信号与系统课件

1、信号与系统,Signals and Systems,1,信号与系统,离散时间信号与系统的复频域分析,离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟,2,信号与系统,离散时间信号与系统的复频域分析,为什么进行信号与系统的复频域分析？ 如何进行信号的复频域分析? 如何从复频域分析系统的响应？ 系统函数的地位和作用是什么,3,信号与系统,离散时间信号的复频域分析,由离散时间Fourier变换到z变换 单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换,4,信号与系统,一、由离散时间Fourier变换到z变换,xk=2k

2、uk的离散时间Fourier变换(DTFT),不存在,将 xk 乘以衰减因子r-k,若|z| 2,5,信号与系统,一、由离散时间Fourier变换到z变换,推广到一般情况,定义,z反变换,C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线,双边z变换,6,信号与系统,物理意义： 离散信号可分解为不同频率复指数zk的线性组合,正变换：X(z)=Zxk,反变换： xk =Z-1X(z,或,符号表示,一、由离散时间Fourier变换到z变换,7,信号与系统,二、单边z变换及其收敛域,单边z变换,收敛域(ROC,使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域,一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域

3、,z平面,z|=1 单位圆,8,信号与系统,例：求以下序列的z变换及收敛域,解,1,2,有限长序列z变换的收敛域为|z|0,9,信号与系统,三、常用单边序列的z变换,10,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,1.线性特性,11,信号与系统,例：求sin(W0k)uk 和cos(W0k)uk 的z变换及 收敛域,解：利用,利用线性特性，可得,z|1,z|1,z|1,将上式改写，可得,12,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,2. 位移特性,因果序列的位移,非因果序列的位移,xk - n uk - n z-nX(z) |z| Rx,z| Rx,z| Rx,13,信号与系统,四、单边z变换的主要

4、性质,2. 位移特性,证明,z| Rx,14,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,2. 位移特性,证明,依此类推 可证上式成立,15,信号与系统,例：求RNk=uk-uk-N的z变换及收敛域,解,利用因果序列的位移特性和线性特性，可得,由于RNk为有限长序列，故其收敛域为,z|0,ROC扩大,线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大,16,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,3. 指数加权特性,17,信号与系统,例：求aksin(W0k) uk 的z变换及收敛域,解,利用z变换的指数加权特性，可得,18,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,4. z域微分特性,19,信号与

5、系统,例：求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域,解,利用z域微分特性，可得,利用z变换的线性特性，可得,20,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,5. 序列卷积,ROC 包含Rx1Rx2,21,信号与系统,例：求,解,利用z变换的卷积特性，以及,可得,设,22,信号与系统,四、单边z变换的主要性质,6.初值与终值定理,若(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，则,23,信号与系统,例： 已知X(z) = 1/(1-a z-1) |z| |a| 求x0， x1和 x,解,根据位移特性有,对上式应用初值定理，即得,当|a|1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理，有,24,信号

6、与系统,解,例：求以下周期序列的单边z变换,1,2,1) xk可表示为,利用k的z变换及因果序列的位移特性，可得,2) 将yk改写为,由(1)题的结果及卷积特性，可得,25,信号与系统,例：求以下单边周期序列的单边z变换,1,2,若计算出x1k的z变换X1(z)，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为,一般情况：周期为N的单边周期序列xNkuk可以表示为第一个周期序列x1k及其位移x1k-lN的线性组合，即,26,信号与系统,五、单边z反变换,C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线,计算方法： 幂级数展开和长除法 留数计算法 部分分式展开,27,信号与系统,解,将X(

7、z)化为z的负幂，可得,将X(z)进行z反变换，可得,28,信号与系统,解,进行z反变换，得,29,信号与系统,解,将G(z)用部分分式展开，如例2所示，所以,进行z反变换，得,m=n，由多项式除法可得,G(z,30,信号与系统,五、单边z反变换,部分分式法,1. mn，分母多项式无重根,各部分分式的系数为,31,信号与系统,五、单边z反变换,部分分式法,2. mn，分母多项式在z=u处有l阶重极点,32,信号与系统,五、单边z反变换,部分分式法,3. mn,按(1)(2) 情况展开,多项式,33,信号与系统,解,X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用,34,信号与系统,解

8、,由指数加权性质,35,信号与系统,解,A=4/3, B=-2/3, C= -1/3,例： 求xk,B, C用待定系数法求,36,信号与系统,离散时间信号的z域分析小结,1) 双、单边z变换的定义与适用范围： 双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析 2) z域分析与其他域分析方法相同,37,信号与系统,离散时间系统响应的z域分析,时域差分方程,时域响应yk,z域响应Y(z,z变换,z反变换,解差分方程,解代数方程,z域代数方程,38,信号与系统,二阶系统响应的z域求解,对差分方程两边做z变换，利用,初始状态为y-1, y-2,39,信号与系统,二阶系统响应的z域求解,Yzi(z

9、,Yzs (z,40,信号与系统,例：某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2 = 4xk 已知y-1=0 ，y-2=2， xk=(-3)k uk，由z域求 yzi k、yzs k、yk,解,Y(z)-4z-1Y(z)-y-1+4z-2Y(z)+z-1y-1+y-2=4X(z,Yzi(z,Yzs(z,将差分方程两边进行单边z变换得,求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式,41,信号与系统,例：某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2 = 4xk 已知y-1=0 ，y-2=2， xk=(-3)k uk，由z域求 yzi k、yzs k、yk,解,yzsk=Z-1Yzs(z)=1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(-3)kuk,yk=yzik+yzsk,-6.4k(2)k-5.44(2)k+1.44(-3)k,k0,42,信号与系统,例： 已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应,令k=k-2,对差分方程