高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3_2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 新人教B版选修4-5

1、3.2用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式,1.会用数学归纳法证明简单的不等式. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式. 3.了解贝努利不等式的应用条件,1.用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“k+1”成立时,比较法、分析法、综合法、放缩法等方法常被灵活地应用. 【做一做1-1】 欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,n0为验证的第一个值,则() A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=2 解析:n=1时,21;n=2时,41 000.故选C. 答案:

2、C,做一做1-2】 用数学归纳法证明“ n N*,n1)”时,由n=k(k1)不等式成立推证n=k+1时,左边应增加的项数是() A.2k-1B.2k-1 C.2kD.2k+1 解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k. 答案:C,2.用数学归纳法证明贝努利不等式 (1)定理1(贝努利不等式):设x-1,且x0,n为大于1的自然数,则(1+x)n1+nx. (2)定理2:设为有理数,x-1,若01,则(1+x)1+x.当且仅当x=0时等号成立. 名师点拨当指数推广到任意实数且x-1时, 若01,则(1+x)1+x. 当且仅当x=0时等号成立,应用数学归纳法证明不等

3、式,从“n=k”到“n=k+1”证明不等式成立的技巧有哪些? 剖析:在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构,题型一,题型二,题型三,用数学归纳法证明数列

4、型不等式,1)求数列an的通项公式; (2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立. 分析:由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an;第(2)问的证明,可以等价变形,视为证明新的不等式,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这类问题一是要仔细观察题目的结构,二是要靠经验积累,题型一,题型二,题型三,用数学归纳法比较大小,分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明,

5、题型一,题型二,题型三,当n=1时,21=212=1; 当n=2时,22=4=22; 当n=3时,23=852=25; 当n=6时,26=6462=36. 故猜测当n5(nN*)时,2nn2. 下面用数学归纳法进行证明: (1)当n=5时,显然成立. (2)假设当n=k(k5,且kN*)时,不等式成立, 即2kk2(k5),则当n=k+1时, 2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22,题型一,题型二,题型三,反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明方向,再利用数学归纳法证明结论成立,题型一,题型二,题型三,用数学归纳法证明探索型不等式,题型一,题型二,题型三,1)当n=1时,显然成立. (2)假设当n=k(kN*,且k1)时,题型一,题型二,题型三,反思用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:观察归纳猜想证明,即先通过观察部分项的特点进行归纳,判断并猜测出一般结论,然后用数学归纳法进行证明,1 2 3 4,1下列选项中,不满足12+23+34+n(n+1)3n2-3n+2的自