问)若将典例中的“b1)经过定点(0,1),所以y=ax+1经过的定点为(0,2,方法技巧】处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性,补偿训练】若指数函数y=ax-1+a2的图象过定点(

9、1,5),则a=. 【解析】当x=1时,1+a2=5,即a2=4,解得a=2,又因为a0且a1,所以a=2. 答案:2,延伸探究】 1.(变换条件)本题中函数不变,若该函数的图象过定点(1,10),又如何求a的值呢? 【解析】当x=1时,1+a2=10,即a2=9,解得a=3,又因为a0且a1,所以a=3,2.(变换条件)若将本题中的函数“y=ax-1+a2”改为“y=(a+1)x-1+a2”,其他条件不变,又如何求a的值? 【解析】当x=1时,(a+1)0+a2=5,即a2=4,所以a=2,又因为a+10且a+11,所以a-1且a0,故a=2,类型三指数型函数的定义域、值域问题 【典例】1.

10、函数y= 的定义域为. 2.求下列函数的定义域和值域: (1)y=1-3x.(2)y= (3)y,解题探究】1.典例1中的函数应满足什么条件？ 提示：要使函数有意义，必须 -270. 2.典例2中的函数(2)如何转化成指数函数？ 提示：利用换元法将函数转化，y= 中，令t= ，则函数 y= 可转化为y=3t，t= 的问题,解析】1.要使函数y= 有意义，需 -270， 即 27，解得x-3，故函数的定义域为(-,-3. 答案：(-,-3,2.(1)由于3x0，故-3x0，所以1-3x1，故函数y=1-3x的定义域为R， 值域为(-,1). (2)令t= ，则t0，故函数y=3t1，所以函数y=

11、 的定义 域为x|x2,xR，值域为y|y1,yR. (3)令t= ，由于1-x0，故x1，t0，则0 1， 即0y1，故函数y= 的定义域为x|x1，值域为y|0y1,延伸探究】若将本例1中的函数改为y= 则其定义域又如何求解？ 【解析】要使函数y= 有意义，则需 -270， 即3x-270，解得x3，故函数的定义域为3,方法技巧】指数型函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域:函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域:换元,t=f(x). 求t=f(x)的定义域为xD. 求t=f(x)的值域为tM. 利用y=at的单调性求y=at,tM的值域,变式训练】

12、求函数y= 的定义域和值域. 【解题指南】要使函数y= 有意义，只需2x-40即可；要求 函数的值域，可用换元法，令t= ，结合函数y=5t的单调性求解即可,解析】要使函数y= 有意义，只需2x-40，解得x2；令 t= ，则t0，由于函数y=5t在t(0,+)上是增函数， 故5t1.故函数y= 的定义域为x|x2，函数的值域为y|y1. 【误区警示】此题易忽略2x-40,而误认为2x-40从而造成错误,补偿训练】已知函数f(x)=4x-a(1x2)的图象过点(2,1),试求函数f(x)的值域,解析】由于函数f(x)=4x-a(1x2)的图象过点(2,1),则有42-a=1, 即42-a=40,解得a=2,则f(x)=4x-2,由于1x2,则-1x-20,故 4x-21,所以函数f(x)的值域为 ,1,易错案例 指数函数中含参数问题的求解 【典例】若函数f(x)=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a=_,失误案