2019年东华大学几何与多元微积分(上)复习06级-08级.doc

1、06级一、填空题（5分8）:11、当且仅当时，p级数7 收敛。ynpqQ2、幕级数 J X n在-1 :： X 1内的和函数是 n卫3、4、2 x sin x2y2、2丄 2)x +y5、设 f x, y = x2 ey 亠X -1 arctan ，贝U fx 1,0 =。x6、 两平 行平面 Ax+By+Cz+D1=0 与 Ax+By+Cz+D2=0 之 间 的 距 离 为。2丄2丄 2.两个球面的交线在xOy面上的投影曲线方程=1x + y + z =11.2j2* +(y_1) +(z_1)X,0 v x 兰 na000亠心8、f (x )=丿的 Fourier 级数 一+Z (an c

2、osnx + bnsin nx 在 x = 0时_1, nw x 兰02n二收敛于; x = - n时收敛于; x = n时收敛于。、试解下列各题（6分4）： 1、已知两点M1 4,-.2,1和M2 3,0,2，计算向量MM2的模、方向余弦和方向角。厂22、设f是C类函数，f x2 y2，求一1 1 13、求级数的和。1 2 2 3n(n +1 )24、将函数f X =sin X展开成X的幕级数，并指出展开式成立的区间。三、（8分）判别级数a -1 n 1 ln 叮 是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛? n#exy四、(8 分)设 f(x,y)=*x2 十 y21，当X,y = 0,0，

3、试用函数可微分的必要条件证明当 x,y 二 ,0f x, y在点0,0处不可微。五、(8分)求过点 -1,0,4且平行于平面3x 4y z10 = 0，又与直线 x 12相交的直线的方程。六、(6分)设f(x )是周期为2 n的周期函数，它在 -n,町上的表达式为冗冗_, n 兰 x _2 2i x 7t7tf (x )= x,- x 2 2冗冗一，一 c x c n22把f x展开成傅里叶级数。七、(6分)证明曲线/；一12厂16=0是两相交直线，并求其对称式方程。x 4y =2z07级一、填空题(4分8):O0 11、 当x满足条件 时，级数n收敛。52、设级数V Un收敛于2，则 (2U

4、n nH。n=0n =023、 若幕级数7an(x -2)n在x = 0处收敛，则在x = 3处 (填入条件收敛、绝n=0对收敛或发散)4、 点P 1,1,-1到平面x -2y z = 4的距离为 。5、平面3x - y z = 4与平面x - y - z = 1的夹角为 。6、三角形 ABC的三个顶点分另悦 A(1,2,1), B(0,2,2),C(2,1,0),则三角形 的面积为。/ x227、 已知函数 f(x,y )满足 f ,xy =x +y，贝V f(x,y )=。y2二、解答下列各题（7分5）xczcz1设函数f（u,v 一阶连续可导，z= f x + y,，求x一 + y。y丿

5、泳创2,兰02、设f（x堤周期为2的周期函数，在（-1,1上函数的定义为f（X）i，x, 0 da0 近f x在-1,1上的傅立叶级数展开式为-亠iancosn二x - bnsinn二x。求a3，并2n 二写出傅立叶级数在-1,1上的和函数s x的表达式。63、求经过直线 -_ = =z-2，且与平面2x-y-z=2垂直的平面方程。23丄 22c4、已知空间曲线，写出该曲线的参数方程；并求以该曲线为准x + y -z =02.x+y_2z +1 = 0线，母线垂直于 yoz平面的柱面方程。二-1 n n 15、讨论级数的p（p 0）敛散性。心 np1三、（8分）将函数fx二二在x =2处展开为

6、幕级数。x 3x 4r 3 丨y四、（8分）考察函数f x, y二x2 y210,当x, y = 0,0在0Q处的连续性、可导性当 x,y 1=10,0与可微性。五、（7分）求M -1,2,0点在平面x2y-z，1=0上的投影点。六、（5分）已知非零向量 a ,b不共线，令c = ma b，其中m为实数，证明当 c最小时 c _ a 。111 -七、（5分）证明lim 2nIn n08级、填空题(每小题 4分，总计32分)jx - -t 21、过点(1,2,-1)且与直线y=3t-4垂直的平面方程为 z 二 t -12、设直线1 :X -11y - 5-2x v = 6,2：2y + z =

7、3,则1与2的夹角为3、设(a b c =1，贝U(a b) (b c) (c a)二4、将函数f(x) =x2e展开为x的幕级数oOcO5、设幕级数anXn的收敛半径是4,则幕级数7 anX2n 1的收敛半径是 n 0n -016、判别级数二仆的敛散性:4x2 -9y2 367、曲线绕y轴旋转所生成曲面的方程为z = 08、设 u = arctan，则- =ex二、计算下列各题(每题 6分，共18 分)1、x yy,z(f (x, y)具有一阶连续导数)，求du。2、用定义判别级数lnn的敛散性，若收敛求其和。3、1 1,.X1,0 ： x : 1,仁x：2，又设Sx是f x的以4为周期的正弦级数展开式的和函数，写出S(x)在0, 2内的表达式，并且求出S(7)。1三、(8分)将f(x)二二展开成(x-1)的幕级数。x 一 3x 4四、(8分)求点p(1,1,1)分别到直线二丄二二乙兰和平面3x，2y-4z，5 = 0的距13-2离。五、（9分）已知a,b,c为两两垂直的三个向量，a=1，b=2, c=3, s=a + b + c,求（i）s的模长；（2）s与a,b,c的夹角。xy六、（10分）讨论函数f（x, y） =|x|+|y【0可偏导性与可微性。,(x,y) = (0,0),(x, y) = (0,0