二次函数与面积专题

1、重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三二次函数与面积问题班级_姓名_等级_题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）例1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的勾股点（1）直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标；（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a0)与轴交于A，B两点，点P(1,)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQSABP的

2、点Q（异于点P）的坐标练习1. 如图，已知抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点（1）直接写出点A、B、C、D的坐标，并求出SABD；（2）求出直线BC的解析式；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP4SCOE，求P点坐标题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大例2. 如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求ACE的最大面积及E点的坐标；（3

3、）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使SPACSEAC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由变式：在抛物线上是否存在点P，使SPACSABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1.如图, 已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.2在平面直角坐标系xoy中，规定：抛

4、物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1 （1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为 和 ；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点A在点B的右侧)与 轴交于点C，D 若CAB90求的值；如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线的一个动点，PBC的面积记为S，当S 取得最大值 时，求m的值. 3.抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0)（1）求该抛

5、物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=0.6x2+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N,连结PC、PD，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使SQCD=SPCD，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx5交y轴于点A，交x轴于点B（5，0）和点C（1，0），过点A作ADx轴交抛物线于点D（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的

6、对称点在直线AD上，求EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上设A（t，0），当t=2时，AD=4（1）求抛物线的函数表达式（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离练

7、习3:1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b，c的值；（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，9），该函数的图象与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点B，C（1）求该

8、二次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0m5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设AMD的面积为s求s关于m的函数解析式；判断出当点M在何位置时，AMD的面积最大，并求出最大面积3.二次函数y=ax2+bx+6（a0）的图象交y轴于C点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x24x12=0的两个根（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QDAC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当CDQ面积S最大时，求m的值（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由4.如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1点P是抛物线上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线CF下方的抛